Решение текстовых задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Амикеевская средняя общеобразовательная школа» Муслюмовского муниципального района Республики Татарстан

Рассмотрено на заседании ШМО Согласовано: Утверждаю:

Протокол № «» Заместитель директора по УВР Директор школы:

Руководитель ШМО

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

ПО МАТЕМАТИКЕ

для 9 класса

«Решение текстовых задач»

Составила: учитель математики первой

квалификационной категории МБОУ

«Амикеевская СОШ»

Мурзина Силуза Назиповна

2012-2013 учебный год

Содержание.

  1.Пояснительная записка.

     2. Содержание элективного курса «Решение текстовых задач».

     3. Учебно-тематический план.

     4. Литература.

Пояснительная записка.

 «Умение решать задачи - практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на коньках, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»...

                                                                                               Д. Пойа.

В школьном курсе алгебры решению текстовых задач уделено очень мало учебных часов.   В то же время на выпускном экзамене в 9 классе предлагаются текстовые задачи различных уровней сложности и различных типов: на совместную работу, на движение, на планирование, на проценты, на зависимости между компонентами арифметических действий, и другие виды. Не малое место занимают текстовые задачи на вступительных экзаменах в ВУЗы, в ЕГЭ по математике, об этом следует помнить и готовиться к таким испытаниям заранее.

Анализ статистических данных результатов проведения ЕГЭ свидетельствует о том, что процент решения заданий, содержащих текстовые задачи, из года в год составляет порядка 30%. Такие сведения позволяют сделать вывод, что большинство учащихся школ не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. За нетрадиционной формулировкой ученики с трудом распознают типовые задания, которые были хорошо изучены на уроках математики в школе. По этой причине возникла необходимость более глубоко изучить этот раздел элементарной математики.

 Значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении текстовых задач.  В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне. Задачи же на концентрацию рассматриваются  очень мало в школьном курсе математики, хотя включены в содержание пособия по подготовке к  ГИА за курс основной школы по алгебре ( под редакцией Ф.Ф.Лысенко « Подготовка ГИА-9 2012»).
      Ученик с первых дней занятий в школе встречается с задачей, связанной с окружающей жизнью. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию логического мышления.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Предлагаемый элективный курс «Решение текстовых задач» демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства. Данный элективный курс ориентирует учащихся  на обучение по естественно – научному и техническому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

     Задачи занимают важное место в школьном курсе математики. Их решение способствует экономическому образованию обучающихся, развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности.

  В связи с этим, целями предлагаемой программы являются:

1. Расширение и углубление знаний о способах решения   и средствах моделирования явлений и процессов, описанных в задачах.

2. Развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции.

3. Развитие устойчивого интереса к предмету, приобщая к окружающей нас жизни.

4. Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе и решения практических проблем.

  Содержание предлагаемой программы направлено на решение следующих задач:
    1. Расширение знаний о методах и способах решения математических задач, окружающей нас жизни.
  2.Формирование умения моделировать реальные ситуации.
   3. Развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

   4.Предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне.

   Данный курс «Решение текстовых задач » задаёт примерный объём знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть школьники.

   Таким образом, содержание курса охватывает все основные типы текстовых задач. Кроме того, содержание программы предполагает возможность работы со школьниками с разными учебными возможностями за счёт подбора разноуровневых задач.

Для успешного усвоения содержания элективного курса необходимо опираться на знания учащихся по изученному ранее материалу:
Математика. Рациональные уравнения. Системы рациональных уравнений. Проценты.
Физика. Равномерное движение. Работа.
Химия. Концентрация вещества. Количество вещества.
Экономика. Цена. Стоимость.

Методические рекомендации по реализации программы.

Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются пособие для подготовки к ГИА под редакцией Ф.Ф.Лысенко « Подготовка ГИА-9 2012», тексты рассматриваемых типов задач, которые выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ГИА  и составлены самим учителем, связанные с окружающей нас жизнью.    Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач, сводящихся к системам двух и более уравнений.
   На более высоком уровне целесообразно предложить учащимся комбинированные задачи, условия которых предполагает различные типы задач, их комбинацию. В результате можно предложить учащимся составить самостоятельно задачу, включающую в себя все четыре типа задач.

  Важно правильно организовать работу учащихся с текстом задачи при проведении анализа условия. Для этого каждый учащийся должен быть обеспечен текстом. В этом плане наиболее удобными являются готовые сборники_задач. 

   При успешной реализации задач курса учащиеся должны знать:

1.Основные способы решения задач на составление уравнений. 
2.Основные способы моделирования реальных ситуаций при решении задач различных типов.

При успешной реализации задач курса учащиеся должны уметь:

1.Работать с текстами задачи, определять её тип.
2.Составлять план решения задачи.
3.Решать задачи разного уровня (включая творческие задания) на составление уравнений.
4.Моделировать реальные ситуации, описываемые в задачах на составление уравнений.
5.Работать в группе.

     Программа элективного курса «Решение текстовых задач» адресована учащимся 9-х классов.

СОДЕРЖАНИЕ ИЗУЧАЕМОГО КУРСА

Тема 1.Введение.Основные типы текстовых задач.(1час)

Текстовая   задача. Что  значит    решить   текстовую   задачу. Явные   и  неявные    главные    вопросы    текстовой    задачи. Способы    решения    текстовых   задач. Виды   текстовых   задач   и   их  примеры. Этапы  решения текстовой  задачи алгебраическим  способом. Значение  правильного   письменного   оформления  решения   текстовой   задачи. Решение  текстовой задачи с  помощью    графика. Чертёж  к   текстовой    задаче  и  его  значение  для  построения  математической модели.

Типы задач. Методы и способы решения задач. Основные способы моделирования задач. Составления плана решения задач.

 Форма занятия: лекция, коллективная работа.
 Методы обучения:  беседа, объяснение, алгоритмическое предписание. 

Тема 2,3. Задачи на движение двух тел.(8часов)

Движение   тел  по  течению  и  против  течения. Равномерное   и    равноускоренное     движения     тел     по   прямой   линии   в   одном направлении  и навстречу  друг  другу. Движение  тел   по  окружности   в  одном направлении  и навстречу друг  другу. Формулы   зависимости    расстояния, пройденного   телом, от  скорости,  ускорения    и    времени   в различных  видах   движения.  Особенности  выбора   переменных   и  методики  решения  задач  на  движение. Составление  таблицы    данных    задачи   на   движение   и её  значение для составления математической  модели.

Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Движение двух тел».

Равномерное движение. Одновременные события. Задачи на движение по реке, суше, воздуху, по окружности. Задачи на определение средней скорости движения.

Форма занятия:  лекция, практическая работа.   
Методы обучения:  объяснение, выполнение  разноуровневых тренировочных задач, самостоятельное решение с взаимопроверкой задач.

Тема 4. Задачи на   работу.(4часов)

Формула   зависимости    объёма    выполненной   работы    от               производительности  и времени  её  выполнения. Особенности     выбора    переменных    и     методики  решения    задач   на   работу.  Составление    таблицы    данных задачи     на  работу  и  её  значение для  составления  математической модели.

Обобщить и систематизировать знания учащихся по темам: работа, производительность.

Форма занятия:  комбинированное занятие.
Методы обучения: рассказ, объяснение, алгоритмическое предписание, решение задач с комментариями, практических заданий.

Решение задач на совместную работу, самостоятельное решение задач по карточкам.

Тема 5. Задачи на проценты.(8часов)

Процентные вычисления в жизненных ситуациях. Банковские операции. Основная формула процентов. Простые и сложные проценты. Средний процент изменения величины. Общий процент изменения величины.  

Форма занятия: объяснение, групповая практическая работа.

 Методы обучения: рассказ, алгоритмическое предписание, устные и письменные упражнения, выполнение практических заданий. 

Тема 6. Задачи на смеси, сплавы, растворы.(5часа)

Формула    зависимости     массы    или    объёма   вещества  в   сплаве, смеси, растворе («часть»)  от концентрации («доля»)  и массы или объёма   сплава,  смеси, раствора   («всего»).      Особенности        выбора   переменных   и методики   решения задач  на   сплавы, смеси, растворы. Составление   таблицы   данных  задачи  на сплавы, смеси, растворы   и   её    значение   для  составления     математической модели.

Концентрация вещества. Процентное содержание вещества. Количество вещества.

Форма занятия: лекция – объяснение, дифференцированная самостоятельная работа.

Методы обучения:  рассказ, алгоритмическое предписание, самостоятельное решение задач по карточкам. Решение разноуровневых  задач  на смеси, сплавы, растворы.

Тема 7. Комбинированные задачи.(6 часов)

Различные способы решения комбинированных задач. Задачи,  решаемые с помощью уравнений, неравенств и систем уравнений.

Форма занятия: объяснение, практическая работа.

Методы обучения: объяснение, решение тренировочных задач в группах.

Тема 8. Решение задач по всему курсу.(2 часа)

Решение задач.

Форма занятия: семинар, контрольная работа.

Методы обучения: опрос теоретического материала, решение тренировочных задач в группах, решение задач разного уровня сложности.

Тема 9. Защита рефератов, проектов.(1 час)

Подведение итогов изучения курса «Решение текстовых задач»

Форма занятия: урок-конференция.

Методы обучения:  защита творческого задания.   

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 ЛИТЕРАТУРА

Литература для учителя.

Математика Экспериментальная экзаменационная работа. 9 класс. Типовые текстовые задания. Издательство «Экзамен».Москва, 2006.

Н.Я. Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 кл. с углубленным изучением математики. Под ред. Н.Я.Виленкина.-5-е издание. М .: Просвещение,2001.

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 9 класса ОУ под редакцией Г.В.Дорофеева , Москва «Просвещение», 2009 .

Задачи на смекалку. И.Ф.Шарыгин, А.В.Шевкин, 2006, Москва, Просвещение.

Математический кружок. 6-7 классы. А.В.Спивак. 2009, издательство МЦНМО, Москва.

Алгебра. 9 класс. Сборник заданий к итоговому тестированию с решениями и ответами. Т.В.Коломиец, Волгоград, 2007.

ГИА-9 под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова, Легион-М, Ростов-на-Дону, 2010.

Задачи для подготовки к олимпиадам , математика, 9 класс, С.П.Ковалева, Волгоград, 2004.

ГИА-9 по математике под редакцией А.Л.Семенова,И.В.Ященко 

Литература для учащихся. 

1.Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ - М.:  «ОНИКС 21 век», 2001.

2Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова . Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-9. 2012.Легион-М. Ростов – на –Дону.2012

3. Кузнецова Л.В.  Суворова С.Б.  Сборник заданий для подготовки итоговой аттестации в 9 классе.   - М.:  Просвещение 2007.

Интернет ресурсы.  

http://reshuege.ru/

http://www.uchportal.ru/

Для контроля знаний используется рейтинговая система. Каждое практическое занятие и опрос теоретической части курса оценивается определенным количе­ством баллов. Итоговая оценка выставляется по сумме баллов за знание теоретического материала,  выполнение прак­тических заданий и защита проекта.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.

«5»-учащийся  освоил теоретический материал и сознательно применяет при решении конкретных задач; в работе над  индивидуальными  заданиями продемонстрировал умение работать  самостоятельно, творчески.

«4»- учащийся  освоил идеи и методы данного курса так, что может справиться со стандартными заданиями, индивидуальные задания выполняет прилежно ( без проявления творческих способностей)

«3» -  учащийся  освоил наиболее простые идеи и методы данного курса так, что он может выполнить простые задания.

Программа рассчитана на 34 часа, включает теоретический материал и контрольные занятия. 

Дидактический материал для занятий.

Тема 1. Введение. Структура и сущность    решения задач.

 Типы задач:

Изменение величины и сравнение её значений.

Задачи на работу.

Задачи на движение двух тел.                                                                                

Задачи на смеси и сплавы.   

  Алгоритм решения текстовых задач .

Ввод переменных, т.е. обозначение буквами x, y, z,... величины, которые требуется найти по условию задачи.

Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т.е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.

Решение уравнений или неравенств.

Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.

Указания к решению текстовых задач

Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует принимать искомые величины.

Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.

При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.

В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений

В процессе решения задачи, надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.

При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов, а также приведённые ниже примеры решения задач.

Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи.

Совет 2. Выбор неизвестных.

В задачах "на движение" – это обычно скорость, время, путь. В задачах “на работу” - производительность и т.д.

Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи и можно было составить соответствующую “математическую модель” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств).

Совет 3. Составление и решение “математической модели”.

При составлении “математической модели” (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый “знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).

Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное.

Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись).

Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не x и y, а x+y, x/y, 1/x и т.п.

Если кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель.

Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении задач нужно использовать свойства целых чисел.

Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы.

Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.

Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.

Вопросы к задаче с комментариями к ним:

О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).

Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).

Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится знак вопроса).

Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).

Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).

Какие условия используются для составления “модели”? (Выписать полученную “модель”)

Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения).

Тема 2. Задачи на движение двух тел.

 Средняя скорость движения

Средней скоростью движения на некотором участке пути называют постоянную скорость, с которой можно тот же участок пути пройти за то же время.

 Задача 1. 

Турист шёл со скоростью А км/ч , а точно такое же время со скоростью В км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём участке пути?

Задача 2.

Автомобиль ехал из А в В порожняком со скоростью 60 км/ч, а возвращался   с грузом  со скоростью 40 км/ч.Найдите среднюю скорость движения на всём участке движения.

Задача 3.

В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы с некоторой другой скоростью. Как он подсчитал, средняя скорость движения была12 км/ч . С какой скоростью он ехал с горы?

Задача 4.

Из деревни в город выезжает мотоциклист и едет с постоянной скоростью 50 км/ч. Через 20 минут после мотоциклистаиз деревни в городвыезжает автомобиль и едет с постоянной скоростью 80км/ч.Какова длина пути от деревни до города, если мотоциклист и автомобиль прибыли в город одновременно?Пусть S км –длина пути от деревни до города. Какое из данных уравнений соотвествует условию задачи?

Задача 5.

Из двух пунктов ,расстояние между которыми 45 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста на 3км/ч больше скорости второго велосипедиста. Определите скорость первого велосипедиста ,если они встретились через 1 ч 30 мин после их выезда.

Задача 6.

Из двух пунктов, расстояние между которыми 90 км,одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста . Второй ехал со скоростью на 6 км/ч больше скорости первого мотоциклиста . Определите скорость первого мотоциклиста ,если их встреча произошла через 1 ч 6 мин после выезда обоих мотоциклистов.

Задача 7.

Некоторое расстояние автобус проходит за 4 ч, а автомобиль –за 3 ч.Чему равно это расстояние ,если скорость автомобиля на 12км/ч больше скорости автобуса.

 Задачи на "Движение по реке"

Сформулируем задачу в общем виде:

Лодка от А до В плывёт по течению t часов, а от В до А(против течения) k часов. Сколько часов будет плыть бревно от А до В?

Задача 8.

Я грёб вверх по течению и, проплывая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин. Я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения?

Задача 9.

Расстояние между пристанями 30 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 6 часов. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?

Задача 10.

Лодка проплыла 6 км по течению реки и 8 км против течения,затратив на весь путь 4 ч 45 мин.Какова собственная скорость лодки,если скорость течения реки равна з км/ч?

Задачи на «Движение по окружности»

Задача 11.

Двигаясь по окружности в одном направлении, две точки встречаются каждые 12 минут. Так же известно, что первая точка обходит всю окружности на 10 секунд быстрее, чем вторая. Определить, сколько времени потребуется второй точке, чтобы обойти всю окружность.

Решение.

Введем некоторые обозначения. Пусть точка А – место встречи двух точек, которые движутся по окружности со скоростями х м/с и у м/с соответственно. Длина окружности равна р м (рис. 1).

Можно сказать, что время, за которое первая точка обойдет один раз всю окружность будет равна р/x секунд, а время, необходимое второй точке для полного оборота – р/y с. В этом случае можно составить первое уравнение: р/y – р/x = 10.

Первая точка за 12 минут, а это значит за 720 секунд (12 · 60 секунд = 720 секунд) проходит 720х метров, а вторая точка – 720у м. Причем первая точка за 12 минут обходит окружность на один раз больше, чем вторая. В таком случае, имеем второе уравнение: 720х – 720у = р. Можно составить систему уравнений:

Разделим обе части второго уравнения на р:

Пусть р/х = t₁, а р/у = t₂, тогда система примет вид:

Перепишем следующим образом:

Решим методом подстановки:

Из второго уравнения имеем квадратное уравнение

t₁² + 10t₁ – 7200 = 0.

Корни t₁ = -90 или t₁ = 80.

По смыслу задачи t₁ = 80 секунд, тогда t₂ = 10 + 80 = 90 секунд.

Ответ: 90 секунд.

Задача 12.

На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 10 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.

Решение. 

Обозначим длину окружности р м, а скорости первого и второго тел за х м/с и у м/с соответственно. Кроме того, будем считать, что x > y (рис. 2).

Пусть t секунд – время, за которое тела прошли путь от точки А до пункта их встречи – точки В, тогда (хt) метров и (уt) метров – расстояние, которое прошло первое и второе тела от точки А до точки В соответственно. С другой стороны, (9х) метров и (16у) метров – это расстояние, которые прошли тела от В до А уже после встречи, то есть хt = 16y и yt = 9х.

Имеем: t = 16у/х и t = 9х/у, значит, 16у/х = 9х/у или 16у² = 9х².

Извлечем корень из обеих частей равенства, получим: 4х = 3у, х = 4у/3.

Так как, путь, пройденный первым телом до встречи, на 10 метров больше, чем путь, пройденный вторым телом до встречи, то 16у – 9х = 10.

Зная зависимость х = 4у/3, имеем:

16у – 9 · 4у/3 = 10;

16у – 12у = 10;

4у = 10;

у = 2,5.

Тогда х = 4/3 · 2,5 = 10/3.

Найдем длину окружности:

р = 16у + 9х = 16 · 2,5 + 9 · 10/3 = 8 · 5 + 3 · 10 = 40 + 30 = 70 (метров).

Ответ: 70 метров.

Задача 14 .Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть скорость второго автомобиля равна   км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем 

.

Ответ: 59.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
До первой встречи велосипедист провел на трассе 2/3 часа, а мотоциклист 1/6 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна   км/ч, тогда скорость велосипедиста равна 

.

Еще через 1/2 часа после первой встречи, мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз. 

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 80 км/ч.

Ответ: 80.

Задача 15. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение.
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет   делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок: 

.

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам. 

Ответ: 240.

Тема 3. Задачи на   работу. 

При решении задач на работу нередко в условии задачи говорится о выполнении некоторого задания без указания конкретных единиц, в которых измеряется работа. В этом случае обычно принимают всю работу за единицу: А=1. Как правило, для составления уравнения или системы уравнений, буквами обозначаются в первую очередь производительности участников работы, а остальные величины вводятся по мере необходимости.

Некоторые указания к задачам на совместную работу.

Основными компонентами этого типа задач являются:

а) работа;

б) время;

в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

План решения задачи обычно сводится к следующему:

а) Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1, если речь идет о выполнении некоторой работы, не  охарактеризованной в количественном плане.

б) Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т. е. 1/t, где t – время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

в) Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно, за то время, которое он работал.

г) Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т. е. 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен  весь объем работы ).

Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда.

 Задача 16.

Два экскаватора разной мощности, работая совместно, выполняют работу за 6 часов. Если первый проработает 4 часа, а затем второй 6 часов, то они выполнят 80% всей работы. За какое время каждый экскаватор отдельно может выполнить всю работу?

Решение:

Пусть x - производительность первого экскаватора, а y - производительность второго экскаватора. Вся работа-1.

Так как экскаваторы работают совместно 6ч с производительностью x+y и выполняют всю работу, то составим уравнение: (x+y)6=1.

Первый экскаватор работает 4ч с производительностью Х., а затем 6ч второй экскаватор с производительностью У, и выполняют 0,8 всей работы, то 4x+6y=0,8. Решим систему из этих уравнений:

Ответ: 10ч, 15ч.

Задача 17.

Два каменщика, второй из которых начинает работать позже первого на 3 дня, могут  выстроить стену за 14 дней. Первому  каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену каждый каменщик в отдельности?

Задача 18.

Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана. Определите наименьшее время (в часах) необходимое для разгрузки баржи.(Производительность каждого крана постоянна в течении всей работы)

Ответ: 20ч.

Задача 19.

Первый кран разгрузит баржу за 3 часа, второй кран разгрузит сухогруз за 8 часов. Во сколько раз производительность первого крана больше производительности второго если первый кран разгрузит сухогруз на 10 часов быстрее, чем второй кран баржу?

Задача 20.

Один нагреватель нагревает воду в бассейне за 4 часа, второй- за 6 часов. За какое время нагреется вода в бассейне. если работают оба нагревателя?

Задача 21.

Два насоса, работая вместе, могут наполнить бассейн за 48 минут. За сколько минут может наполнить бассейн первый насос, работая один, если второму на эту работу нужно на 20 минут больше?

Задачи для самостоятельного решения

Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8 дней. Если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая 12 дней, то они выполнят 75% всей работы. За сколько дней может закончить уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?

Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Две машины, работая вместе, могут расчистить каток за 20 мин. Если первая машина будет работать 25 мин, а затем ее сменит вторая, то она закончит расчистку катка через 16 мин. За сколько времени может расчистить каток каждая машина, работая отдельно?

Две трубы при совместном действии могут наполнить бассейн за 4 ч. Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем ее перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы закончено за 9 ч. За сколько времени может наполнить этот бассейн каждая труба в отдельности?

Первый рабочий может выполнить задание за 8 ч, а второй за 6 ч. Они работали вместе 2 ч, а заканчивал задание один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения второго задания?

Двое рабочих, работая одновременно, выполнили задание за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в 2 раза быстрее, а второй в 2 раза медленнее, то они выполнили бы задание за 4 дня. За сколько дней выполнил бы задание один первый рабочий?

Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала открыли первый кран на 1/3 часть того времени, за которое наполняет бассейн один второй кран. Затем был открыт один второй кран на ½ часть того времени, за которое наполняет бассейн первый кран. После этого оказалось, что уже заполнено 5/6 объема бассейна. За какое время наполняет бассейн каждый кран в отдельности, если открытые вместе они наполняют бассейн за 2,4 ч?

Два зайца съедают определенное количество моркови за три дня. На сколько дней хватит моркови первому зайцу, если второй съедает это количество морковина 1 день быстрее , чем первый?

Два отряда ныряльщиков добывали жемчуг. Каждый человек из первого отряда достал 7жемчужин, а каждый человек из второго отряда достал 3 жемчужины. Всего была добыта 61 жемчужина. Сколько ныряльщиков в двух отрядах, если в первом отряде их количество на 3 больше, чем во втором?

Первая машинистка набирает 9 листов текста на компьютере за 40 минут, а вторая - 8 листов текста за это же время. Сколько минут потребуется им обеим, чтобы набрать 340 листов текста?

Трое рабочих выполняют некоторую работу. Если работали только первый и второй рабочие или только первый и третий рабочие, то работа была бы выполнена за три дня. Если работали только третий и второй рабочие, то работа была бы выполнена за шесть дней. За сколько дней рабочие выполняют всю работу, если будут трудиться втроем?

Тема  4.Задачи на проценты.

 1. Процент – сотая часть числа.

2. Чтобы найти р% от всего числа, надо всё число умножить на 0.01р.

3. Чтобы найти всё число по его р% процентам, надо известное число разделить на   0.01р.

4. Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого, надо одно число разделить на другое и умножить на 100%.

Задача 22.

Сколько процентов соли содержится в растворе, если в 200г. раствора содержится 150г. воды?

Решение:

1)      200-150=50(г.) – соли

2)      50*100%=25% - соли

           200

Ответ: 25%

Задача 23.

Кофе при жарке теряет 12% своей массы. Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить 14.08 кг. жареного кофе?

Задача 24.

На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на 30%, а другое - на 20 %?

Решение:

Пусть Х – 1 число, а У – второе число.

1.3Х – 1 увеличенное число

1.2 – 2 увеличенное число

1.3Х*1.2У*100%=156%

ХУ

Ответ: на 56%

Задача 25.

Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:
1) 22 ^. 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
         Ответ: 2,5 кг.

Задача 26.(из ЕГЭ).

Цену товара повышали: первый раз на р%, затем новую цену повысили на 2р%. После этого цену товара снизили на 15%. В итоге окончательная цена оказалась выше первоначальной на 12.2%. На сколько процентов была повышена цена товара в первый раз?

Решение:

Пусть исходная цена товара была А.

А₁=А*(1+р/100) – цена после 1-го повышения

А₂=А₁*(1+2р/100)=А(1+р/100)(1+2р/100) – цена после 2-го повышения

0.85*А(1+р/100)(1+2р/100) – цена после понижения на 15%

В задаче известно, что цена оказалась равной 1.122*А

Уравнение:

0.85*А(1+р/100)(1+2р/100)=1.122А

(1+р/100)(1+2р/100)=1.32

(1+0.01р)(1+0.02р)=1.32

1+0.03р+0.0001*2р²-1.32=0

2*(0.01р)²+3*0.1р-0.32=0

Введём замену 0.01р=t

2t²+3t-0.32=0

D=9+4*2*0.32=11.56, корень из D=3.4

T₁=-3+3.4/4=0.4/4=0.1

T₂=-3-3.4/4=-1.6

Обратная замена

0.01р=а1 0.01р=-1.6

р=10% р=-160 – не подходит к условию задачи

Ответ: на 10% повысили в первый раз

Задача 27

После ведения санитарной обработки на базе отдыха количество мух уменьшилось на 9%, а количество комаров – на 4%. В целом количество насекомых уменьшилось на 5%. Сколько процентов от общего числа насекомых составляли комары?

Решение:

Пусть х – было мух, у- было комаров.

0.91х – стало мух после обработки.

0.96у – стало комаров после обработки

0.95(х+у) – стало насекомых после обработки.

Уравнение:

0.91х+0.96у=0.95(х+у)

0.91х+0.96у=0.95х+0.95у

0.96у-0.95у=0.95х-0.91х

0.01у=0.04х

у=4х – следовательно, комаров 80 % от общего числа насекомых

Ответ: 80%

Задача 28

Водитель проехал первые 40% пути со скоростью, на 20% меньше запланированной. На сколько процентов он должен увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке пути, чтобы в итоге весь путь был пройден за 3.125% быстрее чем планировалось?

Решение:

Пусть х – весь путь, а у – запланированная скорость, р% - процент увелечения скорости.

0.4х/0.8у – время на первом участке

0.6х/0.8+0.01р*0.8у – время второго участка

0.4х+0.6х = 31х

0.8у 0.8у+0.008р*у 32у

х+ 3х =31х*32у

2у 4у(1+0.001р)

16+24/1+0.001р=31

24/1+0.001р=15

15+0.001р=24

0.001р=9

р=60%

Ответ: 60%

Простые проценты.

  Обозначим через А сумму первоначального вклада. Банк  обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого p% (годовая процентная ставка) от первоначальной суммы А. По истечении одного года величина вклада станет равной А= А(1+р/100) рублей.  Если по прошествии каждого года вкладчик снимает со счёта начисленные проценты, то через n лет на вкладе по формуле простого процента будет:

 А= А(1+р/100) .

Задача 29. 

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000р.Какая сумма будет на его счёте через 5 лет, 10 лет?

  Задача  30.

При какой процентной ставке вклад на сумму 500р. Возрастёт за 6 месяцев до 650 р.

Ответ: 5%.

Задача  31.

 Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000р.

Ответ:  25000р.

Задача32.

В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных - 20%.На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

Решение:

 Свежие   х (кг)   100 – 80 = 20(%) = 0,2     0,2х (кг)

 Сушен.   у (кг)    100 – 20 = 80(%) = 0,8     0,8у (кг)

                 Уравнение:     0,2х = 0,8у

                                          у : х =0 ,2 : 0,8

                                          у : х = 0,25

                                          у : х = 25 : 100

                                          у = 25%;  х = 100%

                                           100 – 25 = 75(%)

                                                           Ответ:   на 75%     

Сложные проценты

Если обозначить через А сумму первоначального вклада, А- сумма, которая будет на вкладе к концу n-го года, то при начислении p% годовых, не снимая со счёта сумму начисленных процентов, можно пользоваться формулой сложных процентов:

А= А .

 Задача  33.

Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся  на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 рублей и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Решение:

Пусть на a%  ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на «студенческий» вклад. Так как было положено 1000 рублей, а к концу второго года получилось 1210 рублей, то А=1000;  А=1210; n=2.

Решим уравнение :

1210=1000.

а= 10.

Ответ : 10%.

Задача 34.

Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

   Задача 35.

Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10000 рублей дошли до30000 рублей, за срок вклада 5 лет?                                                                                               

Ответ. 10 000 рублей дойдут до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573%

Задача36.

Хлебопекарня увеличила выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличится прибыль пекарни, если отпускная цена ее продукции возросла на 10%, а ее себестоимость для пекарни, которая до этого составляла 3/4 отпускной цены, увеличилась на 20%?

 Решение:

                 Было           % = дробь         Стало

 Продукция    х(кг)      150% = 1,5             1,5х (кг)

 Отпуск. цена  у(р)       110% = 1,1             1,1у (р)

 Выручка        ху(р)                                      1,65ху (р)

 Себест.1кг 3/4у(р)      120%=1,2             0,9у (р)

 Себест.       3/4ху(р)                            0,9у ∙ 1,5х = 1,35ху (р)

 Прибыль ху – 3/4ху=1/4ху             1,65ху – 1,35ху = 0,3ху (р)

 Найдем отношение новой прибыли к старой.

    120% – 100% = 20%.

                                            Ответ: на 20%     

Задача 37.

Цену первого товара подняли на 30%, потом еще на 5%.Цену второго товара повысили на 25%. После этого цены сравнялись. На сколько процентов отличались первоначальные цены?

  Первонач. цена       % = дробь        Новая цена

1.     х(р.)                  130% = 1,3          1,3 х (р.)

    1,3х(р.)                  105% = 1,05     1,05 ∙ 1,3х(р)

2.     у(р.)                    125% = 1,25     1,25 у(р.)

      Уравнение 1,05 ∙ 1,3х = 1,25 у

                              1,365х = 1,25у

                              у : х = 1,365 :1,25

                              у : х = 1,092 = 109,2 : 100

                    у=109,2%;    х = 100%

                            109,2 – 100 = 9,2.

                                      Ответ: на 9,2%.

Тема 5. Задачи на смеси, сплавы и растворы.

Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объёма: а=m/М.

Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называют его долю, выраженную процентным отношением: с=а 100%.

Задача 38.

В 2 литра 10% раствора уксусной кислоты добавили 8 литров чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.

Решение:

2л – 100%

Воды – 1,8л.

Кислота – 0,2л.

После добавления воды стало 9,8л. Воды, поэтому процентное содержание

(0,2\(0,2+9,8))*100%=2%

Ответ: 2%.

Задача 39.

 Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 ^. 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 ^. 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
          Ответ: 40%, 60%.

 Задача 40.

Сплав олова с медью весом 12кг. Содержит 45% меди. Сколько чистого олова нужно добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.

Задача 41.

 Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

 Задача 42.

 К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Задача 24. (вариант 13 , стр.53. для подготовки к ГИА- 9, 2011)

При смешивании первого раствора сахара, концентрация которого 25%, и второго раствора сахара, концентрация которого 35% , получили раствор, содержащий 32,5 % сахара. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение:

Пусть масса первого раствора – х  литров, второго – у литров, то первый раствор содержит 0,25 х л сахара, а второй- 0,35у л сахара, то общая масса сахара равна их сумме. С другой стороны,  масса полученного раствора равна (х+у) л, в нем содержится 0,325 (х+у) л сахара, то получим уравнение 0,25х+0,35у= 0,325(х+у). Раскрывая скобки и перенеся слагаемые с х в левую, с у- в правую, получим:

0,075 х = 0,025у / : 0,075 х

х/у= 1/3

Ответ: 1/3.

Задачи на концентрацию.

Формула концентрации    смеси (сплава) :

n=,

n – концентрация,

m- масса вещества в растворе (сплаве),

m- масса  всего раствора.

 Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:                   n=

n - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в процентах).

Задача 43.

К 20кг. 12%-раствора соли добавили 3кг. соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась.

1) 0.12*20=2.4(кг.) – масса соли в первоначальном растворе

2) 2.4+3=5.4(кг.) – масса соли в полученном растворе

Пусть Х(л.) воды требуется долить.

Запишем пропорцию:

20+Х=5.4

   20    2.4

2.4(20+Х)=5.4*20

48+2.4х=108

2.4х=60

х=25(кг.)

Ответ: 25(кг.)

Задача 44.

Если смешать 8 кг и 2кг растворов серной кислоты разное концентрации, то получим 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15% раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

Ответ: 10%-й и 20%-й растворы.

Задача 45.

Сколько граммов надо добавить к 100г. 30-% соляной кислоты, чтобы получить 10%-кислоту?

Задача 46.

 К раствору, содержащему 39г. соли, добавили 1л. воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе

Задача 47.

В колбе было 800г 80% спирта. Провизор отлил из колбы 200г этого спирта и добавил в неё 200г воды. Определите концентрацию ( в %) полученного спирта.

Задача 29. (вариант 13 , стр.53. для подготовки к ГИА- 9, 2011)

При смешивании первого раствора сахара, концентрация которого 25%, и второго раствора сахара, концентрация которого 35% , получили раствор, содержащий 32,5 % сахара. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение:

Пусть масса первого раствора – х  литров, второго – у литров, то первый раствор содержит 0,25 х л сахара, а второй- 0,35у л сахара, то общая масса сахара равна их сумме. С другой стороны,  масса полученного раствора равна (х+у) л, в нем содержится 0,325 (х+у) л сахара, то получим уравнение 0,25х+0,35у= 0,325(х+у). Раскрывая скобки и перенеся слагаемые с х в левую, с у- в правую, получим:

0,075 х = 0,025у / : 0,075 х

х/у= 1/3

Ответ: 1/3.

 Тема 6. Комбинированные задачи.

Задачи,  решаемые с помощью уравнений.  

Задача 48.

Магазин в первый день продал половину привезённых гусей да ещё  гуся; во второй день  часть остатка да ещё  гуся, а в третий день магазин продал оставшихся 33 гусей. Сколько всего гусей было привезено в магазин?

Решение:

Пусть было привезено в магазин х гусей. Тогда магазин продал:

1)      в первый день гусей;

2)      во второй деньгусей;

3)      в третий день 33 гуся.

Составим уравнение и решим его.

Ответ: 101 гусь.

Задача 49.

Автомобилист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехалвсего пути и ещё 60 км, во второй он проехал всего пути и ещё20 км, а в третий день он проехал  всего пути и оставшиеся 25 км. Найдите расстояние между городами.

Ответ:400 км.

Задача 50.

В течении года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Ответ:10%.

Задача 51.

Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/ч, проплыла по течению 91 км и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если лодка провела в пути 20 часов.

Ответ: 3 км/ч.

 Задача 52.

Один турист вышел в 6ч. из пункта А в пункт В, а второй из пункта В в пункт А в 7ч. Они встретились в 9ч. и, не останавливаясь, продолжили путь.  Во сколько раз скорость первого туриста больше скорости второго туриста, если первый пришел в пункт В на 5ч. раньше, чем второй в пункт А?

 РЕШЕНИЕ:

           v(км/ч)                 t(ч)                s(км)

  1.      х(км/ч)                 3ч.                3х(км)

  2.      у(км/ч)                 2ч.                2у(км)

__________________________________________

  1.      х(км/ч)                2у/х(ч)           2у(км) 

  2.      у(км/ч)                3х/у(ч)           3х(км)

   УРАВНЕНИЕ: 

   Обозначим 

                3z²  –  5z  –  2 = 0

                 Д = 49

                 z = ;   z = 2.          

                  Ответ: скорость первого туриста в 2 раза больше скорости второго  туриста.    

Задачи, решаемые с помощью систем уравнений.

Задача 53.

Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение (черновик).

Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.

1. Речь идёт о процессе движения, которое характеризуется тремя величинами: расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы).

2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного поездов (3 строчки таблицы).

3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи

Решение задачи

Пусть х, км/ч – скорость товарного поезда (х>0), у, ч – время движения скорого поезда (у>0).

Составляем таблицу.

По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние. Получаем систему уравнений

8/5 х(у+1) = х(у+4)

(х+50)у = х(у+4).

По условию задачи х>0, тогда

8(у+1) = 5(у+4)

(х+50)у = х(у+4),

3у = 12

(х+50)у = х(у+4),

у = 4

х+50 = 2х,

у = 4

х = 50.

Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х>0, у>0, значит удовлетворяют условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

Аналогично можно решать задачи “на работу”, “наполнение бассейна”.

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

Наблюдается активизация их мыслительной деятельности работы. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Задача 54.

Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 часа раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4,5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 часов после своего выхода. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Решение: пусть первый пешеход двигался со скоростью км/ч, а второй со скоростью км/ч. В первом случае один пешеход пройдет (4,5 х) км, а другой – (2,5 у) км. Во втором случае первый пешеход пройдет (3 х) км, а второй – (5 у) км. Зная, что расстояние между двумя пунктами равно 30 км, можем составить систему уравнений:

Ответ: скорость первого пешехода 5 км/ч, а второго 3 км/ч.

Задача 55.

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Ответ: 1,5 кг.

Задача 56.

 В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, плывёт по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идёт вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 часов, на обратный путь – 15 часов. Найдите расстояние от В до С, если известно, что скорость течения реки3км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.

Ответ: 210 км.

Задача 57.

Фирма А  может выполнить заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что  при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

Ответ: фирма А за 8 дней, фирма В за 12 дней

Задача 58.

Семья Ивановых ежемесячно платит за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась  бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%.  Какой процент от общей суммы платежа приходится на коммунальные услуги, телефон и электричество?

Задачи, которые решают при помощи неравенств.

Задача 59.

В контейнере находятся коробки и ящики общим числом  более 16. Если вдвое увеличить количество коробок и на 20 – количество ящиков, то ящиков будет больше, чем коробок.

Задача 60.

Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 105 км от пункта А, со некоторой скоростью выезжает автобус. Через 30 минут вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч отправляется автомобиль, который догнав автобус, поворачивает обратно. Определите скорость автобуса, при которой автомобиль возвращается в А позже, чем автобус приходит в В.

Задача 61.

На реке, скорость течения которой 5 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А,В и С, причём В находится посередине между А и С. От пристани В одновременно отходят плот , который движется по течению к пристани С, и катер, который идёт к пристани А, причём скорость катера в стоячей воде равна v км/ч. Дойдя до пристани А, катер разворачивается и движется по направлению к пристани С. Найдите все те значения v, при которых катер приходит в С позже, чем плот.

Ответ: 515 км/ч.

Тема 7. Решение задач по всему курсу.

Задача 62.( производительность) 

В бассейн проведена труба. Вследствие её засорения приток  воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие увеличится время, необходимое для заполнения бассейна?

Ответ: 150%

Задача 63.

Имеются 2 слитка, содержащие медь. Масса 2 слитка на 3кг. Больше, чем масса 1 слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%; во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором – 30%. Определить массу полученного слитка.

Ответ: 9кг.

Задача 64.

Из турбазы в одном направлении выходят три туриста с интервалом в 30 мин. Первый идёт со скоростью 5 км/ч, второй – 4 км/ч. Третий турист догоняет первого. Найдите скорость третьего туриста.

Ответ: 6 км/ч.

Задача 65.

  За определённое время на автозаводе должны были собрать 160 автомобилей. Первые 2 ч выполнялась установленная почасовая норма, а затем стали забирать на 3 автомобиля больше. В результате за 1 ч до срока было собрано 155 автомобилей. Сколько автомобилей в час планировали собирать первоначально?

Ответ:  20автомобилей. 

Дидактический материал для учителя

Тема. Комбинированные задачи

Тема занятия: Задачи, которые решают при помощи неравенств.

Цели: повторить и закрепить полученные ранее знания о решении неравенств, отработать навыки решения текстовых задач, приводящих к неравенствам, устранить пробелы в знаниях по решению таких задач, развивать логическое мышление учащихся

Метод обучения: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

1.Организационный момент

2.Актуализация знаний

Решение текстовых задач приводящих к неравенству или системе неравенств выполняются про той же схеме что и решение текстовых задач, приводящих к уравнению или системе уравнений, а именно:

1.Выбор и обозначение переменных для составления алгебраической модели задачи.

2.Выражение остальных переменных через выбранные и заданные в задаче значения величин.

3.Составление алгебраической модели.

4.Исследование модели методами алгебры.

5.исследование результата в соответствии с условием задачи.

3. Устная работа

-фронтальная работа с учащимися : повторение понятий «числовые промежутки», «неравенства с одной переменной», «системы неравенств с одной переменной» , «неравенства второй степени с одной переменной» и основные методы их решения(графический метод и метод интервалов)

Основные сведения:

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

Областью определения неравенства с одной переменной называет­ся множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.

Из данного неравенства получается равносильное ему неравенство, если:

1) из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком;

2) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число;

3) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный;

4) в какой-либо части неравенства или в обеих его частях выпол­нить тождественное. преобразование, не меняющее области определения неравенства.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Множеством решений системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему.

4.Решение задач по теме

-На школьной математической олимпиаде было предложено шесть задач. За каждую решенную задачу насчитывалось 10 очков, а за нерешенную задачу снималось три очка. В следующий тур выходили ученики, набравшие не менее 30 очков. Сколько задач нужно решить, чтобы попасть в следующий тур олимпиады?

Решение.

1.Выбор переменной. Пусть ученик должен решить х задач.

2.Выражение остальных переменных. Тогда за решенные задачи он получит 10х очков, а за 6-х нерешенных задач у него снимут 3(6-х) очков.Ученик может получить 10х-3(6-х) очков.

3.Составление модели задачи. По условию задачи число очков больше или равно 30и число задач не больше 6. Моделью задачи является система неравенств

4.Исследование модели методом алгебры. Решением системы является

5.Исследование результатов в соответствии с условием задачи. Отрезок есть множество действительных чисел, а количество решенных задач натуральное число. Из полученного отрезка выбираем натуральные числа:

х= 4,5,6

Ответ: нужно решить 4,5 или 6 задач.

-На какой высоте должен находиться космический корабль, чтобы для космонавта дальность видимого горизонта составила не менее 2000 км.? Радиус Земли считать 6370 км.

Ответ получаем решая неравенство (х+6370)²-6370² .

Ответ: не менее 307 км.

-Двум бригадам общей численностью 18 человек, было поручено непрерывное круглосуточное дежурство по одному человеку. Первое двое суток дежурили члены первой бригады, распределив между собой время дежурства поровну. Во второй бригаде было 3 девушки, остальные – юноши. Девушки дежурили по одному часу, а оставшееся время юноши распределили между собой поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена первой бригады меньше 9 часов. Сколько человек в каждой бригаде?

Решение. Пусть в первой бригаде было х человек. Тогда во второй бригаде было 18-х человек, из них 15 –х юношей. Каждый работник первой бригады дежурил часов, а каждый юноша их второй бригадычасов. По условию задачи составим неравенство: . Решим методом интервалов. По условию задачи и х, и 15-х - натуральные числа, поэтому решением задачи будет х=9.

Ответ: в бригадах было по 9 человек.

5. Итоги урока. Домашнее задание.

Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на лист, ему не хватит альбома. Если же будет наклеивать по 23 марки на лист, то хотя один лист останется чистым. Если же школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого содержится по 21 марке, всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/22736-reshenie-tekstovyh-zadach