Математические мотивы в художественной литературе

Математические мотивы в художественной литературе

Митина Марина Викторовна,

учитель математики

МОУ «СОШ № 2 г. Ершова Саратовской области

им. Героя Советского Союза Зуева М.А.»

В математике много интересного и красивого. Это различные примеры из области техники, искусства и природы, к которым математика имеет то или иное отношение. Это те лучшие места из художественной литературы, где известные художники слова отдают дань внимания и уважения науке – математика, делают ее предметов своих размышлений, передавая нам свое положительное отношение к ней. Задачи в литературных произведениях представляют возможности для моделирования ситуаций, помогают глубже понять окружающий мир, формируют критическое мышление, умение дать научный анализ сюжета, развивают образное и логическое мышление, позволяют выйти за границы учебника. В своей разработке я попыталась увидеть за словом число, за сюжетом - формулу и доказать, что литература существует не только для литераторов, как и математика не только для математиков. 

Цели учебно-методической разработки

1. Вызвать интерес к изучению математики у учащихся, имеющих гуманитарный склад ума.

2. Расширение и углубление знаний.

3. Развивать логическое мышление.

4. Приобретение умений увидеть проблему и наметить пути её решения.

Математические мотивы в художественной литературе

Было бы странно не встретиться с математикой в художественной литературе. Потому что, как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи - «математика слова», да и настоящая проза тоже. Так что, всякий действительный художник – немного математик. Потому что в жизни нет ничего такого, чего бы ни было в романах, рассказах и стихах, а математика – слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы. Поэтому встречаются

литературно-художественные задачи, которые относятся к особому классу задач различной сложности и на различные темы. Роднит их лишь одно: происхождение. Их ставят перед читателями авторы некоторых романов, повестей и рассказов, как правило – между делом, зачастую сами не обращая на это внимания. Но если читатель – любитель математики, от него такая задача не ускользнет! Он не упустит случая разобраться, что это там предложил писатель: разрешима задача или нет, сколько решений, можно ли обобщить. Иногда автор бывает столь любезен, что вместе с условием приводит и решение (как, например, широко известная задача про топоры и пилы из повести Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома»). Но это явление редкое. Чаще всего дается лишь условие, да и то…

Л. Кассиль. Кондуит и Швамбралия

Книга вторая, глава «Задача с путешественникам»

Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояния между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?

Решение:

Если второй проехал 525 верст, то

1) 525+175=700- верст проехал первый;

2)Так как время в пути одинаково, то отношение скоростей пройденных ими расстояний, то естьx/y=700/525=4/3, где x и y – скорости путешественников (верст в день).

3)По условию у(4у/3+у)=525;

(4y²+3y²)/3=525;

7y²/3=525;

7y²=525*3;

7y²=1575;

у=15;

4) у(х+у)=525;

5) 15(х+15)=525;

х=20.

Ответ: первый проехал – 20 верст;
второй проехал – 15 верст.

И.Ильф, Е.Петров. Двенадцать стульев. Глава III

”…Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей.”

Напрашивается вопрос: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и оставил.

Дополнительное условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок.

Решение:

20 рублей можно представить в виде суммы ненулевого количества трех- и пятирублевок единственным способом: 5 трехрублевок+1 пятирублевка.

Пусть отец Федор взял из коробки х трехрублевок и у пятирублевок (причем х>5, y>1).

Тогда 3х+5у=50 и х=5(10-у)/3. Так как у>1,

то x<5(10-1)/3=15.

Итак, 5<x<15/5. Но из выражения для х видно, что х делится на 5. Поэтому х=10. Тогда у=4.

Ответ:осталось-5-трехрублевок, 1-пятирублевка;

Взяли-10-трехрублевок, 5-пятирублевки.

И.Ильф, Е.Петров. «Золотой теленок». Глава IX

На трех станциях: Воробьево, Грачеве и Дроздове было по равному количеству служащих. На станции Дроздове было комсомольцев в 6 раз меньше, чем на двух других, вместе взятых, а на станции Воробьеве партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачеве. Но на этой последней беспартийных было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова там была партийная и комсомольская прослойка?

Дополнительно условие в виде вопроса:какое наименьшее число служащих на каждой станции надо задать, чтобы задача имела единственное решение?

Решение:

Так как на станции Воробьево партийцев на 12 больше, чем на станции Грачево, то общее число служащих на станции Воробьево ( и вообще на каждой станции) не может быть менее 12.

Пусть на каждой станции было по 12 служащих. Тогда на станции Воробьево все 12 – партийцы, и ни комсомольцев, ни беспартийных нет.

На станции Грачево соответственно нет партийцев.

По условию, на станции Дроздово комсомольцев в 6 раз меньше, чем на остальных двух. Но так как на ст. Воробьево комсомольцев нет совсем, то отсюда следует, что на ст. Грачево комсомольцев в 6 раз больше, чем на ст. Дроздово.

Поэтому число комсомольцев на ст. Грачево делится на 6, т. Е равно 6 или 12.

Партийцев на ст. Грачево нет, поэтому число беспартийных там соответственно равно 6 или 0.

Но последнее значение противоречит тому условию, что на ст. Грачево беспартийных на 6 больше, чем на двух остальных.

Итак, на ст. Грачево 6 комсомольцев и 6 беспартийных.

На ст. Дроздово комсомольцев в 6 раз меньше, то есть 1, а беспартийных нет (поскольку на станциях Воробьево и Дроздово вместе взятых число меньше беспартийных на 6 меньше, чем на станции Грачево, то есть равно 0). На ст. Дроздово 11 партийцев ( 12-1=11).

Я. Гашек.Похождения бравого солдата Швейка. Часть первая, глава III

Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восемь окон, на

крыше - два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта.

В каком году умерла у швейцара бабушка?

Дополнительно условие: Швейк поставил задачу в 1914 году, год кончины бабушки равен произведению общего числа окон этого дома на число труб и на возраст (в 1914 году) одного из квартирантов, лично присутствовавшего на похоронах.

Решение:

Пусть возраст квартиранта равен N.

В доме имеется на этажах 4*8=32 окна и плюс 2 слуховых окна: 32+2=34

Труб в доме 2, и потому год смерти бабушки равен 34*2*N=68N

Задача предполагалась в 1914 году. Ближайшее меньшее, делящееся на 68 – это 68*28=1904, а предшествует ему 68*27=1836. Последнее значение не дает возможность квартиранту лично присутствовать на похоронах. Следовательно, бабушка умерла в 1904 году.

Ответ: 1904 год

Г. Белых, Л. Пантелеев. Республика Шкид.

Глава "Шкида влюбляется"

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, знаменатель равен 9/2, третий член в 3/2 раза больше знаменателя. Найти четвертый член.

Дополнительное условие: будем считать, что одно из трех данных чисел задано неверно. Третий член прогрессии в точности равен сумме в рублях, которую автор этой статьи заплатил недавно на рынке за картошку.

Решение:

Из трех данных чисел два верных. Выбрать два из трех можно тремя способами.

Обозначим n-й член прогрессии через a_n,а знаменатель через q.

В условии сказано, что а₃ – заплаченная сумма в рублях. Оно помогает отсеять два первых случая, так как ни2268/103, ни(53 ± 2773)/4 рублей заплатить невозможно. А вот 27/4=6руб 75 коп. – можно. И так 3 способ нам подходит.

Исходя из этого, можно найти а₄член прогрессии.

Ответ: а₄=243/8

Ф.М. Достоевский «Братья Карамазовы»

«Удвоенный вклад»

Он сохранил малюткам по их тысяче, оставленной генеральшей, неприкосновенно, так что они к совершеннолетию их возросли процентами, каждая до двух, воспитал же их на свои деньги…

Дополнительное условие: Иван и Алексей Карамазовы семи и четырех лет. Для определенности решения ориентироваться на возраст младшего брата. Какой процент годовых начислялся на вклад?

Решение:

Возраст мальчиков отличался на несколько лет. Неверно считать, что к совершенелетию каждого, то есть к 18 годам, суммы обоих вкладов удвоились, поскольку сроки хранения были разные. Будем исходить из возраста младшего брата. В таком случает

n=14 лет

a₀=1000 рубоей

a₁₄ =2000 рублей

Приняв во внимание, что долгосрочные вклады обычно начислялись сложные проценты, получис уравнение

1000(1+0.01p)¹⁴ =2000

p=5.2%

Ответ:5.2%

Н.А Некрасов «Двадцать пять рублей»

Дмитрий Иванович пошел к нему в половину по одному предприятию, от которого банкир предсказывал золотые горы. Заедин отдал ему свой капитал на выгодных условиях, так, что получал с него десять процентов, кроме половины, которая ему следовала из барышня. Дела шли очень хорошо, и он в первый год получил до пятидесяти тысяч чистой прибыли.

Дополнительное условие в виде вопроса: Сколько денег удалось заработать компаньонам за год?

Решение:

В предприятие оба героя вложили

2*150000=300000 рублей

Доход Заедина в размере 50 000 рублей складывался из двух частей. С собственного капитала 10%, или

150000*0,1=15000 рублей.

Еще 35 000 рублей ему полагалось из барыша, а это 50% от всей прибыли. Следовательно, за год компаньоны заработали

35000+35000=70000 рублей

От исходного капитала эта сумма составила:

(70000/300000 )*100%=23 %

Ответ: 23 %

Л. Н. Толстой «Много ли человеку земли нужно (о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев)»

«– А цена, какая будет? – говорит Пахом.

– Цена у нас одна: 1000 руб. за день.

Не понял Пахом.

– Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

– Мы этого, – говорит, – не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню 1000 руб.

Удивился Пахом.

– Да ведь это, – говорит, – в день обойти, земли много будет.

– А мы станем на место, где ты облюбуешь, мы стоять будем, а ты иди, делай круг; а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади, потом с ямки на ямку плугом проедем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.»

Дополнительное условии в идее вопроса: Сколько десятин прошел?

Решение:

Фигура, которая получилась у Пахома, имеет вид:

Н айдем площадь участка. По теореме Пифагора х ≈ 13 верст. Тогда S=(2+10)*13=78 кв. верст

Так как 1 верста = 1,0668 км ≈ 1,1 км, 1 кв. верста = 1,138 км², то 78 кв. верст ≈ 89 км² ≈ 8900 га ≈ 8900 десятин.

Ответ: ≈ 9000 десятин.

А. П. Чехов «Каникулярные работы институтки Наденьки Н.»

«Три купца внесли для одного торгового предприятия капитал, на который через год было получено 8000 руб. прибыли.

Дополнительное условие в виде вопроса: Сколько получил каждый из них, если первый внес 35 000 рублей, второй – 50 000 рублей, а третий – 70 000 рублей?»

Ответ: 1806 руб., 2580 руб., 3612 руб

И. С. Тургенев «Муму»

«…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения.»

Дополнительное условие в виде вопроса: Какой рост у Герасима.

Решение:

С давних пор использовались мелкие единицы длины:

1 аршин = 4 четверти = 16 вершков; 1 аршин = 71,12 см; 1 четверть = 17,78 см;

1 вершок = 4,4 см; 1 сажень = 213 см.

Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными, вычислим рост Герасима:
12 · 4,4 см = 53 см. Рост младенца в среднем составляет 51–53 см. Какой же Герасим тогда богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:

1) 2 · 71 см = 142 см ≈ 2 аршина;

2)142 + 53 = 195 см ≈ 2 аршина и 12 вершков.

Ответ: 1 м 95 см.

Н. А. Некрасов «Дедушка Мазай и зайцы»

«Вижу один островок небольшой – зайцы на нем собрались гурьбой.
С каждой минутой вода подбиралась к бедным зверькам; уж под ними осталось
меньше аршина земли в ширину, меньше сажени в длину».

Дополнительное условие в виде вопроса: Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади?

Решение:

Площадь участка можно вычислить по формуле S = аb,
а = 1 аршин ≈ 71 см, b = 1 сажень ≈ 213 см.

Тогда S ≈ 0,71 · 2,13 = 1,5123 м².

Ответ: 71 см, 213 см, 1,5123 м².

А. Аверченко «Экзаменационная задача»

«Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой – пять. Спрашивается, на сколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же расстояние в верстах, – сколько получится, если два виноторговца продали третьему такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли сто двадцать рублей, второму восемьдесят, а всего бочка вина приносит прибыли сорок рублей».

Решение:

Вычислим расстояние от пункта А до пункта Б:
(120 + 80) : 40 = 5 (бочек). Получим, что оно равно
5 верстам. Первый крестьянин пройдет это расстояние за
5 : 4 = 1,25 ч, а второй – за 4 : 4 = 1 ч, то есть затратит на этот путь на 0,25 ч меньше, чем первый. Поскольку второй крестьянин вышел на четверть часа позже второго, то они придут в пункт Б одновременно.

Ответ: одновременно придут.

Г. Остер «Зарядка для хвоста»

В известном мультфильме «38 попугаев» главные герои измеряли рост Удава. Оказывается, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка.

А так ли это на самом деле?

Решение:

На самом деле средняя длина попугая равна 22 см, мартышки – 70 см, слона – 330 см, а длина удава около 10 м.

Выполнив ряд вычислений, получим, что длина удава равна

45 попугаям (1000 : 22 ≈ 45), 14 мартышкам (1000 : 70 ≈ 14) и

3 слонам (1000 : 330 ≈ 3).

Ответ: 45 попугаев, 14 мартышек и 3 слона.

Дж. Лондон «Маленькая хозяйка большого дома »

«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали рычаг, и мотор заработал. Машина сама двинулась вперед, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.

– Чтобы окончательно усовершенствовать машину, Грэхем, вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.

– Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли.

Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил:

– Теряем примерно три акра из каждых десяти. Не меньше».

Решение:

Пусть, а – сторона квадрата.

Площадь такого квадрата S_кв = а².

Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь

S_кр=. Пропадающая часть квадратного участка составляет:

S_кв– Sкр = a²- = ( 1 - )* a²= 0,22a²

Расчеты оказались неточными. Необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, а только 22%.

Ответ: 22%

Заключение

Используя – зачастую неожиданным образом – страницы художественной литературы; легенды и сказания обостряют интерес к предмету - математика, к тому же, раскрывают неожиданные стороны как будто знакомого предмета. Задачи, которые были рассмотрены в данной разработке, помогают развивать мышление и логику, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

Список используемой литературы

1. Научно-теоретический журнал «Математика в школе»

2. «Занимательная алгебра» Я.И.Перельман

3. «Рассказы о математике» И. Депман

4. «Квант» Научно-популярный физико-математический журнал.

5. «Математика. Первое сентября» Методическая газета

6. «Эстетика урока математики» И. Г. Зенкевич

7. «Живая математика» Я. И. Перельман

8.http://www.profistart.ru

9.http://ru.wikipedia.org

ПриложениеI