Учебно-методические материалы по МДК.01.04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания Раздел: Математические понятия

«Братский педагогический колледж»

Кафедра педагогики, психологии и методики начального образования

Учебно-методическиематериалы по МДК.01.04

Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Раздел: Математические понятия.

Составитель: Белоглазова Л.В.

Данный материал написан в соответствии с програм­мой профессионального модуля «Преподавание по программам начального образования».

Структура темы включает в себя материал для теоретических занятий, практические занятия, задания для самостоятельной работы студентов, список рекомендуемой для изучения литературы, вопросы для самоконтроля.

Профессиональная направленность материала достигается по­средством определенного отбора теоретического материала и ме­тодических подходов к его изложению, путем включения заданий, выполняемых младшими школьниками (они в основном взяты из действующих учебников математики для начальных классов). В основу обучения положен системно - деятельностный подход, что отражает требования ФГОС НОО условиям и результатам освоения начального курса математики.

Тема: Математические понятия

1. 1. Математические понятия. Объем и содержание понятия

Цель:Получить представления о понятии, его существенных и несущественных признаках, объеме и содержании понятия, о понятии рода и вида

План:

1. Группы понятий, изучаемых в начальной школе.

2. Понятие как форма мышления.

3. Существенное и несущественное свойства для объекта.

4. Объем и содержание понятия.

5. Понятие рода и вида.

Группы понятий, изучаемых в начальной школе. В начальном курсе математики изучаются понятия, представленные в виде четырех групп. Первая группа понятий связана с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую включены алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник, прямоугольник и др. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Чтобы изучать такое обилие самых разных понятий надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

Понятие как форма мышления. Понятие– это форма мышления, отражающая объекты (предметы или явления) в их существенных общих свойствах. Языковая форма понятия – это слово или группа слов.

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличать его от других сходных с ним объектов. Главная особенность математических понятий – математические объекты, о которых составляется понятие, в реальности не существуют, они созданы умом человека, они результат абстрагирования. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и др.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

Существенное и несущественное свойства для объекта. Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали и др.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Существенное свойство для объекта присуще для него и без этого свойства объект не может существовать.Несущественное свойство для объекта не присуще для него и без этого свойства объект может существовать. Например, понятие «квадрат»:

существенные свойства – четыре вершины, диагонали перпендикулярны, четыре вершины и др.;

несущественные свойства – две стороны горизонтальные, нарисован на бумаге и др. Если квадрат повернуть, то стороны будут располагаться по-другому, но объект останется квадратом.

Объем и содержание понятия. Когда говорят о математическом понятии, то имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Например, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, которые можно назвать квадратами.

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином (множество бесконечное).

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, присущих этому понятию (множество конечное).

Например, понятие «квадрат»:

объем понятия – это бесконечное множество различных квадратов;

содержание понятия – все существенные свойства: «имеет четыре прямых угла», «имеет четыре стороны», «имеет четыре вершины», «имеет равные стороны» и др.

Понятие рода и вида. Нельзя усвоить понятие, не осознав его взаимосвязь с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, уметь устанавливать эти связи.

Пусть понятия обозначаются буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z. Заданы два понятия a и b, их объем соответственно А и В.

Если, то понятие а – видовое по отношению к понятию в, а понятие в – родовое по отношению к понятию а.

Например, объемы понятий «квадрат» и «прямоугольник» находятся в отношении включения. Поэтому понятие «квадрат» - видовое по отношению к понятию «прямоугольник», а понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат».

ЕслиА = В, то говорят, что понятияaub тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.

Во-первых,понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к поня­тию «четырехугольник».

Пример цепочки видовых и родовых отношений между понятиями:

Квадрат  прямоугольник  параллелограмм  четырехугольник  многоугольник

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми явля­ются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих,видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отноше­нию к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, прису­щими прямоугольнику.

Итак,для понятия часто можно указать несколько родовых понятий; видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.Например, для понятия «квадрат» родовые понятия - «прямоугольник», «параллелограмм», «четырехугольник» и др. Квадрат обладает свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия - множество, то удобно, устанавливая от­ношения между объемами понятий, изображать их при помощи кру­гов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами по­нятий аив,если:

1. а- «прямоугольник», b - «ромб»;

2. а - «многоугольник»,b- «параллелограмм»;

3. а - «прямая»,b- «отрезок».

В случае 1) объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого (рис. 27). Следовательно, можно утвер­ждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае 2) объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – не всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот (рис. 28). Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» - видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» - родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не является отрезком (рис.29). Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находят­ся в отношении целого и части: отрезок - часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает такими свойствами прямой, как бесконечность.

Вопросы для самоконтроля:

- Назовите группы понятий, изучаемых в начальной школе.

- Определите, что такое «понятие».

- Какие свойства для объекта являются существенными и несущественными?

- Что такое объем и содержание понятия.

- Определите понятие рода и вида.

Список литературы

1. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М: Издательский центр «Академия», 2008. – 424 с.

2. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М: Издательский центр «Академия», 2010. – 368 с.

1. 1. Определение понятий. Требование к определению понятия

Цель: Усвоить структуру определения понятия, видов определений в начальном курсе математики, требований к определениям понятий.

План:

1. Определение понятия.

2. Структура явного определения. Условные определения.

3. Требования к определениям понятий.

4. Определение понятий в начальной школе.

Определение понятия. Появление в математике новых понятий, а значит, и новых тер­минов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения).Определение понятия – логическая операция, раскрывающая его содержание.

Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно опреде­лить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которо­го все углы прямые». В этом определении есть две части - определяе­мое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырех­угольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через апер­вое понятие, а через b- второе, то данное определение можно пред­ставить в таком виде:

аесть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом <=>, и тогда определение

onр.

выглядит так:

а<=>b

onр.

Читают:«аравносильноbпо определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «атогда и только тогда, когда b».

Структура явного определения.Условные определения. Определения, имеющие такую структуру, называютсяявными.Рас­смотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части - определяющему понятию. В нем можно выделить:

1. понятие «четырехугольник», которое является родовым по от­ношению к понятию «прямоугольник»,

2. свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид - прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие - это свойства (одно или несколько), ко­торые позволяют выделять определяемые объекты из объема родово­го понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во-первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обо­значения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немно­го позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и».

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие аоп­ределено через род и видовое отличие, то о его объеме - множестве А- можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятияс)и обладают свойством Р.

Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», - то объем понятия «острый угол» -это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие явля­ется по существуусловным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не дока­зывают и не опровергают.

Требования к определениям понятий. Но, формулируя определения, придержи­ваются ряда правил. Назовем основные требования к определению понятий.

Определение должно быть соразмерным.Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Например, несоразмерно такое определение квадрата: «Квад­ратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объем определяемого понятия - множество квадратов. Объем определяющего понятия - множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объемы определяемого и определяющего понятия не совпадают, и, следовательно, данное определение несоразмерно.

В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем понятии не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него.

Например, содержат порочный круг определения: «Равные тре­угольники - это треугольники, которые равны», «Касательная к окружности - это прямая, которая касается окружности».

Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия, а их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений. В соответствии с ним нельзя определять понятие а,выбрав в качестве родового понятия с,а понятие с- через понятие а.

Например, если определить окружность как границу круга, а круг как часть плоскости, ограниченную окружностью, то мы будем иметь порочный круг в определениях данных понятий.

Объект должен существовать. Это означает, что нельзя определить тот объект, который нереален.

Например, «Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого все углы прямые», такой объект нереален, т.к. нет такого прямоугольного треугольника, у которого все углы прямые

Определение должно бытьясным.Требование означает оно многое. Так как требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необхо­димо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямо­угольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедиться в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно доказать, что свойство «в прямо­угольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в дан­ном определении прямоугольника второе свойство избыточное.

Таким образом, чтобы определение было ясным, желательно, что­бы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выведены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простоты изложения это пра­вило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат - это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, на­до стремиться в определяющем указывать не просто родовое по от­ношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволя­ет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового вы­брать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все сто­роны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата ро­довое понятие - прямоугольник, то получим более короткое опреде­ление квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Определение понятий в начальной школе. При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используют редко. Связано это как с особенно­стями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много - об этом мы говорили в самом начале параграфа. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего исполь­зуют так называемыенеявныеопределения. В их структуре нельзя выде­лить определяемое и определяющее. Среди них различают контексту­альныеиостенсивные.

Вконтекстуальныхопределениях содержание нового понятия рас­крывается через отрывок текста, через контекст, через анализ кон­кретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Посред­ством контекста устанавливается связь определяемого понятия с дру­гими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержа­ние. Примером контекстуального определения может быть определе­ние уравнения и его решения, приведенное в учебнике математики для II класса (Моро М.И., Бантова М.А. Математика: Учеб. для 2 класса трехлетней начальной школы. - М.: Просвещение, 1987. - С. 196). Здесь после записи □ + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х(икс):

х+ 6 = 15 - это уравнение.

Решить уравнение - значит найти неизвестное число. В данном урав­нении неизвестное число равно 9, так как 9 + 6 = 15.

Объясни, почему числа 0, 5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение - это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой л: и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения - это число, которое при подстановке вместо хобращает уравнение в верное равенство.

Остенсивные определения - это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравен­ства:

2-7 > 2-69-3 = 27

78 - 9 < 786-4 = 4-6

37 + 6>3717-5 = 8 + 4

Это неравенстваЭто равенства

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредст­вом показа не выделяет числовые равенства (неравенства) из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Они только связывают термины с определяемыми объекта­ми. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Вопросы для самоконтроля:

- Поясните термин «определение понятия».

- Какова структура явного определения?

- Какое определение считается условным?

- Перечислите требования к определениям понятий, поясните их суть.

Какие существуют виды определений понятий в начальной школе, что они означают?

Список литературы

1. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М: Издательский центр «Академия», 2008. – 424 с.

2. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М: Издательский центр «Академия», 2010. – 368 с.

Практическое занятие

Тема:Определение родовых отношений между понятиями. Решение задач на распознавание понятий

Цель: На основе систематизации теоретических знаний о видах и структуре определений понятий раскрыть логико-математическую структуру типичных для школьного курса математики определений понятий; освоить основные учебные действия, необходимые для усвоения понятий.

План:

1. Теоретическое обобщение знаний о понятиях

2. Решение упражнений

3. Самостоятельная работа

Вопросы:

- Группы понятий, изучаемых в начальной школе.

- Понятие как форма мышления.

- Существенное и несущественное свойства для объекта.

- Объем и содержание понятия.

- Понятие рода и вида.

- Определение понятия.

- Структура явного определения.

- Условные определения.

- Требования к определениям понятий.

- Процесс составления задачи на распознавание понятия.

Решение упражнений

Указания: Вспомните, что такое объем, существенные и несущественные свойства понятия, отношение рода и вида между понятиями, какие требования к определениям должны выполняться и выполните задания.

1. Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объему понятия:

а) параллелограмм; б) трапеция; в) равнобедренный треугольник.

2. Назовите пять существенных свойств понятия:

а) параллелограмм; б) трапеция; в) равнобедренный треугольник.

3. Каков объем понятия:

а) однозначное число; б) натуральное число?

4. Какое из следующих утверждений верное? Ответ объясните.

а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику.

б) Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату.

5. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:

а) многоугольник и четырехугольник;

б) угол и острый угол;

в) луч и прямая;

г) круг и окружность?

6. Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении рода и вида?

7. Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете, то исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

в) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

г) Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами.

Самостоятельная работа

Задание 1. В каких из приведенных ниже определений математических понятий имеются ошибки?

Указание: Если в определении есть ошибка, то укажите ее причину, исправьте ее, если это возможно. Для верного определения сформулируйте эквивалентное ему определение. Результаты оформите в таблицу.

I.Вариант II. Вариант

Оформление выполненного задания

Задание 2. Выполните логический анализ определений, приведенных ниже понятий:

Указание: Вспомните определение понятия (или прочитайте его в учебнике), определите его вид, род, видовые отличия и результат оформите в таблицу.

Задание 3. Выполните действие подведения под определение объекта. Результат оформите таблицей, записав сначала 1) определение понятия; 2) его свойства; 3) логическую связь между свойствами. Примеры объектов, подлежащих распознаванию, привести самим.

Самостоятельная работа студентов

Задание. Составить и выполнить задания на распознавание математических понятий в начальных классах (рассмотреть не менее 10 понятий).

Сроки выполнения: решение задач на распознавание на практическом занятии.

Рекомендации по выполнению задания:

1. Записать автора учебника математики и класс.

2. Выявить понятия, которым даются определения.

3. Определить родовое понятие и существенные признаки.

4. Составить задачи на распознавание выявленных понятий.

5. Решить задачи на распознавание понятий, фиксируя наличие признаков и делая вывод:

Список литературы

1. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. – М: Издательский центр «Академия», 2001.

2. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. – М.: Издательство «Ювента», 2011.

3. Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1. – М.: Издательство «Ювента», 2011.

4. Моро М.И. Математика. 1 класс.Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электр. носителе. В 2 ч. Ч. 1. – М.: Просвещение, 2011.

5. Моро М.И. Математика. 1 класс.Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электр. носителе. В 2 ч. Ч. 2. – М.: Просвещение, 2011.

6. Чекин А.Л. Математика: 1 класс: Учебник: В 2 ч. – М.: Академкнига/Учебник, 2011.

7. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М: Издательский центр «Академия», 2002. – 424 с.

Форма контроля: Представление заданий на практическом занятии 1