Метапредметный урок по теме "Простые и составные числа"

Авторразработкиурока:Логинова Людмила Михайловна,учительМОУ «Сабская СОШ» Волосовского района Ленинградской области.

Тема«Простые и составные числа»

Методологическойосновойразработкиметапредметногоурокаявляется:организациясобытийногообразования.

Событие:Экскурсия в мир чисел.

Предмет.математика.

Возрастная ступень: учащиеся 6 класса.

Главное и привлекательноев событии: коммуникация.

Форма: событие-экскурсия.

Событийныйформатурока:погружение.

Типурока.Урок обобщения и систематизации с дидактической игрой «Математический экскурс».

Оборудование:жетоны, учебник, компьютер, мультимедийный проектор,интерактивнаядоска, таблица простых чисел, Лента с рядом натуральных чисел, портреты Пифагора, Эйлера, Евклида, Ферма, Чебышева, дружественные числа из 152 цифр, записанные на ленте, таблица совершенных чисел, таблица для гипотезы Гольдбаха, таблицы с магическими фигурами, таблицы с диковинными числами.

Элементы содержания:Делители и кратные, простые и составные числа

Видконтроля: Устныйответ,вычисления.

Технология:Деятельностныйподход.

Методыобучения:проблемный,практический,словесный,наглядный.

Формы деятельности: Коллективная, индивидуальная.

Целиурока.

Образовательная–систематизировать,обобщитьиуглубитьсведенияопростых и составных числах. Установление связей теории с практикой.

Метапредметная–формированиегибкостимышленияучащихся. Научить обобщать знания, осмысливать материал, анализировать, наблюдать, делать выводы.

Личностная–воспитаниеэмоциональноговосприятиярассматриваемыхзаданий и вопросов; введением игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение, развивать познавательные интересы.

Учебнаязадача

НапознавательныеУУД

• Спроектируйстратегиюпоиска;

• Сравни, оцени, классифицируй;

• Исследуй;

НакоммуникативныеУУД

• Научетпозициипартнера: участники внимательнослушают одноклассников, извлекаютнужнуюинформацию,стараютсяпонять,какиспользоватьимеющиесязнания;

• Насотрудничество: участникикоманддаютвозможностьвысказатьсякаждому,посовещавшисьидоговорившись,комуотвечатьнаданный вопрос.

Повторяемый материал. Делители и кратные. Простые и составные числа.

Дополнительный материал. Ресурсы Интернет.

Планируемыерезультаты.

Предметные

Познакомится с историей изучения различных чисел великими математиками.

УУД

Коммуникативные:осуществлятьсовместнуюдеятельностьвгруппах; проводить исследования и делать выводы, задавать вопросы с целью получения необходимой для решения проблемыинформации;осуществлятьдеятельностьсучётомконкретныхучебно-познавательныхзадач;уметьпредставлятьконкретноесодержаниеисообщатьеговустнойиписьменнойформе;уметь(илиразвиватьспособность)спомощьювопросовдобыватьнедостающуюинформацию.

Регулятивные: ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что ужеизвестноиусвоено,итого,чтоещёнеизвестно;самостоятельноформулировать познавательную цель и строить действия в соответствии сней.

Познавательные: воспроизведение особенностей объектов экскурсий.

Личностные:Формированиеустойчивоймотивациикизучениюнового.

Ходурока

Эпиграф

«Миром правят числа, всё в мире – есть число».

Пифагор.

1. Организационныйблок

   • Инструкцииипояснения

Работавкомандах,настолахучебники,тетрадиипринадлежности.

• Вводноесловоучителя

Ребята! Наш урок посвящён истории чисел, которое имеет большое значение длявсего мира.

• Распределениепогруппам

Учащиесяклассаделятсянадвекоманды–«Числа»и«Фигуры».

• Выработкаправилработы(определениенорм,процедурработы)

Работа по презентациям,заранееподготовленные сообщения,за каждое сообщениедаются жетоны, за дополнение к сообщению и за корректно поставленный вопрос к сообщению так же выдаются жетоны;

• Конструированиепространства

Партыпереставляютсяподветак,чтообразуютсядва«круглых»стола,ученики каждой команды видятдруг друга.

1. Мотивационныйблок

Мотивация–совокупностьвсехфакторов,которыепобуждаютчеловекакактивности.

Вопрос.О чём писал Пифагор?

• Интерес

Ход урока

I. Мотивационная беседа

У ч и т е л ь. Приглашаем вас на экскурсию в мир чисел. Может быть, с его помощью, хотя бы в малой степени удастся передать ощущение чар математики, которое испытывают те, кто избрал её своей специальностью. Каждый маршрут нашего экскурса начинается «внизу в долине», т.е. с самого понятного вам, однако потом попадаются места, для преодоления которых требуется кое-какие навыки.

II. Актуализация опорных знаний.

У ч и т е л ь. В старину на Руси говорили, что умноженье – мученье, а с деленьем – беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался большим математиком. Ведь в школе тогда учили только сложению, вычитанию, таблице умножения. Делимость интересовала математиков уже в глубокой древности. Особое внимание они уделяли простым числам. Итак, начинаем 1-й маршрут, где вы вспомните, какие числа называют простыми, как их найти, сколько их. И узнаете, какие есть среди них удивительные числа.

Хорошо бы, если бы эти числа можно было сосчитать! Но это не так. Греческий ученый Евклид в своей книге «Начала» утверждал следующее: «Самого большого числа не, существует». Если бы на ленте, где выписаны натуральные числа, в тех местах, где простые числа записаны, зажечь фонарики, не нашлось бы на ленте места, где была бы сплошная темнота.

Фонарики на ленте расположены очень причудливо. Между ними есть только простое число – четное, это 2, а остальные нечетные. 2 и 3 последовательные натуральные числа, наименьшие простые – такая пара единственная, где одно число четное, а другое нечетное. Два последовательных нечетных числа, каждое из которых является простым, называются числами – близнецами, например: 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31.

Сообщение ученика о числах-близнецах. (выступление команды «Числа»)

Первые числа-близнецы:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Вопросы или дополнения от другой команды

У ч и т е л ь. Посмотрите на ленту простых чисел и найдите еще числа-близнецы. До сих пор неизвестно, есть ли самые большие числа-близнецы или нет, до сих пор нет ответа на вопрос: существует ли бесконечно много пар простых чисел-близнецов.

У ч и т е л ь. Первым глубокие исследования о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель математических исследованийXIX века. До сих пор математики не знают формулы, с помощью которой можно получить простые числа одно за другим, нет даже формулы, дающей только простые числа.

Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, то надо было бы составить их список. Над тем, как составить список, задумался живший в III веке до нашей эры александрийский учёный Эратосфен.

Сообщение ученика о «решете Эратосфена». (выступление команды «Фигуры»)

Имя Эратосфена вошло в науку в связи с методом отыскания простых чисел. В древности писали на восковых табличках острой палочкой – стилем, поэтому Эратосфен «выкалывал» составные числа острым концом стиля.

После выкалывания всех составных чисел таблица напоминала решето. Отсюда название «решето Эратосфена».

Ученик рассказывает последовательно, как составлялась таблица.

Вопросы или дополнения от другой команды

У ч и т е л ь. Второй маршрут нашего экскурса – это история о дружественных числах, которая ведёт из дворца багдадского халифа в современные вычислительные числа.

Сообщение ученика о дружественных числах. (выступление команды «Числа»)

В древности было замечено, что числа 220 и 284 обладают удивительным свойством: сумма собственных делителей числа 284 равна 220, а сумма собственных делителей числа 220 равна 284. Эту пару чисел назвали парой Пифагора. А сами числа – дружественными.

Отысканием таких чисел занимались в разное время различные учёные, а занятие отыскания называли охотой за дружественными числами. Узнать какой-нибудь способ получения дружественных чисел – задача, представляющая трудность и в наши дни.

Пифагор нашёл пару 220 и 284 около 500 лет до нашей эры, а следующую пару нашёл Ибн аль Бана в 1300 году. Декарт свою пару отыскал в 1638 году и до 1750 года непревзойдённым рекордсменом в этом старом виде спорта в математике – охоте за дружественными числами – был Леонард Эйлер. Он отыскал 59 таких пар. До 1946 года Эскот нашёл 219 пар. До 1948 года Пуле нашёл 108 пар, а в 1972 году Элвином Дж. Ли было найдено 390 пар. Но этот учёный прибегнул к помощи ЭВМ. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел.

Сообщение ученика о совершенных числах. (выступление команды «Фигуры»)

Не менее интересным свойством обладают другие числа. Ещё в древности было замечено, что существуют числа, равные сумме своих делителей, кроме самого себя.

Делители числа 6 – это числа 1, 2, 3, 6. Нетрудно проверить, что их сумма без самого числа 6 равна 6. Делители числа 28 – числа 1, 2, 4, 14, 28. И здесь проверкой легко установить, что сумма всех делителей без самого числа 28 равна 28. Найдите делители числа 496 и проверьте, обладает ли оно этим свойством. То же самое проделайте с числом 8128. Эти числа тоже обладают таким свойством. А вот сделать подобную проверку для числа 33550336 без микрокалькулятора уже сложно.

Античные математики считали очень важным рассматривать число вместе с его делителем. При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с числом.

Делители числа 10 – 1, 2, 5. Их сума равна, считали, что это недостаток, так как 8 меньше 10. Делители числа 12 – 1, 2, 3, 4, 6. Их сумма равна 16, что считали избытком. А числа, у которых сумма делителей равна самому числу, особенно ценили и называли их совершенными.

Точно неизвестно, где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они уже были известны в Древнем Вавилоне и в Древней Греции. Во всяком случае до 5 века нашей эры в Египте был известен пальцевой счет, при котором на руке безымянный палец загибался, если число было совершенным, поэтому безымянный палец получил привилегию носить на себе кольцо.

Вопросы или дополнения от другой команды

У ч и т е л ь. О дружественных и совершенных числах современная математика вспоминает с улыбкой, как о детском увлечении, а введенные Пифагором понятия простого и составного числа являются до сих пор предметом исследований. Наш третий маршрут об этом.

Сообщение ученика о проблемах Гольдбаха. (выступление команды «Числа»)

Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо, либо произведение нескольких простых чисел.

А что будет, если простые числа складывать?

Живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить честное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения: 1 + 3 = 4; 1 + 5 = 6; 1 + 7 = 8; 3 +7 = 10;

5 + 7 = 12; 3 + 11 = 14; 3 + 13 = 16; 5 + 13 = 18; 3 + 17 = 20; 11 + 11 = 22; 11 + 13 = 24; 13 + 13 = 26; 23 + 5 = 26; 23 + 7 = 30; 19 + 13 = 32 и так далее.

О своей наблюдении Гольдбах написал великому математику Леонарду Эйлеру, который был членом Академики наук. Оно лишь проверено для всех четных чисел до 1000.

Вопросы или дополнения от другой команды

У ч и т е л ь. Четвертый маршрут расскажет о магических фигурах.

Сообщение ученика о магических квадратах. (выступление команды «Фигуры»)

Первые сведения о магических квадратах встречаются в литературе, написанной задолго до нашей эры. Старейший магический квадрат в современной записи выглядит так:

Суммы чисел каждой строки и каждого столбца, каждой из главных диагоналей одинаковы.

Высказано предположение, что для любого натурального числа, большего трёх, существует бесконечно много магических квадратов, составленных из различных простых чисел.

Вопросы или дополнения от другой команды

Сообщение ученика о других магических фигурах. (выступление команды «Числа»)

Осознание магии чисел, которое было доступно древним, но отвергнуто затем материалистической наукой и сохранившееся лишь в в оккультных науках,  позволяет  прийти к выводу, что магические     свойства чисел отражают скрытую в них реальность.

 Магическая реальность чисел не может не проявляться в мире, сотканном из чисел по Единому закону. И Пифагор уже тогда это понимал лучше, чем многие самые лучшие  современные умы, т.к. стереотип мышления не позволяет опускаться до мистики.  

  К одним из таких мистических проявлений универсальных законов, отражающихся в числах относятся магические фигуры,  к которым относят нагруженными числовыми комбинациями звезды и цифровые квадраты.

  Эти фигуры  получили всеобщее распространение в средние века, во время подъема очередного интереса    к нумерологической магии, как одной из ветвей оккультной науки.

  Цель создания магических фигур заключалась в желании расширить и увеличить магическое воздействие  цифр, оказываемое на материальный мир.

  Цифровую фигуру называют магической, если составляющие ее числа не повторяются  и дают при определенных сочетаниях заранее  задуманный составителем результат.

  Так, например, фигура Триады, отражает помимо триединства, двойственность, шестеричность и двенадцатеричность Мироздания, а две Триады образуют гексаграмму. Магические свойства  Триады заключаются в том, что суммы чисел на каждой из ее сторон  равны между собой (20). 

Вопросы или дополнения от другой команды

III. Домашнее задание

А вот еще одна задача- сказка о принцессе и солдате. Послушайте ее и попытайтесь дать ответ на вопрос, поставленный в ней.

Однажды мастер получил определенное количество мужчин, чтобы изготовить украшение принцессе. Обдумывая модель изделия, мастер разложил все жемчужины на 9 равных кучек так, чтобы образовался магический квадрат «три на три» относительно количества мужчин в кучках. Принцесса восхитилась такой моделью украшения, но все- таки выразила недовольство тем, что ни в одной кучке количество жемчужин не является простым числом. Мастер попросил еще 9 штук. Чтобы все числа в образованном магическом квадрате были простыми, он обещал добавить в каждую кучку по одной жемчужине. Проверили по таблице простых чисел. И верно! Но вдруг осмелился в разговор вступить солдат из дворовой охраны. Он посоветовал принцессе поступить иначе. Предложил взять из каждой кучки по одной жемчужине, тогда опять числа будут простые. Принцесса так и сделала. Солдат оказался прав и в награду за наблюдательность и математическую находчивость получил эти 9 жемчужин. Сколько жемчужин было выдано мастеру первоначально? Подумайте и на следующем уроке ответите мне на этот вопрос.

IV. Итог урока.

У ч и т е л ь. Вот и закончился наш экскурс, где мы познакомились с самыми капризными и строптивыми из всех объектов в математике. Хочу напомнить, что начали мы с известных нам понятий, а затем обнаружили, что вопросами, связанными с этими числами, занимается современная математика.

«Эта наука, как многолетний дуб, раскинула такие могучие ветви, что ни один математик, даже «самый маститый», уже не в силах изучить всю математику в целом, а избирает лишь какую-нибудь её ветвь», - говорил А. И. Маркушевич.

- А вот мы с вами сегодня выбрали ветвь простых чисел. Так о чём говорил Пифагор?

Ответы учеников, размышления.

V. Оценочныйблок

• Оценка(формализованная–отметка,неформальная–поддержкаили критика:

Комментариикработеученикавтечениеурока,отметкавжурналпосогласованию.

• Самооценка:

Ребёноксамоцениваетсвоюработу,предлагаетпоставитьзаработаннуюотметкуили не ставить.Если онаегонеустраивает.

• Взаимооценивание:

Учащиесяговорятосвоих наблюдениях,высказываютзамечания,предложенияпооцениванию.

VI. Заключительная беседа. Рефлексия.

• Отношениекпроизошедшему:

Понравилось(до3хбаллов),чтоименно,хотелосьбысноваувидетьнауроке?

• Выделениетрудностей:

Чтобылонепонятным,трудным.Кактрудностибылипреодолены.

• Присвоениеопыта:

СможетеливыпредложитьсвоюидеюСобытия?Разработатьуроксовместно с учителем? Что изменить?