Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке

Дисциплина (МДК, ПМ): Математика

Тема: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке

ФИО преподавателя:Ершова Е. В.

Дата: 20.01.2025

Группа: ЭС - 249

Специальность:Электрические станции, сети и системы

Тип занятия: урок «открытия» новых знаний

Форма проведения занятия: комбинированный урок

Продолжительность урока: 2 академических часа

Методическая цель:

• Формирование у учащихся навыков анализа функций и применения методов математического анализа для нахождения экстремумов функции, а также развитие умения работать в группе и самостоятельно, и аргументировано представлять результаты своей работы.

• Цели занятия:

Обучающие:

• разработать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции;

• формирование умения находить наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке;

Развивающие:

• развитие навыка анализа функций и применения производной для нахождения экстремумов функции.

Воспитывающие:

• воспитания взаимопомощи, чувства такта и отзывчивости;

• воспитание культуры общения, уважения друг к другу, уверенности в себе.

Междисциплинарные связи:

Учебное оснащение занятия:

Оборудование: доска, маркеры

Наглядные пособия: Плакаты «График изменения температуры», «График функции».

Раздаточный материал: карточки с заданиями (4 варианта).

Критерии диагностики эффективности занятия:

В результате занятия обучающийся:

Знает основные определения, связанные с наибольшим и наименьшим значением функции.

Понимает алгоритм нахождения экстремумов функции на заданном промежутке, включая использование производной.

Умеет находить производную функции и определять критические точки.

Умеет вычислять значения функции на границах промежутка и в критических точках.

Умеет анализировать график функции при визуализации её поведения на заданном промежутке.

Применяет полученные знания для решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности (на доске график изменения температуры).

Что мы можем узнать о функции просто взглянув на её график?

- как изменяется температура, в какой время она была наибольшей, наименьшей.

2. Актуализация и пробное учебное действие

Изучением какой темы мы занимаемся вот уже несколько уроков?

- Производная функции.

Чему вы научились, изучая данный материал?

-Находить производные функций, исследовать функции на монотонность (возрастание и убывание) и находить точки экстремума (максимум и минимум).

Какую не менее важную характеристику функции мы ещё не находили?

-Наибольшее и наименьшее значения функции.

Тема урока: «Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке».

Вашему вниманию представлен график функции.

По графику функции найдите:

а) область определения функции?

б) точки, в которых функция имеет максимум и минимум? и .

в) точки, в которых функция достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения?

и

Обращаю ваше, что наибольшее и наименьшее значение функции могут быть как в точках экстремума, так и на концах промежутка.

Вы видите, когда функция задана графически (визуально представлен ее график), наибольшее и наименьшее ее значения на заданном отрезке найти несложно. Как быть, когда функция задана аналитически? (Постановка проблемной ситуации).

3. Выявление места и причин затруднения

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Можно ли простроить график этой функции?

Можно, но сложно и долго.

Построение графика этой функции и ей подобных процесс трудоемкий, поэтому давайте подумаем может существует другой способ нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Как найти выход из этой ситуации? Может ли нам помочь в этом производная?

Студенты формулируют цель: научиться по аналитическому заданию функции с помощью производной находить наименьшее и наибольшее значения функции, разработать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений.

Сегодня мы вместе с вами научимся с помощью производной находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1. Построения проекта выхода из затруднения.

Чтобы научиться это делать необходимо составить алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Пишем в тетрадях.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке.

1. Найти область определения данной функции и проверить, входит ли в неё заданный отрезок.

2. Найти производную данной функции.

3. Приравнять производную к нулю и найти точки, в которых она обращается в нуль (решить уравнение), то есть найти стационарные точки

4. Выбрать из корней уравнения (из стационарных точек) те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислить значение функции в них.

5. Взять точки начала и конца отрезка и найти значение функции в них.

6. Сделать вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

5. Реализация построенного проекта

Задание 1: найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке , используя алгоритм.

Оба корня принадлежат области определения функции. Отметим стационарные точки на числовой оси и определим максимум и минимум функции.

Определим значение функции в точках максимума и минимума.

Определим значение функции на концах заданного отрезка.

Итак,

6. Первичное проговаривание во внешней речи

Студенты решают задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции вместе с преподавателем, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух. Преподаватель помогает обучающимся, если у них возникают трудности.

Задание 2. на отрезке , используя алгоритм.

Корень принадлежит области определения функции. Отметим точку на числовой оси и определим максимум или минимум функции.

Определим значение функции в точке минимума.

Определим значение функции на концах заданного отрезка.

Итак,

Задание 3. на отрезке , используя алгоритм.

Корень принадлежит области определения функции. Отметим точку на числовой оси и определим максимум или минимум функции.

Определим значение функции в точке минимума.

Определим значение функции на концах заданного отрезка.

Итак,

Задание 4: найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке , используя алгоритм.

Отметим точку на числовой оси и определим максимум или минимум функции.

Определим значение функции в точке минимума.

Определим значение функции на концах заданного отрезка.

Итак,

7. Самостоятельная работа по алгоритму (эталону), преподаватель озвучивает оценки на следующем уроке.

8. Включение в систему знаний и повторение. 

Давайте вспомним какие знания из предыдущих тем мы использовали сегодня на уроке?

- область определения функции, нахождение производной функции, решение уравнений, точки максимума и минимума функции, вычисление значений производной функции и самой функции в точке.

9. Рефлексия

Проиллюстрируйте вашу работоспособность и настроение на уроке с помощью графика функции (возрастающей или убывающей).

Спасибо за урок, до свидания