Практическое занятие № 41 Тема: Геометрический смысл производной функции – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

Практическое занятие № 41

Тема:Геометрический смысл производной функции – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

Дисциплина: Математика
Курс: 1
Форма обучения: дистанционная / очная
Продолжительность: 40 минут
Дата проведения: «08» апреля 2026 г.

Цель занятия:

Сформировать у студентов четкое представление о геометрическом смысле производной как углового коэффициента касательной, отработать навыки составления уравнения касательной и анализа графика функции через значение производной.

Задачи занятия:

1. Актуализировать понятие производной функции в точке.

2. Раскрыть геометрический смысл производной через угол наклона касательной.

3. Отработать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

4. Научить определять знак производной по графику функции и наоборот.

5. Развивать навыки визуального анализа графиков и вычислительной точности.

Результат:

Студент умеет:

• вычислять угловой коэффициент касательной по значению производной,

• составлять уравнение касательной к графику функции в заданной точке,

• определять знак производной по углу наклона касательной,

• находить точки, в которых касательная параллельна заданной прямой,

• интерпретировать геометрический смысл производной при решении прикладных задач.

Методы проведения занятий:

• Наглядно-иллюстративный (демонстрация графиков и касательных),

• Практический (решение задач по алгоритму),

• Дистанционный контроль (через LMS или чат),

• Самопроверка (сравнение с эталоном).

Дидактическое оснащение:

• Указания по выполнению практического задания;

• Рабочая тетрадь с конспектами;

• Калькулятор (инженерный или онлайн);

• Графопостроитель (например, Desmos, GeoGebra) для визуализации;

• Доступ к интернету для проверки решений.

Критерии оценок

• Оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы (и защищенные на уроке).

• Оценка «4» ставится за верное выполнение 80% – 90% работы.

• Оценка «3» ставится за выполнение 70% – 80% работы.

• Оценка «2» — выполнено менее 70% заданий или допущены грубые ошибки в формулах.

Требования к оформлению практической работы:

1. Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ.

2. Решение должно содержать: дано, формулу, пошаговые вычисления, чертеж (если требуется), ответ.

3. Работу сдать завтра на уроке.

План

Порядок выполнения практического занятия

1. Прочитайте краткое изложение теории.

2. Ответьте на контрольные вопросы.

3. Выполните самостоятельно задания практического занятия.

1. Теоретическая основа

1.1. Понятие касательной к графику функции

В геометрии к окружности касательная определяется как прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Однако для графиков произвольных функций это определение не подходит (прямая может пересекать график в множестве точек, но быть касательной в одной из них).

Определение:
Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей, проходящей через точки и, когда стремится к нулю.

Проще говоря, если мы будем бесконечно приближать вторую точку секущей к точке касания, секущая «замрет» в положении касательной.

1.2. Геометрический смысл производной

Это ключевое понятие темы. Производная функции в точке численно равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Формула геометрического смысла:

где:

• —угловой коэффициент касательной (коэффициент наклона прямой );

• —значение производной функции в точке ;

• —угол наклона касательной к положительному направлению оси (отсчитывается против часовой стрелки).

Интерпретация знака производной через угол:

1. : Угол острый (). Функция в этой точке возрастает. Касательная идет «вверх» слева направо.

2. : Угол тупой (). Функция в этой точке убывает. Касательная идет «вниз» слева направо.

3. : Угол . Касательная горизонтальна (параллельна оси ). Это точки экстремума (максимумы или минимумы) или точки перегиба.

4. : Угол . Касательная вертикальна (параллельна оси ). Производная не существует.

1.3. Уравнение касательной к графику функции

Зная точку касания и угловой коэффициент , можно составить уравнение прямой. Поскольку и, формула уравнения касательной выглядит следующим образом:

Алгоритм составления уравнения касательной:

1. Определить абсциссу точки касания .

2. Вычислить ординату точки касания: .

3. Найти производную функции .

4. Вычислить значение производной в точке касания:.

5. Подставить найденные значения в общую формулу уравнения.

6. Упростить выражение до вида .
   
   

1.4. Типичные ошибки при решении задач

2. Ответьте на контрольные вопросы

Вопрос 1: Чему равен угловой коэффициент касательной, если производная в точке равна 5?
Вопрос 2: Какой угол наклона имеет касательная, если производная в точке равна 0?
Вопрос 3: Верно ли, что если функция возрастает, то производная в этой точке отрицательна?
Вопрос 4: Запишите общую формулу уравнения касательной.
Вопрос 5: Если касательная параллельна прямой, чему равна производная в точке касания?
Вопрос 6: Может ли касательная пересекать график функции в других точках, кроме точки касания?
Вопрос 7: Чему равен тангенс угла наклона касательной, если ?
Вопрос 8: Что геометрически означает равенство?

3. Задания практического занятия

Задание 1. Нахождение углового коэффициента
Дана функция . Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой.

Задание 2. Составление уравнения касательной
Составьте уравнение касательной к графику функциив точке с абсциссой .

Задание 3. Поиск точки по условию параллельности
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой .

Задание 4. Анализ графика (знак производной)
На графике функции отмечена точка . Касательная, проведенная в этой точке, образует тупой угол с положительным направлением оси . Какой знак имеет производная в этой точке?

Задание 5. Угол наклона касательной
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

Задание 6. Касательная, проходящая через начало координат
Составьте уравнение касательной к графику функции, проходящей через начало координат (точку ).

Задание 7. Физический смысл (связь с геометрическим)
Тело движется по закону . Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику пути в момент времени ?

Домашнее задание:

1. Сделать задания практической.

2. Найдите угловой коэффициент касательной к в точке .

3. Составьте уравнение касательной к в точке .

Объяснение к домашнему заданию:

• К пункту 2: Найдите производную функции и подставьте значение . Помните правило дифференцирования степени .

• К пункту 2: Сначала найдите координату , затем значение производной в точке. Для производная равна . Подставьте в формулу уравнения касательной.

Ключи к контрольным вопросам

1. Угловой коэффициент .

2. Угол(касательная горизонтальна).

3. Нет, неверно. Если функция возрастает, производная положительна ().

4. .

5. Производная равна угловому коэффициенту прямой, то есть 3.

6. Да, может. Касательная определяется локально в точке касания, но может пересекать график глобально (например, касательная к кубической параболе в точке перегиба).

7. .

8. Касательная вертикальна (параллельна оси ).

Ключи и решения к заданиям

Решение Задания 1:

1. Найдем производную: .

2. Вычислим значение в точке ,.
   Ответ: 5.

Решение Задания 2:

1. Найдем:. Точка касания .

2. Найдем производную: .

3. Найдем:.

4. Подставим в формулу: .
   Ответ:.

Решение Задания 3:

1. Угловой коэффициент заданной прямой .

2. Условие параллельности: .

3. Найдем производную функции: .

4. Решим уравнение: .
   Ответ: 5.

Решение Задания 4:

1. Если угол тупой (), то тангенс угла отрицателен.

2. Так как , то производная отрицательна.
   Ответ: Отрицательный ().

Решение Задания 5:

1. Найдем производную: .

2. Вычислим в точке :
   .

3. Тангенс угла наклона равен значению производной.
   Ответ: -1.

Решение Задания 6:

1. Точка касания совпадает с началом координат, так как ..

2. Производная:.

3. Угловой коэффициент в нуле: .

4. Уравнение:. (Это ось ).
   Ответ:.

Решение Задания 7:

1. Геометрический смысл производной пути по времени — мгновенная скорость. Но в задаче спрашивается про тангенс угла наклона касательной к графику функции .

2. Это значение равно производной в точке: .

3. При:.

Ответ: 7.