Неравенство Коши: доказательство и применение средних значений для произвольных чисел

Для удобства приведем таблицу из введенных в разделе «Средние значения» определений средних значений для произвольного набора из n положительных действительных чисел:

x₁, x₂, …, xₙ

Утверждение 1. Пусть p₁ и p₂ – произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенству p₁ < p₂. Тогда для произвольного набора из n положительных действительных чисел:

x₁, x₂, …, xₙ

справедливо неравенство:

причем в этом неравенстве знак равенства выполняется тогда и только тогда, когда все числа:

x₁, x₂, …, xₙ

равны.

Замечание. Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда , и в случае, когда .

Следствие 1. Для произвольного набора из n положительных чисел:

x₁, x₂, …, xₙ

справедливы следующие неравенства между его средними значениями: