Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a₁, a₂,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

aₙ₊₁ = aₙ + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

формула разности арифметической прогрессии

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

формула если известные члены прогрессии

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

  1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

    Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

  2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

    Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42... — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

  3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

    Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

  1. Рекуррентной формулой:
    формула
  2. Формулой n-го члена: aₙ = a₁ + d · (n - 1)
  3. Формулой вида aₙ = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (aₙ) обозначается Sₙ:

формула