Глава I. Теоретическая часть

1. Числа-палиндромы

1.1. Понятие палиндрома

Все помнят книгу о приключениях Буратино. Помните, как строгая Мальвина учила Буратино писать? Она велела написать такую фразу: «А роза упала на лапу Азора» и велела прочитать «наоборот». Эта фраза читается слева направо и справа налево. Это фраза-палиндром (в переводе — перевёртыш). Слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК — тоже палиндромы.

Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Например: 141; 787; 1441; 4884; 94949; 1177711; 2287822 и т. д.

1.2. Алгоритм получения палиндрома

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.

Алгоритм получения палиндрома:

  • Возьми любое двузначное число.
  • Переверни его (переставь цифры справа налево).
  • Найди их сумму.
  • Переверни полученное число.
  • Найди их сумму.
  • Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром.

Пример:

  1. 96
  2. 96 + 69 = 165
  3. 165 + 561 = 726
  4. 726 + 627 = 1353
  5. 1353 + 3531 = 4884

В результате проделанной работы пришли к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.

1.3. Арифметические операции над палиндромами.

Можно рассмотреть не только сложение, но и другие операции над палиндромами.

Задача №1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения их суммы справа налево, т.е. x₁y₁ + x₂y₂ = y₂x₂ + y₁x₁.

Решение:

x₁y₁ = 10x₁ + y₁, x₂y₂ = 10x₂ + y₂, тогда (10x₁ + y₁) + (10x₂ + y₂) = (10y₂ + x₂) + (10y₁ + x₁). Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые, разделив на 9, получим: x₁ + x₂ = y₁ + y₂.

Вывод: сумма первых цифр у всех таких пар равна сумме их вторых цифр.

Примеры: 76 + 34 = 43 + 67; 52 + 47 = 74 + 25.

Задача №2. В случае вычитания имеем: x₁y₁ - x₂y₂ = y₂x₂ - y₁x₁.

Тогда, упростив, получим x₁ + y₁ = x₂ + y₂.

Вывод: сумма цифр первого числа равна сумме цифр второго числа.

Примеры: 41 - 32 = 23 - 14; 62 - 17 = 71 - 26.

Задача №3. В случае умножения имеем: x₁ * x₂ = y₁ * y₂, т.е. произведение первых цифр равно произведению вторых цифр.

Примеры: 39 * 31 = 13 * 93; 42 * 12 = 21 * 24.

Задача №4. В случае деления: x₁y₁ / x₂y₂ = y₂x₂ / y₁x₁, тогда имеем x₁ * y₂ = x₂ * y₁.

Вывод: произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр.

Пример: 82 : 41 = 28 : 14.