Подготовка к ГИА. Решение задач по теории вероятности.

Подготовка к ГИА.

Решение задач по теории вероятности.

Учитель математики

МБОУ СШ№77

г.Архангельска

Визжачая Ирина Сергеевна

Перед человеком к разуму три пути:

путь размышления – это самый благородный;

путь подражания – это самый лёгкий;

путь личного опыта – самый тяжёлый путь.

Конфуций.

Цель: обобщить собственный опыт решения заданий по теории вероятностей при подготовке к ГИА.

Приложение 1: задания по теории вероятностей.

Приложение 2: самостоятельные работы.

О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире.

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учёт индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идёт не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причём речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Исследования психологов (Ж.Пиаже, Е.Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для

формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закреплённый формальными «обязательными результатами» период даёт хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.

1. Социально-экономическая ситуация.

 Нужно научить детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно научить их извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения.

2. Универсальность вероятностных законов.

Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построен и развивается на вероятностно-статистической базе.

Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребёнка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – всё это находится в сфере реальных интересов подростка.

3. Развивающая роль вероятностно-статистической линии.

Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, т.к. прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего чётко опредёленными понятиями. Всё сказанное относится и к преподаванию теории вероятностей, но обучение «законам случая» играет несколько большую роль и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории вероятностей, учащийся познаёт, как применять приемы логического мышления в тех случаях, когда приходится иметь дело с неопределенностью (а такие случаи возникают на практике почти всегда).

4. Прикладной характер законов теории вероятностей.

Выводы теории вероятностей находят применение в повседневной жизни, науке, технике и т.д. В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально с учётом риска, связанного с принятием отдельных решений. Хорошим примером применения теории вероятностей в повседневной жизни может служить выбор наиболее целесообразной формы страхования. При планировании, например, семейного бюджета зачастую приходится оценивать расходы, носящие в известной мере случайный характер. Знакомство на том или ином уровне с законами случая необходимо каждому. Применение теории вероятностей в науке, технике, экономике и т.д. приобретает всё возрастающее значение. Современный образованный человек независимо от профессии и рода занятий должен быть знаком с простейшими понятиями теории вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды содержит сообщение о вероятности дождя на завтра, каждый должен знать что собственно это означает.

Но внедрение этой линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.

В школьной жизни часто случаются изменения: одни учебные курсы исчезают, другие добавляются. Вот и появилась несколько лет назад новость: теперь школьники будут изучать «Теорию вероятностей и статистику». А потом и ещё и в экзаменационных работах появились задания по теории вероятностей. На момент введения нового предмета среди учителей математики не было достаточного количества учителей, свободно владеющих содержанием курса статистики и теории вероятностей, решающих вероятностные задачи на том же уровне, что и задачи по алгебре. Были открыты множество курсов: 12-часовые, 36-часовые..., очные, дистанционные... Но посещение курсов и результативность самообразования — это разные вещи. От добросовестного учителя требовалось многочасовое старательное изучение теории и затем решение разнообразных задач, чтобы «набить руку».

Математик и учитель математики — это не одно и то же. Математик должен решить задачу, причём очень сложную. Учитель должен научить других это делать. Учитель должен «перевести» решение математика на понятный слушателю язык, сделать мысль доступной пониманию многих, разложить все по полочкам. Учитель должен направить мысль ученика на поиск решения, а видя неверный ответ, найти дефект в рассуждениях, который привел к ошибке.

Всё вышеназванное — есть методика преподавания предмета. Проблема в том, что во время обучения в педагогическом вузе мы не изучали курс «Методика преподавания теории вероятностей и статистики в средней школе». Его просто не существовало. Значит, каждый педагог должен самостоятельно создавать эту методику методом проб и ошибок.

Одной из задач, поставленных перед учителем математики – это научить учащихся 11 класса решать в экзаменационных работах задания по теории вероятностей.

Любая задача по теории вероятностей в школьном курсе математики по большому счёту сводится к стандартной формуле: , где Р – искомая вероятность,

n – общее число возможных событий, m – число интересующих нас событий.

Главное правильно определить её компоненты.

Все задачи по теории вероятности можно разделить на три модуля.

Модуль 1. Простые задачи.

Модуль 2. Задачи средней трудности.

Модуль 3. Трудные задачи.

Модуль 1. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ.

К простым задачам можно отнести задачи, для решения которых достаточно применить классическое определение вероятности.

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти (заранее предсказать невозможно) во время наблюдения или испытания.

События А и В называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.

Например, при бросании кубика событие «выпало нечётное число» является противоположным событию «выпало чётное число».

Р(А)+Р( )=1, значит, Р( )=1-Р(А), где - событие, противоположное событию А.

ВероятностьюР(А)события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа благоприятных для этого числа исходов к общему числу равновозможных исходов. , где Р – искомая вероятность,

n – общее число равновозможных событий,m – число интересующих нас событий (благоприятных событий).

Схема решения задачи.

• 1. Определить, что является элементарным событием (исходом) в данном случайном эксперименте (опыте).

• 2. Найти общее число равновозможных исходов (n).

• 3. Определить, какие элементарные исходы благоприятствуют интересующему нас событию А, найти их число (m).

• 4. Найти вероятность события А по формуле.

Задачи о выборе объектов из набора.

1. На столе лежат цветные ручки: синяя, красная, чёрная и зелёная. Петя случайно берёт со стола ручку. С какой вероятностью эта ручка окажется чёрной?

Решение: общее число выбора ручек n=4, число выбора чёрной ручки m=1

Ответ: 0,25

2. На тарелке 20 пирожков: 9 с рыбой, 7 с вареньем и 4 с вишней. Аня наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение: общее число выбора пирожков n=20,

число выбора пирожка с вишней m=4

Ответ: 0,2

3. В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных. С какой вероятностью случайно вынутое из корзины яблоко окажется красным?

Решение: общее число выбора яблок n=20+35+25=80,

число выбора красных яблок m=20

Ответ: 0,25

Но большинство проблем в этих задачах на вероятность связано не с незнанием формулы, а с неумением читать задание.

4. В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 14 из них встречается вопрос по солям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по солям.

Решение: общее число выбора билетов n=50,

число выбора билета с вопросом по солям m=14

Ответ: 0,28

5. В сборнике билетов по философии всего 20 билетов, в 19 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику недостанется вопроса по Пифагору.

Решение: общее число выбора билетов n=20,

число выбора билета с вопросом не по Пифагору m=20-19=1

Ответ: 0,05

6. На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

Решение: общее число выбора вопросов n=60, число выбора выученного вопроса m=60-3=57 Ответ: 0,95

7. В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 15 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет.

Решение: общее число выбора насосов n=1000,

число выбора неподтекающих насосов m=1000-15=985

Ответ: 0,985

8. Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 160 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Решение: общее число выбора сумок n=160+4=164,

число выбора качественных сумок m=160

Ответ: 0,98

9. В кармане у Серёжи находится 7 монет достоинством 5 рублей, 10 монет достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик случайным образом вытаскивает одну монету из кармана. Какова вероятность того, что будет вытащена не однорублёвая монета?

Решение: общее число монет n=7+10+8=25,

число выбора не однорублёвых монет, т.е. монет достоинством 5 рублей и 2 рубля: m=7+8=15

Ответ: 0,6

10. Из слова «статистика» случайным образом выбирается одна буква, которая встречается в слове «статистика» ровно два раза.

Решение: буква «с» встречается 2 раза, «т» - 3 раза, «а» - 2 раза, «и» - 2 раза, «к» -1 раз

общее число букв n=10

число выбора букв, которые встречаются ровно два раза m=32=6

Ответ: 0,6

Очень часто ставит в тупик условие задачи, что порядок выступления профессора, спортсмена определяется жребием. Неважно каким будет выступать участник соревнований: первым, вторым, шестым, последним… , т.к. у всех равные шансы выступать первым, вторым, шестым, последним… Это лишняя информация, добавленная для того, чтобы запутать.

11. На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Решение: общее число докладов n=75,

число выбора докладов для выступления на последний день m=(75-317):2=12

Ответ: 0,16

12. На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 25 спортс­ме­нов, среди них 8 пры­гу­нов из Рос­сии и 9 пры­гу­нов из Па­раг­вая. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ше­стым будет вы­сту­пать пры­гун из Па­раг­вая.

Решение: общее число спортсменов n=25,

число выбора спортсменов из Парагвая m=9

Ответ: 0,36

13. В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

Решение: общее число спортсменок n=20,

число выбора спортсменок из Китая m=20-8-7=5

Ответ: 0,25

14. В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­сяво вто­рой груп­пе?

Решение: общее число исходов равно числу карточек, т.е. количеству команд n=16,

число выбора карточек с №2 m=4 штуки

Ответ: 0,25

15. На борту самолёта 12 мест рядом с за­пас­ны­ми вы­хо­да­ми и 18 мест за пе­ре­го­род­ка­ми, раз­де­ля­ю­щи­ми са­ло­ны. Осталь­ные места не­удоб­ны для пас­са­жи­ра вы­со­ко­го роста. Пас­са­жир В. вы­со­ко­го роста. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на ре­ги­стра­ции при слу­чай­ном вы­бо­ре места пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­сяудоб­ное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: общее число мест в самолёте n=300,

число выбора удобных мест m=12+18=30

Ответ: 0,1

16. В груп­пе ту­ри­стов 5 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют двух че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село за про­дук­та­ми.Ту­рист А. хотел бы схо­дить в ма­га­зин, но он под­чи­ня­ет­ся жре­бию. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что А. пойдёт в ма­га­зин?

Решение: общее число человек n=5,

число выбора человек для похода в магазин m=2

Ответ: 0,4

Иногда учащихся приводит в тупик и условие задачи, в которой числа прописаны не цифрами, а словами.

17. В кар­ма­не у Миши было че­ты­ре кон­фе­ты — «Гри­льяж», «Бе­лоч­ка», «Ко­ров­ка» и «Ла­сточ­ка», а также ключи от квар­ти­ры. Вы­ни­мая ключи, Миша слу­чай­но вы­ро­нил из кар­ма­на одну кон­фе­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что по­те­ря­лась кон­фе­та «Белочка».

Решение: общее число конфет n=4,

число выбора конфет с названием «Белочка» m=1

Ответ: 0,25

Большое затруднение вызывают задания, в которых необходимо учесть, что количество исходов уменьшилось после какого-либо события.

18. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение: неосмысленное применение формулы в данной задаче приведёт к неправильному ответу

Здесь исход – это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16-1=15 равновероятных исходов.

общее число теннисистов n=16-1=15

благоприятный исход – соперник из России, таких исходов 7-1=6 (из числа россиян исключаем самого Максима)

число выбора соперников из России m=7-1=6

Ответ: 0,4

19. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.

Решение: пусть один из братьев, например, Антон находится в некоторой группе, тогда осталось 32 человека

общее число человек n=33-1=32

благоприятный исход – в одной команде с Антоном окажется 11-1=10 человек

число выбора попадания в одну команду m=11-1=10

Ответ: 0,3125

Встречаются задачи, где кроме знания формулы нахождения классической вероятности, необходимо применить знания на делимость и чётность.

20. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Найдите вероятность того, что случайно выбранная цифра будет чётной и большей 5.

Решение: общее число цифр n=10

благоприятный исход – чётная цифра, которая больше5: это 6 и 8, т.е. 2 цифры

число выбора чётных чисел, больших 5 m=2

Ответ: 0,2

21. Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на 3.

Решение: количество чисел на заданном отрезкесчитается по формуле: b-a+1

общее число чисел n=23-4+1=20

благоприятный исход – число, которое делится на 3: это 6, 9, 12, 15, 18, 21, т.е. 6 чисел

число выбора чисел, кратных 3 m=6

Ответ: 0,3

22. Какова вероятность, что случайно выбранное двузначное число делится на 5?

Решение: двузначные числа – это от 10 до 99

общее число двузначных чисел n=99-10+1=90

благоприятный исход – двузначное число, которое делится на 5: это 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, т.е. 18 чисел

число выбора двузначных чисел, кратных 5 m=18

Ответ: 0,2

23. В третьем подъезде дома квартиры с 41 по 60 включительно. Гость набрал на домофоне номер одной из этих квартир. Какова вероятность, что он позвонил в квартиру с нечётным номером?

Решение: общее число квартир n=60-41+1=20

благоприятный исход – квартира с нечётным номером: это 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, т.е. 10 чисел

число выбора квартир с нечётными номерами m=10

Ответ: 0,2

24. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но не дойдя до отметки 2 часа.

Решение: общее число часовых делений на циферблате n=12

благоприятный исход – на циферблате между 11ч и 2ч получается три часовых деления

число выбора нужного количества часовых делений m=3

Ответ: 0,25

Задачи о подбрасывании монеты, о бросках кубика.

В этих задачах есть «подводные камни». В условии задачи часто не заданы явно ни число элементарных событий, ни число благоприятных событий, т.е. тех событий, которые нас устраивают. При решении таких задач применяется метод перебора возможных вариантов. При увеличении числа бросаний монеты или игрального кубика, при увеличении карточек резко возрастает общее число возможных вариантов. Поэтому надо подключить знания из комбинаторики.

Бросание монеты, игрального кубика – события независимые и по правилу умножения для двух бросаний монеты n= 22 , для кубика n= 66 ; для q бросаний монеты , для кубика .

25. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение: Р – решка, О – орёл. Делаем перебор всех возможных вариантов: РР, РО,ОР, ОО.

общее число вариантов n=4

число выбора выпадения решки ровно один раз: m=2

Ответ: 0,5

26. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО,ОРО,ООР, ООО

общее число вариантов n=8

число выбора выпадения орла ровно два раза: m=3

Ответ: 0,375

27. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.

Решение: эта задача аналогична предыдущей. Пусть каждый раз выпадение решки означает выигрыш жребия «Изумрудом» (такое предположение не влияет на вычисление вероятностей).

Тогда РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО,ОРО,ООР, ООО

общее число вариантов n=8

число выбора благоприятного исхода: решка выпадет ровно один раз m=3

Ответ: 0,375

28. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет орёл, во второй и третий – решка.

Решение: РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО

общее число вариантов n=8

число выбора благоприятного исхода m=1

Ответ: 0,125

29. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют три­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­па­детхотя бы две решки.

Решение: что означают слова «хотя бы две»: два и более варианта, т.е. для данной задачи это две и три решки. РРР,РРО,РОР,ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО

общее число вариантов n=8

число выбора благоприятного исхода m=4

Ответ: 0,5

30. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение:РРРР, РРРО, РРОР, РОРР, ОРРР, РРОО, РООР, ООРР, РОРО, ОРОР, ОРРО, РООО, ОООР, ОРОО, ООРО, ОООО

общее число вариантов n=16

число выбора благоприятного исхода m=1

Ответ: 0,0625

31. В коробке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами О, К, О. Какова вероятность того, что наудачу извлекая карточки из коробки и выкладывая их на столе, получится слово ОКО? Результат округлите до сотых.

Решение: занумеруем карточки с одинаковыми буквами и выпишем все возможные варианты перестановок трёх карточек: О₁КО₂, КО₁О₂,О₂КО₁, О₁О₂К, КО₂О₁, О₂О₁К

общее число вариантов n=6

число выбора благоприятного исхода m=2

Ответ: 0,33

32. Одновременно бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

Решение:

исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на первой и второй игральной кости.

(на первой кости числа от 1 до 6, на второй кости также числа от 1 до 6)

общее число вариантов n=36

число выбора благоприятного исхода : 1+3, 3+1, 2+2 m=3

Ответ: 0,08

33. Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: общее число вариантов n=216

число выбора благоприятного исхода : 1+1+3, 1+3+1, 3+1+1, 1+2+2, 2+1+2, 2+2+1 m=6

Ответ: 0,03

34. Одновременно бросают четыре кубика. Какова вероятность того, что на каждом из этих кубиков выпадет нечётное число очков?

Решение: общее число вариантов n=1296

Выпадение нечётного числа на каждом кубике возможно 3 раза (это числа 1, 3, 5), на четырёх кубиках получится 3⁴=81 раз (события на каждом кубике независимы, значит, можно умножать)

число выбора благоприятного исхода m=81

Ответ: 0,0625

35. Найдите вероятность того, что при броске двух кубиков на обоих выпадет число, большее 3.

Решение: общее число вариантов n=36

благоприятные события: 44, 45, 46, 54, 55, 56, 64, 65, 66

число выбора благоприятного исхода m=9

Ответ: 0,25

36. Таня и Маша бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если количество очков совпадает, это ничья. Найдите вероятность того, что Маша проиграла, если в сумме у них выпало 8 очков.

Решение:

Таня Маша

2 6

6 2

3 5

5 3

4 4 Итак, общее число вариантов n=5,

число выбора благоприятного исхода Маша проиграла m=2

Ответ: 0,4

В некоторых задачах встречается редкий вопрос: найти не саму вероятность, а лишь число благоприятных исходов.

37. Игральный кубик бросают дважды. Сколькоэлементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 5»?

Решение: занумеруем кубики К1 – первый кубик, К2 – второй кубик

К1 К2

1 4

4 1

2 3

3 2 У нас получилось 4 различных случая, которые удовлетворяют событию «сумма очков равна 5». А значит, количество благоприятных исходов тоже равно 4. Ответ: 4

Модуль 2. ЗАДАЧИ СРЕДНЕЙ ТРУДНОСТИ.

При решении задач этого модуля необходимы формулы вероятности для объединения несовместных событий и пересечения независимых событий, т.е. законы вероятностей. И рассмотрим задачи, связанные с частотой и процентами.

Частота события находится так же, как и вероятность. Вероятность – это прогнозируемая величина, а частота – это констатация факта.

Частотой события А называется отношение , где n – общее число испытаний, m – число появления события А.

38. В некотором городе из 2500 появившихся на свет младенцев 1235 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до сотых.

Решение: общее число младенцев n=2500

число выбора появления мальчиков m=2500-1235=1265

Ответ: 0,51

39. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступило 130 штук. Насколькоотличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: общее число проданных DVD-проигрывателей n=2000

число выбора поступления в гарантийную мастерскую m=130

0,065-0,05=0,015 – на столько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в данном городе.

Ответ: 0,51

Два события А и В называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.

Например, при бросании кубика события «выпало число 3» и «выпало чётное число» несовместны, т.е. не могут произойти одновременно. А при бросании кубика события «выпало число больше 3-х» и «выпало чётное число» совместны, т.е. могут произойти одновременно.

Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда С называютобъединениемсобытий А и В, пишут С=АВ. Также объединение событий иногда называют суммой событий и обозначают А+В.

Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В: Р(АВ)=Р(А)+Р(В).

Два события А и В называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Пусть событие С означает, что произошло как событие А, так и В. Тогда событие С называют пересечениемсобытий А и В, пишут С=АВ. Также пересечение событий иногда называют произведением событий и обозначают АВ.

Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Сложность для учащихся в данных задачах состоит в том, что они плохо знают терминологию. И поэтому данные правила приходится перефразировать для лучшего запоминания и соответственно правильного решения задач.

Если нам надо найти вероятность наступления ИЛИ одного, ИЛИ другого события, то мы просто складываем вероятности данных событий. Р=Р₁+Р₂

Если нам надо найти вероятность наступления И одного, И другого события, то мы просто умножаем вероятности данных событий. Р=Р₁Р₂

40. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А.и Н. играют две шахматные партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: гроссмейстер А выигрывает И в первой партии, И во второй партии, значит, вероятности надо умножить.

Р₁=0,45 Р₂=0,4 Р=0,450,4=0,18 Ответ: 0,18

41. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение: И первый продавец занят, И второй продавец занят, И третий продавец занят, значит, вероятности надо умножить.

Р₁=0,4 Р₂=0,4 Р₃=0,4 Р=0,40,40.4 =0,064 Ответ: 0,064

42. Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,06. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.

Решение: И первая батарейка исправна, И вторая батарейка исправна, значит, вероятности надо умножить.

Р₁=1-0,06=0,94 Р₂=1-0,06=0,94 Р=0,940,94 =0,8836 Ответ: 0,8836

43. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишень, а последние три – промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: результат каждого выстрела не зависит от предыдущих, т.е. события «попал при первом выстреле», « не попал при третьем выстреле» и т.д. независимы, значит, вероятности надо умножить.

Р₁=0,6 Р₂=0,6 Р₃=1-0,6=0,4 Р₃=1-0,6=0,4 Р₄=1-0,6=0,4 Р₅=1-0,6=0,4

Р=0,60,60.4 0,40,40.4 =0,023040,02 Ответ: 0,02

44. Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ста­тор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ротор», «Мотор» и «Стар­тёр». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ста­тор» будет на­чи­нать толь­ко первую и по­след­нюю игры.

Решение: команда «Статор» будет начинать И первую игру, И НЕ начинать вторую игру, И начинать третью игру, значит, вероятности надо умножить.

Вероятность того, что жребий выиграет «Статор» равна.

Р₁= Р₂=1-= Р₃=

Р===0,125 Ответ: 0,125

45. На ри­сун­ке изоб­ражён ла­би­ринт. Паук за­пол­за­ет в ла­би­ринт в точке «Вход». Раз­вер­нуть­ся и полз­ти назад паук не может, по­это­му на каж­дом раз­ветв­ле­нии паук вы­би­ра­ет один из путей, по ко­то­ро­му ещё не полз. Счи­тая, что выбор даль­ней­ше­го пути чисто слу­чай­ный, опре­де­ли­те, с какой ве­ро­ят­но­стью паук придёт к вы­хо­ду .

Решение:Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться паук. Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток паук будет двигаться по выбранному нами направлению. Чтобы паук достиг выхода D, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной линией.

Вероятность выбора на каждом перекрёстке нужного направления равна , т.к. выбор надо производить И на первом, И на втором, И на третьем, И на четвёртом перекрёстках, значит, вероятности надо умножить.

Р===0,0625 Ответ: 0,0625

46. По отзывам покупателей Владислав Юрьевич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,71. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Владислав Юрьевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение: И первый магазин НЕ доставит, И второй магазин НЕ доставит, значит, вероятности надо умножить.

Р₁=1-0,71=0,29 Р₂=1-0,8=0,2 Р=0,290,2=0,058 Ответ: 0,058

47. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: школьнику достанется вопрос ИЛИ на тему «Ромб», ИЛИ на тему «Описанная окружность», значит, вероятности надо сложить.

Р₁=0,1 Р₂=0,15 Р=0,1+0,15=0,25 Ответ: 0,25

Некоторые задачи из данной темы удобно решать, используя графическое представление ситуации.

48. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 24-х пассажиров, равна 0,57. Вероятность того, что окажется меньше 17-ти пассажиров, равна 0,28. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 17 до 23.

Решение:

Р=0,57-0,28=0,29 Ответ: 0,29

49. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Решение:

Р=0,97-0,89=0,08 Ответ: 0,08

50. При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков диа­мет­ром 67 мм ве­ро­ят­ность того, что диа­метр будет от­ли­чать­ся от за­дан­но­го не боль­ше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ный под­шип­ник будет иметь диа­метр мень­ше чем 66,99 мм или боль­ше чем 67,01 мм.

Решение:

Р₁+Р₂+Р₃=1 Р=Р₁+Р₂=1-0,965=0,035 Ответ: 0,035

51. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,13 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, чтохотя бы один автомат исправен.

Решение: Р_нет=0,13 Р_да=0,87

что значит фраза «хотя бы один исправен»:

ИЛИ а) И первый автомат исправен, И второй – нет Р₁=0,870,13=0,1131

ИЛИ б) И второй автомат исправен, И первый – нет Р₂=0,130,87=0,1131

ИЛИ в) И первый автомат исправен, И второй исправен Р₃=0,870,87=0,7569

Р=0,1131+0,1131+0,7569=0,9831 Ответ: 0,9831

52. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.

Решение:

т.к. из 5 револьверов 2 пристрелянные, то вероятность схватить пристрелянный револьвер равна =0,4, значит, вероятность схватить один из трёх непристрелянных револьверов равна=0,6

ИЛИ а) попадает из пристрелянного револьвера Р₁=0,40,8=0,32

ИЛИ б) попадает из непристрелянного револьвера Р₂=0,60,25=0,15

Р=0,32+0,15=0,47 Ответ: 0,47

53. Две фабрики выпускают одинаковые авторучки. При этом первая фабрика выпускает 90% этих авторучек, а вторая – 10%. При этом первая фабрика выпускает 4% бракованных авторучек, а вторая – 8%. Найдите вероятность того, что случайно выбранная авторучка окажется бракованной.

Решение: мы знаем, чтобы найти дробь от числа, надо дробь умножить на это число.

ИЛИ а) бракованная ручка окажется с первой фабрики Р₁=0,040,9=0,036

ИЛИ б) бракованная ручка окажется со второй фабрики Р₂=0,080,1=0,008

Р=0,036+0,008=0,044 Ответ: 0,044

54. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение: Р_{неисправна}=0,05, значит, Р_{исправна}=1-0,05=0,95

ИЛИ а) система контроля правильно забракует неисправную батарейку Р₁=0,980,05=0,049

ИЛИ б) система контроля по ошибке забракует исправную батарейку Р₂=0,080,95=0,076

Р=0,049+0,076=0,125 Ответ: 0,125

55. Всем па­ци­ен­там с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит де­ла­ют ана­лиз крови. Если ана­лиз вы­яв­ля­ет ге­па­тит, то ре­зуль­тат ана­ли­за на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. У боль­ных ге­па­ти­том па­ци­ен­тов ана­лиз даёт по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,9. Если па­ци­ент не болен ге­па­ти­том, то ана­лиз может дать лож­ный по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,01. Из­вест­но, что 5% па­ци­ен­тов, по­сту­па­ю­щих с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, дей­стви­тель­но боль­ны ге­па­ти­том. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным.

Решение: 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит действительно больны гепатитом, значит, 100%-5%=95% - здоровы

ИЛИ а) у больных гепатитом анализ даст положительный результат Р₁=0,90,05=0,045

ИЛИ б) у здоровых анализ даст ложный положительный результат Р₂=0,010,95=0,0095

Р=0,045+0,0095=0,0545 Ответ: 0,0545

56. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,27.

Решение: Р_{выигрыша}=Р_{проигрыша}=0,27, значит, Р_ничьей=1-0,27-0,27=0,46

фраза «хотя бы 4 очка»,т.е. 4 очка и больше означает:

ИЛИ а) И выигрывает в первой игре, И ничья во второй игре, т.е. 3+1 Р₁=0,270,46=0,1242

ИЛИ б) И ничья в первой игре, И выигрывает во второй игре, т.е. 1+3 Р₂=0,460,27=0,1242

ИЛИ в) И выигрывает в первой игре, И выигрывает - во второй, т.е. 3+3 Р₃=0,270,27=0,0729

Р=0,1242+0,1242+0,0729=0,3213 Ответ: 0,3213

Модуль 3. ТРУДНЫЕ ЗАДАЧИ.

В этом модуле собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей.

57. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что группа из Финляндии будетвыступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение: обозначим название стран заглавными буквами: Ф, Б, Г.

Рассмотрим все варианты расстановки в списке выступающих (вне зависимости от того, какими по счёту они будут выступать): ФБГ, ФГБ, БФГ, БГФ, ГФБ, ГБФ

общее число исходов n=6

число выбора благоприятного события m=1

Ответ: 0,17

58. На эстафете выступают команды – по одной от каждой из заявленных школ. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что команда из школы №12 будет выступать после команды из школы №15, но перед командой из школы №1? Результат округлите до сотых.

Решение: рассмотрим все варианты расстановки в списке выступающих (вне зависимости от того, какими по счёту они будут выступать): №12 №15 №1, №12 №1 №15, №15 №12 №1,

№15 №1№12, №1 №12 №15, №1 №15 №12

общее число исходов n=6

число выбора благоприятного события m=1

Ответ: 0,17

59. Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе. Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку – 0,5, по литературе – 0,6 и по математике – 0,9. Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: обозначим название специальностей заглавными буквами А. и Ж. Чтобы поступить на конкретную специальность надо по профильным предметам набрать нужное количество баллов, т.е. не менее 60, а не по профильному предмету можно набрать менее 60 баллов.

фраза «хотя бы на одну из двух» означает:

ИЛИ а) И на А. поступить, И на Ж. – нет Р₁=0,90,50,80,4 =0,144

ИЛИ б) И на Ж. поступить, И на А. – нет Р₂=0,50,80,60,1 =0,024

ИЛИ в) И на А. поступить, И на Ж. – да Р₃=0,90,50,80,6 =0,216

Р=0,072+0,024+0,216=0,384 Ответ: 0,384

60. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: 0,40,40,22 , значит, события не являются независимыми, т.е. зависимые.

«кофе останется в обоих автоматах»: Р=0,6+0,6-0,78=0,42 Ответ: 0,42

61. Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.

Решение: пусть х – это вероятность яиц высшей категории, купленных в первом хозяйстве, тогда

(1-х) - вероятность яиц высшей категории, купленных во втором хозяйстве

0,4х+0,2(1-х)=0,35

0,4х+0,2-0,2х=0,35

0,2х=0,35-0,2

0,2х=0,15

х=0,75 Итак, 0,75 яиц высшей категории из первого хозяйства. Ответ: 0,75

62. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение: пусть х – количество производимых тарелок, тогда

0,2х – дефектных тарелок, значит, 1-0,2х=0,8х – тарелок без дефекта

при контроле качества продукции выявляется 70% от тех, которые считают, что они с дефектом, т.е. 0,7 0,2х=0,14х

х-0,14х=0,86х всех тарелок, которые поступили в продажу

т.о. общее число исходов n=0,86х

число выбора благоприятного события m=0,8х

Ответ: 0,93

63. В коробке лежат 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки чёрный шар была не больше 0,15?

Решение: пусть х- количество белых шаров, которое необходимо добавить, тогда (х+5) шаров стало в коробке, значит,

По условию Р 0,15

0,15 5+х >0

50,15(5+х)

50,75+0.15х

4,250,15х

х т.к. х – наименьшее количество, значит, х=29

Ответ: 29 белых шаров надо добавить

64. В Сказочной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменно весь день. Известно, что с вероятностью 0,6 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 12 февраля, погода в Сказочной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 февраля в Сказочной стране будет отличная погода.

Решение: введём обозначения Х – хорошая погода, О – отличная погода

Р_{не изменится}=0,6 , значит, Р_{изменится}=1-0,6=0,4

Р=0,24+0,24=0,48 Ответ: 0,48

65. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: введём обозначения Х – хорошая погода, О – отличная погода

Р_{не изменится}=0,9 , значит, Р_{изменится}=1-0,9=0,1

Р=0,081+0,081+0,001+0,081=0,244 Ответ: 0,244

66. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,7.Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение: вероятность НЕ попасть в первый раз составляет 1-0,4=0,6

вероятность НЕ попасть при каждом последующем составляет 1-0,7=0,3.

«стрелять» будем до тех пор, пока, пока вероятность попадания не станет удовлетворять условию

1-ый способ: подсчитаем число выстрелов, при котором цель уничтожена «не менее 0,98»

т.е. ≥0,98

1). 1-ый выстрел Р₁=0,4 0,4 ˂ 0,98 ,т.е. заданная точность не достигнута, стреляем дальше

2). 2-ый выстрел производится тогда, когда при первом выстреле не попали.

Тогда второй выстрел попадёт в цель, если первый закончится промахом И второй попаданием: 0,60,7=0,42.

Значит, вероятность того, что попадание состоится ИЛИ при первом выстреле, ИЛИ при втором равна Р₂=0,4+0,42=0,82 0,82 ˂ 0,98 , т.е. заданная точность не достигнута, стреляем дальше

3). 3-ий выстрел производится тогда, когда первые два раза не попали.

Тогда третий попадёт в цель, если два первых выстрела промах И третий – попадание:

0,60,30,7=0,126.

Значит, вероятность того, что попадание состоится ИЛИ при первом выстреле, ИЛИ при втором, ИЛИ при третьем равна Р₃=0,4+0,42+0,126=0,946 0,946 ˂ 0,98 ,т.е. заданная точность не достигнута, стреляем дальше

4). 4-ый выстрел производится тогда, когда первые три не попали.

Тогда третий попадёт в цель, если три первых выстрела промах И четвёртый – попадание:

0,60,30,30,7=0,0378

Значит, вероятность того, что попадание состоится ИЛИ при первом выстреле, ИЛИ при втором, ИЛИ при третьем, ИЛИ при четвёртом равна Р₄=0,4+0,42+0,126+0,0378=0,9838

0,9838 ˃ 0,98 ,т.е. заданная точность достигнута

Ответ: 4 выстрела

2-ой способ: подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1-0,98=0,02 , т.е. ˂0,02

1). 1-ый выстрел Р₁=0,6 0,6 ˃ 0,02 ,т.е. заданная точность не достигнута, стреляем дальше

2). 2-ой выстрел 0,60,3=0,18 0,18 ˃ 0,02 ,т.е. заданная точность не достигнута, стреляем дальше

3). 3-ий выстрел 0,180,3=0,054 0,054 ˃ 0,02 ,т.е. заданная точность не достигнута, стреляем дальше

4). 4-ый выстрел 0,0540,3=0,0162 0,0162 ˂0,02 ,т.е. заданная точность достигнута

Ответ: 4

67. Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом).

Решение: Р_{попадания}=0,7 Р_{непопадания}=1-0,7=0,3

ИЛИ а) мишень поражена при первом выстреле Р₁=0,7

ИЛИ б) мишень поражена при втором выстреле при условии промаха при первом выстреле Р₂=0,30,7=0,21

Р=0,7+0,21=0,91 Ответ: 0,91

68. В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах.

Решение:

пусть монеты по 10 рублей будут под номерами 1, 2, 3, 4, а 5-рублёвые под номерами 5 и 6

Рассмотрим все случаи расположения монет по три штуки, не учитывая перестановку цифр местами, т.к. нам без разницы, в каком порядке монеты попали в карман:

123, 124, 125,126, 134, 135,136,145,146, 156, 234, 235,236,245,246, 256, 345,346, 356, 456

общее число вариантов n=20

т.к. пятирублёвые монеты не должны оказаться в одном кармане, значит, выбираем те события, где монеты с номерами 5 и 6 не окажутся в одной комбинации перебора цифр

число выбора благоприятного события m=12 (оставшиеся 8 вариантов – это случаи, когда монеты попали в один карман)

Ответ: 0,6

69. В кар­ма­не у Пети было 4 мо­не­ты по рублю и 2 мо­не­ты по два рубля. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе двух­рублёвые мо­не­ты лежат в одном кар­ма­не.

Решение:

общее число вариантов n=20

число выбора благоприятного события m=8

Ответ: 0,4

В некоторых задачах при подсчёте общего числа возможных вариантов и числа благоприятных исходов будет использовано понятие числа сочетаний.

Число всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.

70. В ящике 6 груш и 4 яблока. Наудачу выбирают 3 фрукта. Какова вероятность, что все фрукты – груши? Ответ округлите до сотых.

Решение: общее число возможных вариантов выбора трёх фруктов равно числу способов выбрать 3 фрукта из 10, т.е. n=120

число благоприятных исходов будет равно числу способов выбора 3 груш из имеющихся 6, т.е.

m=20

Ответ: 0,17

71. В корзине находятся 6 шаров, из них 4 белых и 2 чёрных. Из корзины извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Решение: «ровно 2 белых шара их трёх» означает, что 2 шара белых и 1 шар чёрный

общее число возможных вариантов выбрать 3 шара из 6, т.е. n=20

число благоприятных исходов будет равно числу способов выбора И двух белых шаров из четырёх, И одного чёрного шара из двух, т.е. m=12

Ответ: 0,6

Данные задания по теории вероятностей можно использовать для организации повторения при подготовке учащихся 10-11 классов к ЕГЭ.

Литература.

1.ege.sdamgia.ru – Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».

2.www.fipi.ru –Федеральный институт педагогических измерений. Открытый банк заданий ЕГЭ. Математика.

3. «Математика. Теория вероятностей. Подготовка к ЕГЭ-2014» под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова («ЛЕГИОН», г.Ростов-на-Дону, 2013г)

4. «ЕГЭ. 3000 задач с ответами. Математика с теорией вероятностей и статистикой» под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. (Разработано МИОО. 2011г.)

Приложение 1

Предлагаю различные задания по теории вероятности.

1. На стоянке 56 автомобилей, из них в 42 есть кондиционер. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на стоянке автомобиле есть кондиционер. (Ответ: 0,75)

2. В среднем из 1000 садовых шлангов, поступивших в продажу, 16 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля шланг не подтекает. (Ответ: 0,984)

3. Фабрика выпускает рюкзаки. В среднем на 100 качественных рюкзаков приходится 18 рюкзаков со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный рюкзак окажется качественным. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,85)

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет орёл, во второй и третий – решка. (Ответ: 0,125)

5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,17)

6. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Найдите вероятность того, что случайно выбранная цифра будет нечётной и меньшей 8. (Ответ: 0,4)

7. На экзамене участников рассаживают по семи аудиториям. В первых шести по 15 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию на другом этаже. При подсчёте выяснилось, что всего было 100 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал экзаменационную работу в запасной аудитории. (Ответ: 0,1)

8. В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по 6 команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1,1,1.1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Найдите вероятность того, что команда из России окажется в третьей группе. (Ответ: 0,25)

9. В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Найдите вероятность того, что этот шар окажется жёлтым. (Ответ: 0,3)

10. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Найдите вероятность того, что случайно выбранная цифра будет чётной и большей 5. (Ответ: 0,2)

11. Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на 3. (Ответ: 0,3)

12. Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школьник может ответить только на 17. Найдите вероятность того, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад вопрос. (Ответ: 0,15)

13. В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20 спортсменок: 6 из России, 5 из Германии, остальные – из Франции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяются жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции. (Ответ: 0,45)

14. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов – первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции. (Ответ: 0,14)

15. На борту самолёта 10 мест рядом с запасным выходом и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста. Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру К. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест. (Ответ: 0,125)

16. Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованных. Эксперт проверяют одну наугад выбранную кофемолку из 1000. Найдите вероятность того, что проверяемая кофемолка окажется бракованной. (Ответ: 0,007)

17. Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,87)

18. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России. (Ответ: 0,4)

19. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде. (Ответ: 0,3125)

20. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но не дойдя до отметки 2 часа. (Ответ: 0,25)

21. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз. (Ответ: 0,5)

22. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. (Ответ: 0,375)

23. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз. (Ответ: 0,375)

24. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход РОО. (Ответ: 0,125)

25. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 8»? (Ответ: 5)

26. Одновременно бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,08)

27. Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,03)

28. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 24-х пассажиров, равна 0,57. Вероятность того, что окажется меньше 17-ти пассажиров, равна 0,28. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 17 до 23. (Ответ: 0,29)

29. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,13 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. (Ответ: 0,9831)

30. Вероятность того, что на тесте по географии учащийся Р. верно решит более 12 задач, равна 0,45. Вероятность того, что Р. решит больше 11 задач, равна 0,51. Найдите вероятность того, что Р. решит ровно 12 задач. (Ответ: 0,06)

31. По отзывам покупателей Владислав Юрьевич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,71. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Владислав Юрьевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. (Ответ: 0,058)

32. В некотором городе из 2500 появившихся на свет младенцев 1235 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,51)

33. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,27. (Ответ: 0,3213)

34. Две фабрики выпускают одинаковые авторучки. При этом первая фабрика выпускает 90% этих авторучек, а вторая – 10%. При этом первая фабрика выпускает 4% бракованных авторучек, а вторая – 8%. Найдите вероятность того, что случайно выбранная авторучка окажется бракованной. (Ответ: 0,044)

35. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А.и Н. играют две шахматные партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. (Ответ: 0,18)

36. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). (Ответ: 0,064)

37. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. (Ответ: 0,99)

38. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишень, а последние три – промахнулся. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,02)

39. На рисунке изображён лабиринт. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей, по которому ещё не шла. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышка придёт к выходу В. (Ответ: 0,0625)

40. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. (Ответ: 0,25)

41. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года. (Ответ: 0,12)

42. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 24. (Ответ: 0,52)

43. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху. (Ответ: 0,47)

44. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

(Ответ: 0,125)

45. Чтобы выйти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если поигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3. (Ответ: 0,33)

46. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. (Ответ: 0,036)

47. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,05. В некотором городе из 2000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступило 130 штук. Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? (Ответ: 0,015)

48. На фабрике керамической посуды 5% произведённых кувшинов имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных кувшинов. Остальные кувшины поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранный при покупке кувшин не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. (Ответ: 0,99)

49. В Сказочной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменно весь день. Известно, что с вероятностью 0,6 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 12 февраля, погода в Сказочной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 февраля в Сказочной стране будет отличная погода.

(Ответ: 0,48)

50. Чтобы поступить в институт на специальность «Туризм», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 55 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и обществознанию. Чтобы поступить на специальность «Механизмы», нужно набрать не менее 55 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и физике. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 55 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку – 0,7, по физике – 0,4, по обществознанию – 0,6. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. (Ответ: 0,266)

51. На эстафете выступают команды – по одной от каждой из заявленных школ. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что команда из школы №12 будет выступать после команды из школы №15, но перед командой из школы №1? Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,17)

52. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

(Ответ: 0,42)

53. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйца, купленные у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Ответ: 0,4)

54. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. (Ответ: 0,93)

55. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,17)

56. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом следующем – 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? (Ответ: 5)

57. Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе. Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку – 0,5, по литературе – 0,6 и по математике – 0,9. Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. (Ответ: 0,384)

58. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода. (Ответ: 0,244)

59. На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос. (Ответ: 0,95)

60. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси. (Ответ: 0,4)

61. На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней. (Ответ: 0,25)

62. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,14)

63. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз. (Ответ: 0,5)

64. В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая. (Ответ: 0,25)

65. В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 5 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет. (Ответ: 0,995)

66. Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся во­семь сумок со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,93)

67. В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии, 7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 — из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции. (Ответ: 0,36)

68. На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции? (Ответ: 0,16)

69. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 80 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны. В пер­вый день 8 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са? (Ответ: 0,225)

70. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии. (Ответ: 0,3)

71. Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии? (Ответ: 0,36)

72. В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 55 би­ле­тов, в 11 из них встре­ча­ет­ся во­прос по бо­та­ни­ке. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по бо­та­ни­ке. (Ответ: 0,2)

73. В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по не­ра­вен­ствам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам. (Ответ: 0,6)

74. На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 25 спортс­ме­нов, среди них 8 пры­гу­нов из Рос­сии и 9 пры­гу­нов из Па­раг­вая. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ше­стым будет вы­сту­пать пры­гун из Па­раг­вая. (Ответ: 0,36)

75. Вася, Петя, Коля и Лёша бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет Петя. (Ответ: 0,25)

76. В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе? (Ответ: 0,25)

77. На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет чётной? (Ответ: 0,5)

78. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 10 до 19 де­лит­ся на три? (Ответ: 0,3)

79. В груп­пе ту­ри­стов 5 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют двух че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село за про­дук­та­ми. Ту­рист А. хотел бы схо­дить в ма­га­зин, но он под­чи­ня­ет­ся жре­бию. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что А. пойдёт в ма­га­зин? (Ответ: 0,4)

80. Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза. (Ответ: 0,375)

81. Иг­раль­ный кубик бро­са­ют два­жды. Сколь­ко эле­мен­тар­ных ис­хо­дов опыта бла­го­при­ят­ству­ют со­бы­тию «А = сумма очков равна 5»? (Ответ: 4)

82. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вый раз вы­па­да­ет орёл, а во вто­рой — решка. (Ответ: 0,25)

83. На рок-фе­сти­ва­ле вы­сту­па­ют груп­пы — по одной от каж­дой из за­яв­лен­ных стран. По­ря­док вы­ступ­ле­ния опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что груп­па из Дании будет вы­сту­пать после груп­пы из Шве­ции и после груп­пы из Нор­ве­гии? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,33)

84. В не­ко­то­ром го­ро­де из 5000 по­явив­ших­ся на свет мла­ден­цев 2512 маль­чи­ков. Най­ди­те ча­сто­ту рож­де­ния де­во­чек в этом го­ро­де. Ре­зуль­тат округ­ли­те до ты­сяч­ных. (Ответ: 0,498)

85. На борту самолёта 12 мест рядом с за­пас­ны­ми вы­хо­да­ми и 18 мест за пе­ре­го­род­ка­ми, раз­де­ля­ю­щи­ми са­ло­ны. Осталь­ные места не­удоб­ны для пас­са­жи­ра вы­со­ко­го роста. Пас­са­жир В. вы­со­ко­го роста. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на ре­ги­стра­ции при слу­чай­ном вы­бо­ре места пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место, если всего в самолёте 300 мест. (Ответ: 0,1)

86. На олим­пиа­де в вузе участ­ни­ков рас­са­жи­ва­ют по трём ауди­то­ри­ям. В пер­вых двух по 120 че­ло­век, остав­ших­ся про­во­дят в за­пас­ную ауди­то­рию в дру­гом кор­пу­се. При подсчёте вы­яс­ни­лось, что всего было 250 участ­ни­ков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный участ­ник писал олим­пи­а­ду в за­пас­ной ауди­то­рии. (Ответ: 0,04)

87. В клас­се 26 че­ло­век, среди них два близ­не­ца — Ан­дрей и Сер­гей. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на две груп­пы по 13 че­ло­век в каж­дой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Ан­дрей и Сер­гей ока­жут­ся в одной груп­пе. (Ответ: 0,48)

88. В фирме такси в на­ли­чии 50 лег­ко­вых ав­то­мо­би­лей; 27 из них чёрные с жёлтыми над­пи­ся­ми на бор­тах, осталь­ные — жёлтые с чёрными над­пи­ся­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на слу­чай­ный вызов при­е­дет ма­ши­на жёлтого цвета с чёрными над­пи­ся­ми. (Ответ: 0,46)

89. В груп­пе ту­ри­стов 30 че­ло­век. Их вер­толётом в не­сколь­ко приёмов за­бра­сы­ва­ют в труд­но­до­ступ­ный район по 6 че­ло­век за рейс. По­ря­док, в ко­то­ром вер­толёт пе­ре­во­зит ту­ри­стов, слу­ча­ен. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ту­рист П. по­ле­тит пер­вым рей­сом вер­толёта. (Ответ: 0,2)

90. Ве­ро­ят­ность того, что новый DVD-про­иг­ры­ва­тель в те­че­ние года по­сту­пит в га­ран­тий­ный ре­монт, равна 0,045. В не­ко­то­ром го­ро­де из 1000 про­дан­ных DVD-про­иг­ры­ва­те­лей в те­че­ние года в га­ран­тий­ную ма­стер­скую по­сту­пи­ла 51 штука. Насколь­ко от­ли­ча­ет­ся ча­сто­та со­бы­тия «га­ран­тий­ный ре­монт» от его ве­ро­ят­но­сти в этом го­ро­де? (Ответ: 0,006)

91. В кар­ма­не у Миши было че­ты­ре кон­фе­ты — «Гри­льяж», «Бе­лоч­ка», «Ко­ров­ка» и «Ла­сточ­ка», а также ключи от квар­ти­ры. Вы­ни­мая ключи, Миша слу­чай­но вы­ро­нил из кар­ма­на одну кон­фе­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что по­те­ря­лась кон­фе­та «Гри­льяж». (Ответ: 0,25)

92. Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли хо­дить. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка за­сты­ла, до­стиг­нув от­мет­ки 10, но не дойдя до от­мет­ки 1 час. (Ответ: 0,25)

93. В клас­се учит­ся 21 че­ло­век. Среди них две по­дру­ги: Аня и Нина. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на 7 групп, по 3 че­ло­ве­ка в каж­дой. Найти ве­ро­ят­ность того. что Аня и Нина ока­жут­ся в одной груп­пе. (Ответ: 0,1)

94. В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют три­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­па­дет хотя бы две решки. (Ответ: 0,5)

95. Из мно­же­ства на­ту­раль­ных чисел от 25 до 39 на­уда­чу вы­би­ра­ют одно число. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5? (Ответ: 0,2)

96. Если гросс­мей­стер А. иг­ра­ет бе­лы­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у гросс­мей­сте­ра Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,52. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Гросс­мей­сте­ры А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, при­чем во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза. (Ответ: 0,156)

97. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,02)

98. Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным. (Ответ: 0,019)

100. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем. (Ответ: 0,35)

101. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах. (Ответ: 0,52)

102. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен. (Ответ: 0,9975)

103. По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит. (Ответ: 0,91)

104. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года. (Ответ: 0,08)

105. Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,2. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 4 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся. (Ответ: 0,52)

106. Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства. (Ответ: 0,75)

107. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98? (Ответ: 5)

108. Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 4 очка в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 3 очка, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,4. (Ответ: 0,32)

109. При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков диа­мет­ром 67 мм ве­ро­ят­ность того, что диа­метр будет от­ли­чать­ся от за­дан­но­го не боль­ше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ный под­шип­ник будет иметь диа­метр мень­ше чем 66,99 мм или боль­ше чем 67,01 мм. (Ответ: 0,035)

110. Ве­ро­ят­ность того, что на тесте по био­ло­гии уча­щий­ся О. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,67. Ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит боль­ше 10 задач, равна 0,74. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит ровно 11 задач. (Ответ: 0,07)

111. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Линг­ви­сти­ка», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на спе­ци­аль­ность «Ком­мер­ция», нужно на­брать не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние. Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент З. по­лу­чит не менее 70 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,6, по рус­ско­му языку — 0,8, по ино­стран­но­му языку — 0,7 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,5.Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что З. смо­жет по­сту­пить хотя бы на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей. (Ответ: 0,408)

112. На фаб­ри­ке ке­ра­ми­че­ской по­су­ды 10% про­из­ведённых та­ре­лок имеют де­фект. При кон­тро­ле ка­че­ства про­дук­ции вы­яв­ля­ет­ся 80% де­фект­ных та­ре­лок. Осталь­ные та­рел­ки по­сту­па­ют в про­да­жу. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная при по­куп­ке та­рел­ка не имеет де­фек­тов. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,98)

113. В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга). (Ответ: 0,027)

114. По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Иван Ива­но­вич оце­нил надёжность двух ин­тер­нет-ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что нуж­ный товар до­ста­вят из ма­га­зи­на А, равна 0,8. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Б, равна 0,9. Иван Ива­но­вич за­ка­зал товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар. (Ответ: 0,02)

115. Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 20 пас­са­жи­ров, равна 0,94. Ве­ро­я­тность того, что ока­жет­ся мень­ше 15 пас­са­жи­ров, равна 0,56. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 15 до 19. (Ответ: 0,38)

116. Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ста­тор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ротор», «Мотор» и «Стар­тер». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ста­тор» будет на­чи­нать толь­ко первую и по­след­нюю игры. (Ответ: 0,125)

117. В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да. (Ответ: 0,392)

118. Всем па­ци­ен­там с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит де­ла­ют ана­лиз крови. Если ана­лиз вы­яв­ля­ет ге­па­тит, то ре­зуль­тат ана­ли­за на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. У боль­ных ге­па­ти­том па­ци­ен­тов ана­лиз даёт по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,9. Если па­ци­ент не болен ге­па­ти­том, то ана­лиз может дать лож­ный по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,01. Из­вест­но, что 5% па­ци­ен­тов, по­сту­па­ю­щих с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, дей­стви­тель­но боль­ны ге­па­ти­том. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным. (Ответ: 0,0545)

119. Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,06. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми. (Ответ: 0,8836)

120. Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,02. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,99. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,01. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля. (Ответ: 0,0296)

121. На ри­сун­ке изоб­ражён ла­би­ринт. Паук за­пол­за­ет в ла­би­ринт в точке «Вход». Раз­вер­нуть­ся и полз­ти назад паук не может, по­это­му на каж­дом раз­ветв­ле­нии паук вы­би­ра­ет один из путей, по ко­то­ро­му ещё не полз. Счи­тая, что выбор даль­ней­ше­го пути чисто слу­чай­ный, опре­де­ли­те, с какой ве­ро­ят­но­стью паук придёт к вы­хо­ду .(Ответ: 0,0625)

122. В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах. (Ответ: 0,6)

123. В кар­ма­не у Пети было 4 мо­не­ты по рублю и 2 мо­не­ты по два рубля. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе двух­рублёвые мо­не­ты лежат в одном кар­ма­не. (Ответ: 0,4)

124. Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом). (Ответ: 0,91)

125. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 30 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 15 с пер­со­на­жа­ми мульт­филь­мов и 15 с ви­да­ми при­ро­ды. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов. (Ответ: 0,5)

126. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе. (Ответ: 0,125)

127. На столе лежат цветные ручки: синяя, красная, чёрная и зелёная. Петя случайно берёт со стола ручку. С какой вероятностью эта ручка окажется чёрной? (Ответ: 0,25)

128. В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных. С какой вероятностью случайно вынутое из корзины яблоко окажется красным? (Ответ: 0,25)

129. На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции? (Ответ: 0,16)

130. В каждой связке бананов имеется ровно один банан с наклейкой производителя. Мама купила две связки: в одной 4, а в другой 6 бананов. Ребенок взял первый попавшийся банан из купленных мамой. С какой вероятностью этот банан был с наклейкой производителя? (Ответ: 0,2)

131. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °С, равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °С или выше. (Ответ: 0,3)

132. На олим­пиа­де по рус­ско­му языку участ­ни­ков рас­са­жи­ва­ют по трём ауди­то­ри­ям. В пер­вых двух по 120 че­ло­век, остав­ших­ся про­во­дят в за­пас­ную ауди­то­рию в дру­гом кор­пу­се. При подсчёте вы­яс­ни­лось, что всего было 400 участ­ни­ков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный участ­ник писал олим­пи­а­ду в за­пас­ной ауди­то­рии. (Ответ: 0,4)

133. Петя бросает игральный кубик. С какой вероятностью на верхней грани выпадет четное число? (Ответ: 0,5)

134. Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 160 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,98)

135. В пекарне, выпекающей булочки с изюмом, в среднем на 100 булочек в 5 булочек забывают положить изюм. Найдите вероятность того, что купленная булочка окажется с изюмом. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Ответ: 0,95)

136. В конкурсе красоты принимают участие 25 девушек: 6 школьниц, 9 студенток, остальные — аспирантки. Порядок, в котором выступают красавицы, определяется жребием. Найдите вероятность того, что девушка, выступающая первой, окажется аспиранткой. (Ответ: 0,4)

137. Сколько пятизначных чисел можно записать при помощи цифр 5, 6, 7, 8, 9 без повторения цифр? (Ответ: 0,120)

138. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди них чисел, начинающихся с 5? (Ответ: 24)

139. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные? (Ответ: 20)

140. Сколько существует отрезков, концами которых являются 10 данных точек? (Ответ: 45)

141. В турнире участвовало 9 шахматистов, и каждые два шахматиста сыграли друг с другом один раз. Сколько матчей было сыграно в турнире? (Ответ: 36)

142. Двенадцать учеников пожали друг другу руки перед соревнованиями. Сколько было сделано рукопожатий? (Ответ: 66)

143. Пятнадцать учеников обменялись фотографиями таким образом, что все обменялись друг с другом. Сколько было роздано фотографий? (Ответ: 210)

144. Сколько различных прямых можно провести через 5 точек плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой? (Ответ: 10)

145. Во взводе 5 сержантов и 30 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из одного сержанта и трех солдат? (Ответ: 20300)

146. Сколько человек принимало участие в шахматном турнире, если известно, что все участники сыграли друг с другом по одной партии, а всего было сыграно 210 партий? (Ответ: 21)

147. Сколькими способами можно выбрать 3 различные краски из 5 различных красок?

(Ответ: 10)

148. Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность того, что шестерка выпадет только один раз? Ре­зуль­тат округ­ли­те до тысячных. (Ответ: 0,278)

149. Из 10 изготовленных деталей 3 детали оказались с дефектами. Какова вероятность того, что выбранные наугад 2 детали будут без дефектов? Ре­зуль­тат округ­ли­те до тысячных. (Ответ: 0,467)

150. Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по мишени. Вероятность попадания равна соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность того, что оба охотника попадут в мишень? (Ответ: 0,02)

151. В коробке 5 белых и 7 черных шаров. Из коробки наугад выбирают шар. Какова вероятность того, что этот шар  будет белым? (Ответ: 0,42)

152. В коробке 6 белых и 5 черных шаров. Из коробки вынимают один шар и откладывают его в сторону, он оказывается белым. После этого из коробки вынимают еще один шар. Какова вероятность того, что он тоже окажется белым? (Ответ: 0,5)

153. Куб, все грани которого раскрашены, разрезали на 1000 равных кубиков. Какова вероятность того, что наугад выбранный кубик имеет только две раскрашенные грани? (Ответ: 0,096)

154. Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по мишени. Вероятность попадания равна соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность того, что лишь один из охотников попадет в цель? (Ответ: 0,38)

155. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартные), а во втором — 15 (из них 6 стандартные). Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что среди выбранных деталей окажется хотя бы одна стандартная? (Ответ: 0,58)

156. Трое стрелков, для которых вероятности попадания в цель соответственно равны 0,8, 0,75 и 0,7, делают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что только два из стрелков попадут в цель? (Ответ: 0,425)

157. Трое стрелков, для которых вероятность попадания в цель соответственно равна 0,8, 0,75 и 0,7, делают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что только один из них попадет в цель? (Ответ: 0,14)

158. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартные), а во втором — 15 (из них 6 стандартные). Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что среди выбранных деталей окажется хотя бы одна нестандартная? (Ответ: 0,88)

159. Имеется пять отрезков длиной 1, 3, 4, 7 и 9 см. Определите вероятность того, что из трех наугад выбранных отрезков (из данных пяти) можно построить треугольник? (Ответ: 0,2)

160. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найдите вероятность того, что наугад выбранные 2 детали будут стандартными. Результат запишите с точностью до сотых. (Ответ: 0,62)

161. Игральный кубик подбрасывают дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите с точностью до сотых. (Ответ: 0,17)

162. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. Наугад выбирают 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них белый? Результат округлите до десятых.

(Ответ: 0,8)

163. Бросили монету и игральный кубик. Найдите вероятность одновременного выпадения герба на монете и числа 6 на игральном кубике. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,08)

164. Завод выпускает 95 % деталей стандартными, причем из них 86 % — первого сорта. Найдите вероятность того, что наугад взятая изготовленная деталь первого сорта. (Ответ: 0,817)

165. Монету бросили шесть раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,89)

166. В шкатулке лежат 10 одинаковых по форме шаров: 3 белых, 2 красных и 5 зеленых. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар не белый? (Ответ: 0,7)

167. Из полного набора домино (28 штук) вынимается наугад одна косточка. Чему равна вероятность того, что косточка будет иметь сумму точек больше 12? (Ответ: 0)

168. Вероятность попадания в цель первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым — 0,6. Найдите вероятность того, что только один из стрелков попадет в цель. (Ответ: 0,44)

169. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз? (Ответ: 5)

170. В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 14 из них встречается вопрос по солям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по солям. (Ответ: 0,28)

171. В сборнике билетов по философии всего 20 билетов, в 19 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по Пифагору. (Ответ: 0,05)

172. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные – из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

(Ответ: 0,26)

173. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Эстонии, 6 спортсменов из Латвии, 3 спортсмена из Литвы и 7 спортсменов из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Литвы. (Ответ: 0,15)

174. На семинар приехали 4 учёных из Норвегии, 6 из России и 6 из Великобритании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым окажется доклад учёного из Норвегии. (Ответ: 0,25)

175. Научная конференция проводится в три дня. Всего запланировано 75 докладов – в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьими днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? (Ответ: 0,32)

176. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего запланировано 45 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление представителя из России состоится в третий день конкурса? (Ответ: 0,2)

177. В группе 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? (Ответ: 0,2)

178. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 16 участников из России, в том числе Тарас Куницын. Найдите вероятность того, что в первом туре Тарас Куницын будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

(Ответ: 0,6)

179. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 8 участников из России, в том числе Борис Барсуков. Найдите вероятность того, что в первом туре Борис Барсуков будет играть с каким-либо шашистом из России? (Ответ: 0,28)

180. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (Ответ: 0,995)

181. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится одна сумка со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,99)

182. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,11)

183. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,07)

184. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,05)

185. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. (Ответ: 0,375)

186. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. (Ответ: 0,0625)

187. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. (Ответ: 0,375)

188. Из слов «статистика» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что будет выбрана буква, которая встречается в слове «статистика» ровно два раза? (Ответ: 0,6)

189. На полке в магазине стоят CD-диски с фильмами, среди которых 365 комедийных фильмов, 160 триллеров, 190 фильмов в жанре «фантастика» и 85 мультипликационных фильмов. Какова вероятность, что взятый наугад диск будет содержать либо комедийный, либо мультипликационный фильм? (Ответ: 0,5625)

190. Квадратный лист бумаги со стороной 10 см разбивают на 100 квадратиков со стороной 1 см и среди этих квадратиков случайным образом выбирают один. Какова вероятность того, что расстояние от любой из сторон выбранного квадратика до границы листа составит не менее 2 см? (Ответ: 0,36)

191. В коробке лежат 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки чёрный шар была не больше 0,15? (Ответ: 29)

192. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А. (Ответ: 0,125)

193. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. (Ответ: 0,9951)

194. Ковбой Джон попадает в муху с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. (Ответ: 0,46)

195. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 65% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 85% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Ответ: 0,25)

196. В параллели 51 учащийся, среди них два друга – Андрей и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе. (Ответ: 0,32)

197. На семинар приехали 7 учёных из Венгрии, 5 из Португалии и 2 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым окажется доклад учёного из Венгрии. (Ответ: 0,5)

198. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. (Ответ: 0,022)

199. В чемпионате мира участвуют 10 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Найдите вероятность того, что команда России окажется во второй группе? (Ответ: 0,2)

200. В чемпионате мира участвуют 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по две команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Канады окажется в пятой группе? (Ответ: 0,2)

201. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. (Ответ: 0,45)

202. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,25. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах. (Ответ: 0,7)

203. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,02. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. (Ответ: 0,9996)

204. Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. (Ответ: 0,11)

205. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 5% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Ответ: 0,6)

206. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Найдите вероятность того, что случайно нажатая цифра будет нечётной? (Ответ: 0,5)

207. Из множества натуральных чисел от 41 до 56 наудачу выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно делится на 2. (Ответ: 0,5)

208. Ковбой Джон попадает в муху с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. (Ответ: 0,5)

209. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы пойдёт в магазин? (Ответ: 0,4)

210. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Швеции будет выступать после группы из Франции и после группы из Германии? (Ответ: 0,33)

211. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2. (Ответ: 0,28)

212. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Г. полетит вторым рейсом вертолёта. (Ответ: 0,25)

213. При изготовлении подшипников диаметром 66 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,985. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 65,99 мм, или больше, чем 66,01 мм. (Ответ: 0,015)

214. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,84. Вероятность того, что окажется меньше 9 пассажиров, равна 0,67. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 9 до 21. (Ответ: 0,17)

215. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

(Ответ: 0,0625)

216. Офис закупает канцелярию для сотрудников трёх различных фирм. Причём, продукция первой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных двух – поровну. Чаще всего приходится закупать пишущие ручки. Опытным путём выяснилось, что 2% ручек второй фирмы – бракованные. Процент брака в первой и третьей фирмах составляет 1% и 3% соответственно. Сотрудник М. с утра взял ручку из новой поставки канцелярии. Найдите вероятность того, что она будет исправной. (Ответ: 0,981)

217. В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. (Ответ: 0,48)

218. Вам надо купить определённую книгу. Всего 3 магазина. Вероятность того, что книга будет куплена в первом магазине – 50%, во втором – 30%, в третьем – 20%. В первом магазине 40% книг пиратского издания, во втором – 50%, в третьем – 20%. Какова вероятность, что купленная вами книга окажется пиратского издания? (Ответ: 0,39)

Приложение 2

Предлагаю несколько типов различных самостоятельных работ.

По теме «Классическое определение вероятности»

Вариант 1

1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Сербии. (Ответ: 0,4)

2. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? (Ответ: 0,16)

3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до тысячных. (Ответ: 0,139)

4. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (Ответ: 0,995)

5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 сумок 4 сумки имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,98)

6. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме "Ботаника". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Ботаника". (Ответ: 0,2)

7. На семинар приехали 4 ученых из Норвегии, 6 из России и 6 из Великобритании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым окажется доклад ученого из Норвегии. (Ответ: 0,25)

8. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 спортсменов из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России. (Ответ: 0,48)

9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно три раза. (Ответ: 0,25)

10. Из множества натуральных чисел от 58 до 82 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 6? (Ответ: 0,16)

11. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет нечётной? (Ответ: 0,5)

12. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемежку лежат карточки с номерами групп

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в четвёртой группе? (Ответ: 0,2)

13. Маша, Тимур, Диана, Костя и Антон бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Антон. (Ответ: 0,8)

14. В сборнике билетов по географии всего 40 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Страны Африки». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Страны Африки». (Ответ: 0,65)

По теме «Вероятности событий»

Вариант 1

1. Ве­ро­ят­ность того, что новый пы­ле­сос про­слу­жит боль­ше года, равна 0,92. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,84. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года. (Ответ: 0,08)

2. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,12 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен. (Ответ: 0,9856)

3.Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 65% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 85% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 80% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства. (Ответ: 0,25)

4. Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,7, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­ при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,1. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 2 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся. (Ответ: 0,78)

5. Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 6 очков в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 5 очков, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,3. (Ответ: 0,33)

6. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Меж­ду­на­род­ное право», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 73 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на спе­ци­аль­ность «Со­цио­ло­гия», нужно на­брать не менее 73 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние. Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент Л. по­лу­чит не менее 73 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,5, по рус­ско­му языку — 0,9, по ино­стран­но­му языку — 0,9 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Л. смо­жет по­сту­пить на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей. (Ответ: 0,4365)

7. В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,9 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. 24 июля по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 27 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да. (Ответ: 0,244)

8. Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,02. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,05. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная из упа­ков­ки ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на. (Ответ: 0,0684)

9. На ри­сун­ке изоб­ражён ла­би­ринт. Паук за­пол­за­ет в ла­би­ринт в точке «Вход». Раз­вер­нуть­ся и полз­ти назад паук не может. На каж­дом раз­ветв­ле­нии паук вы­би­ра­ет путь, по ко­то­ро­му ещё не полз. Счи­тая выбор даль­ней­ше­го пути слу­чай­ным, опре­де­ли­те, с какой ве­ро­ят­но­стью паук придёт к вы­хо­ду .(Ответ: 0,0625)

10. В кар­ма­не у Васи было 5 мо­не­т по рублю и 2 мо­не­ты по два рубля. Вася, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что двух­рублёвые мо­не­ты лежат в разных кар­ма­нах. Результат округлите до тысячных. (Ответ: 0,571)

Дифференцированные варианты.

Вариант 1.1

1. В сборнике билетов по геометрии всего 35 билетов, в 14 из них встречается вопрос по свойству окружности. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по свойствам окружности. (Ответ: 0,4)

2. В некоторой школе 500 учащихся, среди них 257 мальчиков. Найдите вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы окажется девочкой. (Ответ: 0,486)

3. Завод выпускает часы. В среднем на 1000 качественных часов приходится 15 со скрытыми дефектами. Вася купил себе часы этого завода. Найдите вероятность того, что купленные часы окажутся качественными. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,99)

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет орёл, во второй – решка. (Ответ: 0,25)

5. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 3». (Ответ: 2)

6. Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число о т20 до 59 делится на 6. (Ответ: 0,15)

7. В фирме перевозок «Букет» в наличии 80 грузовиков: 74 из них с изображениями красного цветка на жёлтом фоне, остальные - с изображениями жёлтого цветка на красном фоне. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина с изображениями жёлтого цветка на красном фоне. (Ответ: 0,075)

Вариант 1.2

1. На экзамене по биологии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Млекопитающие», равна 0,15. Вероятность того, что это вопрос на тему «Грибы», равна 0,23. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. (Ответ: 0,38)

2. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,08 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. (Ответ: 0,9936)

3. Вероятность того, что новый мобильный телефон прослужит больше двух лет, равна 0,62. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,43. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше пяти лет, но больше двух лет. (Ответ: 0,19)

4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,07. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. (Ответ: 0,8649)

5. В некотором городе из 8000 появившихся на свет младенцев 4888 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,39)

6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. (Ответ: 0,3332)

Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,34.

7. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует батарейку исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. (Ответ: 0,0584)

Вариант 1.3

1. Чтобы поступить в институт на специальность «Автоматизация», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «Мехатроника», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, математике и информатике. Вероятность того, что студент У. получит не менее 60 баллов по математике, равна 0,4, по русскому языку – 0,5, по физике – 0,3 и по информатике – 0,2. Найдите вероятность того, что У. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. (Ответ: 0,088)

2. На спартакиаде выступают три группы – по одной от каждой из заявленных городов. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что группа из Ростова будет выступать после группы из Казани и после группы из Уфы? Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,33)

3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 30% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 45%. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Ответ: 0,5)

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится шоколад, равна 0,8. Вероятность того, что шоколад закончится в обоих автоматах, равна 0,62. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколад останется в обоих автоматах. (Ответ: 0,02)