Исследовательская работа "Методы решения заданий с параметрами"

ЮЖНО-УРАЛЬСКАЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА

ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ "ШАГ В БУДУЩЕЕ - СОЗВЕЗДИЕ НТТМ"

----------------------------------------

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОРОДСКОЙ КООРДИНАЦИОННЫЙ ЦЕНТР НТТМ

«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ XXI ВЕКА»

Методы решения заданий с параметрами

Исследовательская (творческая) работа на Челябинский

молодежный интеллектуальный форум "Шаг в будущее-Созвездие НТТМ"

(Секция 3.1.б (3B)«Фундаментальная математика»)

Автор: Иванова Екатерина Андреевна,
г. Копейск МОУ СОШ № 45, класс 11,
Научный руководитель:
Войтюк Наталья Викторовна,

учитель математики, МОУ СОШ № 45

Копейск, 2020

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………… 3

1. Понятие параметра

1.1.Основные типы задач с параметрами………………………..…….………..….…..4

1.2.Основные способы решения задач с параметрами………….…….…………...…..4

1.3.Алгоритм решения задач с параметрами некоторых видов…………..……..……5

1. Исследование параметрических задач из ЕГЭ

2.1.Функционально-графический подход к решению...................................................7

2.2.Координатно – параметрический метод применяемый для

решения заданий из ЕГЭ…………………………………………………….……………8

Заключение………………………………………………………………………….……………9

Список литературы………………………………………………………………….………......10

Приложение………………………………………………………………………….………......I-V

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение заданий с параметрами по своему характеру можно считать исследовательской деятельностью. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, полученные результаты.

Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

В своей работе мы хотим показать некоторые методы решения различных уравнений с параметрами.

Актуальность исследования: Задачи с параметрами - это материал для настоящей учебно-исследовательской работы, чтобы набрать высокие баллы на ЕГЭ по математике необходимо уметь их решать, так как это прямым образом влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ, нужна углубленная подготовка к заданиям высокого уровня сложности, одним из которых является задание С5-уравнения и неравенства спараметром, приемы и способы решения которых в школе рассматриваются на элективных курсах, также они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует общий алгоритм решения задач с параметрами, позволяющий решать задания разных видов.

Объект исследования:задания контрольно - измерительных материалов единого государственного экзамена по математике прошлых лет, содержащие параметр.

Предмет исследования:приемы и способы решения задач с параметрами.

Цель работы: изучить способы решения задач с параметрами и овладеть этими способами при решении задач из ЕГЭ, научиться решать задания С5 и разработать набор рекомендаций, в помощь другим выпускникам.

Задачи:

1.Изучить теоретический материал по данной теме.

2.Рассмотреть основные типы задач с параметрами.

3.Познакомиться со способами решения задач с параметрами.

4.Научиться решать некоторые задания из ЕГЭ прошлых лет.

Методы исследования:

1.Теоретические методы

• Моделирование (предполагает практические действия с моделью)

• Анализ и синтез (начальный этап исследования)

2.Математические методы (для выяснения рациональных способов управления действиями, обоснование принятия решений).

1. Понятие параметра

   1. Основные типы задач с параметрами

«Параметр»  (греч.Parametron-отмеривающий) – математическая величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Переменные а, b, c, …, k, которые при решении заданий считаются постоянными, называются параметрами, а сами задания называются заданиями, содержащими параметры». То есть, если в уравнении (неравенстве), некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

1. 1. Основные способы решения задач с параметрами.

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым.

1. 1. Алгоритм решения задач с параметрами некоторых видов.

Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным, с параметром.

Уравнение вида Ax – B = 0, где A и B – выражения, зависящие только от параметров, а x – неизвестное, называется линейным уравнением относительно x. Оно приводится к виду Ax = B и при A ≠ 0 имеет единственное решение x = при каждой системе допустимых значений параметров. При A = 0 и B = 0 x – любое число, а при A = 0 и B ≠ 0 решения нет.

Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:

1. Упростить уравнение так, чтобы оно приняло видAx=B.

2. Исследовать коэффициент уравнения на равенство нулю (A = 0, A ≠ 0).

3. Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении..

4. Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Пример 1.

Решить уравнение (a² – 1)x = a + 1.

Решение:При решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1. a² - 1 = 0, т.е. a = 1 и a = -1.

Еслиa = 1, то уравнение принимает вид 0x = 2 и не имеет решений;

Еслиa = -1, то получаем 0x = 0, и очевидно x – любое число.

1. Еслиa≠ ±1,имеемx = .

Ответ. Если a = -1, то x – любое число; если a = 1, то нет решений; если a ≠ ±1, то x = .

Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным,

с параметром.

Уравнения вида ax² + bx + c = 0, где x – неизвестное, a,b,c – выражения, зависящие только от параметров, и a ≠ 0, называется квадратным уравнением относительно x.

Приa = 0 уравнение примет вид линейного kx + g = 0 и будет иметь один корень; при a ≠ 0 оно является квадратным и может иметь один или два действительных корня при каждой системе допустимых значений параметров.

Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром:

1. Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид квадратного уравнения относительно неизвестного: ax² + bx + c = 0;

2. Исследовать коэффициент уравнения при x², если он содержит параметр, на равенство нулю (a = 0, a ≠ 0);

3. Определить вид уравнения и исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра:

- если a = 0, то уравнение линейное и необходимо найти его корни в соответствии с алгоритмом решения линейного уравнения;

- если a≠ 0, то уравнение квадратное.Исследовать наличие корней и найти их при каждом фиксированном значении параметра из условия, что D >0, D < 0, D = 0.

4) Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с одним параметром и одним неизвестным.

Пример 2. При каких a уравнение (a – 2)x² + (4 – 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение:

1) Если a – 2 = 0, т.е. a = 2, то уравнение примет вид 0x = -3 и не имеет решений.

2) Если a ≠ 2, то данное уравнение – квадратное. Уравнение имеет единственный корень, если D = 0.

D = (4 – 2a)² – 12(a – 2) = 16 – 16a +4a² – 12a + 24 = 4a² – 28a + 40,

4a² – 28a + 40 = 0, a² – 7a + 10 = 0, пот.Виета a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то a = 5.

Ответ:Уравнение имеет единственное решение при a = 5.

Графический метод решения уравнений с параметром

Графический метод решения некоторых уравнений с параметрами весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметраa.

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0). Из чертежа видно, что:

• Еслиa = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x_1,2 = ± 2).

• Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.

• Еслиa = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.

• Еслиa > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

Ответ:еслиa < 0, то корней нет; если a = 0, a > 2, то два корня; если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

1. Находим область определения уравнения.

2. Выражаемα как функцию от х.

3. В системе координат строим график функцииα (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

4. Находим точки пересечения прямой α =с, с графиком функции α (х). Если прямая α =с пересекает график α(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнениеc = α(х) относительно х.

5. Записываем ответ.

1. Исследование параметрических задач из ЕГЭ.

2.1. Функционально-графический подход к решению заданий с параметрами

_{Задача 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение}

_{f(x)=x |x-4| -x-aимеет ровно три корня.}

_{Решение: x |x-4| -x-a=0 x |x-4| -x=a у=x |x-4| -x у=а}

_{К огда эти графики будут иметь три точки пересечения?}

_{1 .При у=х(х-4)-х у=х2-4х-х= х2-5х}

_{2 . При х-4>0 у=х(4-x)-х у=4х- х2-х= -х2+3х}

_{Построим в одной координатной плоскости графики}

_{Найдём точки пересечения с осью абсцисс:}

_{х=0; х=5 и координату вершины параболы (2,5; -6,25)}

_{Найдём точки пересечения с осью абсцисс: х=0; х=3}

_{и координату вершины параболы (1,5; -4)}

_{Ответ: при -4<a<2,25 уравнение имеет ровно три корня.}

1. 1. Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами.

В МГУ был разработан координатно-параметрический метод в сочетании с концепцией равносильности математических высказываний, реализованной в виде логической схемы замены иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств на равносильные им рациональные и алгебраические. Такая замена на равносильные уравнения и неравенства особенно целесообразна в задачах с параметрами, т. к. в них трудно делать проверку на ОДЗ.

Метод решения задач с параметрами использующий координатную плоскость (плоскость с осями параметр – переменная), называетсякоординатно-параметрическим методом.Координатно-параметрический методоснован на определении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координат x и параметра а, каждой (х, а) из которых удовлетворяет условию задачи.

По определенному множеству можно каждому допустимому значению параметра а = const сопоставить значение координат х таких точек этого множества, дающих искомое решение задачи и наоборот – каждому допустимому значению х подобрать соответствующее значение параметра а.

Для объяснения принципа решения параметрических задач данным способом, рассмотрим его на примере задач ЕГЭ, решаемых этим способом.

Задача 2. Найти все целые значения параметра а при которых уравнение

(a+2x-x²+19)(a-3-|x-4|)=0 имеет ровно три корня.

Исходное уравнение равносильно совокупности:

В ыражая параметр а, получаем:

Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня

в 3 случаях.

1. при х=4,а = 3, вершина прямого угла;

2. при х-4<0, x< 4 х²-2х-19=-(х-4)+3

1. при х-4>0, х> 4, х²-2х-19 = х-4+3

Тогда а = 6 - 4+3 = 5, а=5.

Ответ: при а=3, а=5.

Задача 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

|x-a²+a+2|+|x-a²+3a-1|=2a-3

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4;19)

Решение: Приравняем выражения под знаком модуля к нулю

x-a²+a+2=0 x=a²-a-2 x-a²+3a-1=0 x=a²-3a+1

1. Рассмотрим знаки подмодульных выражений

1. Раскроем модули и построим в координатно-параметрической системе координат графики

I –( x-a²+a+2)+( x-a²+3a-1)=2а-3

2а-3=2а-3

II ( x-a²+a+2)+( x-a²+3a-1)=2а-3

x= a²-a-2

III ( x-a²+a+2)-( x-a²+3a-1)=2а-3

4a-6=0

a=1,5

IV –( x-a²+a+2)-( x-a²+3a-1)=2а-3

x=a²-3a+1

Уравнение имеет корни при а≥1,5

а₁=1,5 а₂=6 а₃=6

Из графика видно, что корни, которые не принадлежат интервалу (4;19) при а [1,5;3]U[6;+∞]

Ответ: [1,5;3]U[6;+∞].

Заключение.

Решение заданий с параметрами - это в полной мере исследовательская деятельность. Чтобы решить и записать ответ к задаче необходимо иметь определенный уровень знаний, умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, полученные результаты.

Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

Цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены:

1. Изучен теоретический материал по данной теме.

2. Рассмотрены основные типы задач с параметрами, способы решения задач с параметрами.

3. Решены некоторые задания из ЕГЭ.

Гипотеза исследования о том, что существует общий алгоритм решения задач с параметрами, позволяющий решать задания разных видов подтвердилась.

Общие методы решения заданий с параметром действительно есть и их можно классифицировать.

Рассмотрев некоторые приемы и способы решения заданий с параметрами, часто встречающиеся на ЕГЭ по математике, можно сделать вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметрами.

Исследованиеактуально, чтобы набрать высокие баллы на ЕГЭ по математике необходимо уметь решать задания из части «С», так как это прямым образом влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ, также они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.

Впереди ещё несколько месяцев до экзамена для того, чтобы наработать опыт решения таких заданий.

Практическая значимость работы состоит в том, что методический материал можно использовать для элективного курса в 10-11 классах.

Новизна работы очевидна, т.к. координатно- параметрический метод решения задач с параметрами в школе на уроках применяется крайне редко, возможно лишь на элективных курсах по данной теме, тем не менее он будет достаточно доступен для выпускников, которые заинтересуются этими заданиями.

Список литературы:

1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – М.: Асар, 1996.

2. Иванов С.О. и др. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ-2013: задание С5.  

3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами. Количество решений.

4. Лаппо Л.Д., Морозов А.В., Попов М.А. Математика. ЕГЭ. Издательство «Экзамен», Москва. 2011.

5. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа – Пресс, 1986.

6. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-Пресс, 1997.

7. Шарыгин И.Ф., В.И.Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. Москва «Просвещение». 1991 г.

Интернет – ресурсы:

1. http://alexlarin.net Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор.

2. http://reshuege.ru "Решу ЕГЭ" - образовательный портал

3. http://www.ctege.info ЕГЭ.

Приложение

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение

|x²+3x+a| +|x| =6 имеет не менее трёх решений

Решение:

1. Приравняем выражения под знаком модуля к нулю

x²+3x+a=0

а = - x²-3x х=0

1. Рассмотрим знаки подмодульных выражений

   	Iчетверть	IIчетверть	IIIчетверть	VIчетверть
   x2+3x+a	+	-	-	+
   х	+	+	-	-

2. Раскроем модули и построим в координатно-параметрической системе координат графики:

I x²+3x+a+x=6

a= -x²-4x+6

II -x²-3x-a+x=6

a= -x²-2x-6

III -x²-3x-a-x=6

a= -x²-4x-6

IV x²+3x+a-x=6

a= -x²-2x+6

x=6 a=-18

Ответ: [-18;-2]

Задача 2. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 х²+(а-3)²=|x+3-a|+|x+a-3| имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ре­ше­ние.

Если x₀ яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го урав­не­ния, то и −x₀ яв­ля­ет­ся его кор­нем. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, толь­ко если x₀ = −x₀, то есть x₀ = 0. Под­ста­вим зна­че­ние x = 0 в ис­ход­ное урав­не­ние:

  х²+(а-3)²=|x+3-a|+|x+a-3| ⇔ |a-3|(|a-3|-2)=0

от­ку­да либо |a − 3| = 0 ⇔ a = 3, либо |a − 3| = 2 ⇔ a = 1, или a = 5.

При a = 3 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x² = 2|x|.

Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа −2; 0 и 2, то есть ис­ход­ное урав­не­ние имеет более од­но­го корня.

При a = 1 и при a = 5 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x² + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию x² + 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней.

При −2 ≤ x ≤ 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x² = 0, ко­то­рое имеет един­ствен­ный ко­рень.

При x > 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x² − 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней. При a = 1 и при a = 5 ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

 Ответ: 1; 5.

З адача 3. Найдите множество всех значений параметра а, для каждого из которых уравнение 

имеет только два различных корня.

Решение.  Запишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что, х=а и х=-1  корни исходного уравнения лишь при условии х≥-2а². 

Построим график в координатно – параметрической плоскости.

О твет: при а=-1 или  , или  .

Задача 4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений.

Решение: 1 способ. ,

Построим графики функций при и . Графиком первой функции является семейство парабол с вершинами, расположенных на оси ОУ: у=0,

ит.д. (в зависимости от k=0,1,2,3,4,…). Графиком второй функции является прямая, параллельная оси ОХ.

По графику определяем, что

ровно восемь решений (точек пересечения) возможно в том случае, если прямая расположена выше прямой но ниже прямой . Следовательно, ,

.

При,

при .

Ответ:,

Решение: 2 способ. , Заметим, что параметр а может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не равен нулю.

Построим график функции при у>0 , т.е. или (полуокружность с центром в начале координат) . Графиком второй функции при является семейство прямых, параллельных оси ОХ, проходящих через точки с ординатами у=0, ,,, и т.д.

Рассмотрим полуокружность радиуса r=a. Если радиус , то полуокружность пересекает серию прямых ровно в восьми точках. Аналогично рассуждаем для случая а<0.

_Ответ:,

Задача 5. Найти число решений уравнения .

Решение.Заметим, что х не равно нулю. Умножим обе части уравнения на . Получим

Построим график функции .

Г рафиком функции является прямая, параллельная оси ОХ.

Анализируя графическую иллюстрацию, понятно, что при а=0 одно решение, т.к. одна точка пересечения (не забываем, что х не равен нулю). При а=1 две точки пересечения графика функции и прямой, а значит и два решения. При а<0 получается одна точка пересечения, как и при а>1. Если же , то график функции и прямая имеют три точки пересечения.

_Ответ:при, одно решение, при два решения, при три решения.