преподаватель математики

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Техникум гидромелиорации и механизации сельского хозяйства

(филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. ВЕРНАДСКОГО»

в пгт Советский

ОТКРЫТЫЙ УРОК

По теме

«Решение комбинаторных задач, соответствующих специфике профессиональной деятельности»

Для обучающихся 2 курса

Специальности 44.02.02 Преподавание в начальных классах

Подготовил

преподаватель математики

Абибуллаева А.С.

пгт Советский, 2025

Тип урока –урок обобщения и систематизация знаний в форме дидактической игры

Цели урока:

• обучающие – повторить и закрепить изученный материал по теме «Комбинаторика» в процессе решения задач; познакомить с историческими задачами, в которых применяются элементы комбинаторики; рассмотреть применения формул комбинаторики в решениях конкретных практических задач; проверка знаний .

• развивающие – развивать внимание, зрительную память, логическое мышление, интуицию, умение устанавливать причинно-следственные связи на межпредметной основе, математическую речь, смекалку, умение самопроверять и анализировать свои ошибки.

• воспитательные – воспитывать дисциплинированность, любовь к родине, высокую работоспособность и организованность, умения проводить оценку и самооценку знаний и умений, уважение друг к другу, осознанные мотивы учения и положительное отношение к знаниям, развивать коммуникативные компетенции.

Время реализации занятия– 90 минут

Оборудование и материалы для урока: мультимедийное оборудование, презентация для сопровождения урока.

Структура урока :

Целесообразность использования презентации на занятии продиктована следующими факторами:

1. интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

• улучшением наглядности изучаемого материала,

• увеличением количества предлагаемой информации,

• уменьшением времени подачи материала;

1. повышением эффективности усвоения учебного материала за счет фронтальной и самостоятельной деятельности студентов.

Ход урока.

1. Организационный момент (5 мин.).

Ставятся цели урока.

1. Актуализация опорных знаний

Вопросы: (10 мин)

1. Дайте определение комбинаторики

2. Сколько основных правил комбинаторики?

3. Сформулируйте правило суммы.

4. Сформулируйте правило произведения.

5. Дайте определение факториала

6. Дайте определение перестановки

7. Дайте определение размещения

8. Дайте определение сочетания

9. Количество каких комбинаций можно посчитать по формуле ?

10. Количество каких комбинаций можно посчитать по формуле ?

11. Количество каких комбинаций можно посчитать по формуле

?

1. Вычислить факториал! (15 мин)

Ответы:

1. Олимпиадные задачи по комбинаторике в начальной школе.

1. В меню школьной столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 4 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?(32 варианта)

2. У Маши четыре блузки, двое брюк, три юбки, туфли, босоножки, кеды и два шарфика. Сколько комплектов одежды может составить Маша? (120 комплектов)

3. Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры чётные? (цифры в записи числа могут повторятся) (96 чисел)

4. Сколько трехзначных чисел делящихся на пять можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если цифры в записи числа могут повторяться.(60 чисел)

5. Сколько всего 3-значных чисел, у которых ровно две цифры семёрки? (9 + 9 + 8 = 26 чисел)

6. Вася забыл вторую и последнюю цифры пяти­значного номера телефона приятеля. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Васе, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до приятеля? (100 звонков)

7. Ученику нужно придумать пароль для входа в электронный журнал состоящий из трёх букв от А до Е, четырёх любых цифр и какого-нибудь знака из @, $, #. Сколько вариантов пароля может придумать ученик? (6480000)

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

а) судья футбольного матча и его помощник;(да)

б) три ноты в аккорде;(нет)

в) «Двое дежурных останутся убирать класс!»(нет)

г) Три серии в сериале(да);

д) два предмета для сдачи в ОГЭ;(нет)

е) цифры в ПИН-коде;(да)

ж) трое людей для награждения Золотой, Серебряной и Бронзовой медалями.(да)

1. Взаимопроверка! (1 балл) (10 минут)

Участникам команд раздается мини-тест.

1. Установите соответствие

   Сочетания	А)
   Перестановки	Б)
   Размещения	В)

2. Сколькими способами можно переставить 6 книг на полке?

1. 

2. ;

3. =720 способов;

4. .

1. Сколькими способами можно выбрать четверых человек для участия в математической олимпиаде из 20 учащихся класса?

1. ;

2. ;

3. =24 способами;

4. .

1. Сколькими способами можно составить двузначные числа из цифр 1,2,3,4,5, если в записи числа цифры не повторяются?

1. ;

2. ;

3. =120 способами;

4. .

1. Установите соответствие между комбинаторными задачами и способами их решения:

1. Задачи на выбор! ( 2 балла)

Задача № 1.

Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача № 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:

Задача №3 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую 3 человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно

Задача № 4. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №5.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Задача № 6. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:

Задача № 7. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение:В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132) и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ:504 трехзначных чисел.

Задача № 8. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение:А₁₂³ = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 9. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 10. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 11. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 12. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из первой совокупности (С₇²) может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй (С₉³) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С₈¹) по правилу умножения получаем:

Ответ: 14 112 способов.

1. Подведение итогов. Домашнее задание.

Повторить формулы перестановки, размещения, сочетания, подготовиться к контрольной работе.

РЕФЛЕКСИЯ

1.Чему научились на занятии?

2.Какие факты Вам запомнились на занятии?

3.Мне больше всего понравилось…

Список использованной литературы

1. М.И. Башмаков. Математика. Сборник задач 10 класс. – М.: Академия, 2008. – 272с.

2. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2002. – 495с.

3. В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. Математика. – Ростов – на – Дону: Феникс, 2008. – 380с.

4. Е.В. Филимонова. Математика. Ростов – на – Дону: Феникс, 2008. – 414с.

1. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике (1 часть). –

М.: Айрис Пресс, 2003. – 288с.

1. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике (2 часть). – М.: Айрис Пресс, 2003. – 256с.

Т.Н. Видеман, Е.В. Алтухова, Н.И. Мазурова, С.С. Бакулевская, Н.А. Докучаева. Математика. 10 – 11 классы: рефераты. – В.: Учитель, 2009. – 287с

7 . Интернет-ресурсы.