Программа курса внеурочной деятельности для подготовки к олимпиадам для 5-6 классов «Олимпиадная математика и физика»

Тудураки Камилла Мариновна, учитель математики, МБОУ г. Мурманска Гимназия №3

Программа курса внеурочной деятельности для подготовки к олимпиадам для 5-6 классов «Олимпиадная математика и физика»

Цель курса - организация условий для развития интеллектуальной одаренности обучающихся на основе психофизиологических особенностей, формирования механизмов мышления и математической базы для олимпиадной деятельности.

Программа курса внеурочной деятельности «Олимпиадная математика и физика» рассчитана на 34 часа. Курс состоит из шести разделов «Арифметика», «Сюжетные логические задачи», «Задания на истинные и ложные высказывания, «Алгоритмы, процессы и игры», «Наглядная геометрия», «Элементы физики».

Содержание курса внеурочной деятельности
«Олимпиадная математика и физика»

1. Арифметика. Задания на чётность, делимость и простые числа.

2. Сюжетные логические задачи. Задачи, для решения которых необходимо уметь рассуждать, выделять из текста причину и следствие. Задачи, которые могут быть решены перебором вариантов или с использованием таблиц.

3. Задания на истинные и ложные высказывания. В задачах такого типа необходимо уметь логически рассуждать и перебирать все возможные варианты.

4. Алгоритмы, процессы и игры. Задания на алгоритмы и операции, взвешивания, переливания, шахматные доски, турниры и игры.

5. Наглядная геометрия. Наглядная геометрия на плоскости, наглядная геометрия в пространстве.

6. Элементы физики. Понятие объема. Связь расстояния, скорости и времени.

Тематическое планирование из расчёта проведения одного двухчасового занятия в неделю представлено в таблице.

Тематическое планирование курса «Олимпиадная математика и физика»

Планируемые результаты освоения курса

В ходе освоения курса внеурочной деятельности учащимися могут быть достигнуты определённые результаты: метапредметные (регулятивные, познавательные и коммуникативные универсальные учебные действия) и предметные. Рассмотрим их более подробно.

Планируемые метапредметные результаты.

1. Регулятивные универсальные учебные действия:

Школьник научится:

• самостоятельно находить и выбирать способы решения олимпиадных задач, составлять план решения на основании данных условий и навыков, объяснять и изменять способы решения на основании новых изученных правил;

• находить в жизненных ситуациях проблемы, решающиеся с помощью полученных знаний и умений, примененных в индивидуальном и групповом подходе;

• предотвращать трудности, вносить коррективы в формулировки, находить ошибки при решении задач;

• оценивать обоснованность и полноту решений, находить ошибки, оценивать результат в соответствие с поставленным вопросом, объяснять причины получения неверных ответов.

1. Познавательные универсальные учебные действия:

Школьник научится:

• выявлять признаки различных задач на четность, делимость, инварианты и полуинварианты, логические задачи, задачи на истинные и ложные высказывания, задачи на алгоритмы, процессы и игры, задачи наглядной геометрии на плоскости и пространстве;

• формулировать на основании выявленных признаков различных задач правила и понятия, устанавливать признаки классификации задач, за счет сравнения и обобщения данных условий;

• формулировать и преобразовывать выказывания: истинные и ложные;

• определять математические и логические закономерности и противоречия в условиях, решениях, утверждениях, находить ориентиры для выявления закономерностей;

• проводить логические выводы с использованием законов, методов рассуждения дедуктивных и индуктивных и метода аналогии;

• рассматривать прямые математические утверждения и утверждения от противного, проводить доказательства самостоятельно, аргументируя и приводя примеры с использованием методов рассуждения и рассуждения, основанных на собственном опыте обучающегося;

• выбирать из различных способов решения наиболее подходящий на основании полученных знаний и навыков.

1. Коммуникативные универсальные учебные действия:

Школьник сможет:

• выражать и понимать условия задачи и её решения с целью общения, четко и грамотно выражать свою позицию в устной и письменной форме, объяснять и полученный результат и решение;

• формулировать и задавать вопросы по обсуждаемой теме, задачи, высказывать и сравнивать свои идеи решения с решением других, анализировать суждения находить и находить сходства и различия, высказывать свое несогласие и формулировать в корректной форме свою позицию;

• выступать перед аудиторией предоставляя свое решение задач или результаты эксперимента.

Планируемые предметные результаты:

1. Школьник сможет:

• выполнять устные и письменные арифметические действия с рациональными числами;

• применять признаки и свойства делимости, представлять число в виде произведения простых чисел;

• находить значения числовых выражения, выполнять прикидку и оценку результатов, выполнять преобразования выражений арифметических и алгебраических на основе изученных свойств и правил;

• применять для решения задач краткую запись, схемы, таблицы, графы, круги Эйлера;

• решать задачи, связывающие величины: скорость, время, расстояние, используя все арифметические действия, переводить единицы измерения соответствующих величин: скорость, время, расстояние, объем, площадь;

• находит и применять информацию, предоставленную в таблицах и схемах, диаграммах, трактовать предоставленные данные, отбирать необходимую информацию для решения олимпиадных задач;

• вычислять площадь и периметр фигур, составленных из треугольников, прямоугольников и многоугольников, использовать такие методы как разбиение фигур на прямоугольники или достраивание до прямоугольника;

• определять цену деления шкалы измерительных приборов (термометра;

• находить и сравнивать объемы тел.

В результате внеурочной деятельности обучающиеся получат представление:

• о способах предоставление информации и понимание её недостаточности и избыточности;

• о видах и формах представленной информации: выбор, анализ, систематизация;

о формах представления информации и иллюстрировании задачи графикой и их комбинациями.

В ходе разработки и реализации курса внеурочной деятельности «Олимпиадная математика и физика» были разработаны методические и дидактические материалы, используемые для проведения занятий.

Рассмотрим некоторые из них, используемые для проведения учебных занятий. В представленных ниже разработках речь учителя, будет обозначена буквой «У», речь обучающихся – буквой «О».

Разработка учебного занятия по теме «Логические задачи»

Тип урока – Урок усвоения новых знаний.

Цель урока – сформировать у обучающихся представления о логических задачах, способах рассуждения и решения.

Используемые средства – компьютер, видеопроектор, экран, «гадалка оригами».

Методы и формы организации работы – групповая и фронтальная форма работы; методы: беседа, игра.

Содержание урока

У – Математика – это точная и серьезная наука, но и в ней присутствует магия. Магия математики заключается в её структурности, выводах, закономерностях. Магию математики увидит тот, кто умеет думать и размышлять, а не просто зазубривать. Один из математиков современности сказал: «волшебство математики проявляется постепенно, как рассвет. Не сразу, но заметно. Не ярко, но очень красиво».

Мы с вами на уроках в 5 классе уже сталкивались с такой магией, например, когда вы проделывали ряд арифметических действий, а я отгадывала ваше задуманное число или когда вы заполняли или составляли магический квадрат.

Сегодня мы с вами будем решать логические задачи. И в этих задачах есть тоже своя магия. Мы попробуем мыслить и рассуждать логически, грамотно и четко формулировать свои мысли и идеи и будем делать верные логические выводы.

Но сегодня вы сами выберите задачи и их порядок, которые мы будем решать. Для этого нам понадобиться гадалка оригами, упоминания о которой появилось ещё в 19 веке.

Чтобы все было честно первый, кто выберет задачу будет тот, кто угадает число, которое написано на обратной стороне откидной доски. Я могу отвечать на ваши вопросы только «да» или «нет». Все ваши вопросы должны касаться математики.

Методические особенности проведения. Примеры вопросов, которые могут быть заданы детьми: «это четное число?», «это число делиться на 9?», «это число трехзначное?», «это число больше 100?» и т.д.

После того как число отгадано необходимо объяснить, как пользоваться гадалкой оригами. Чтобы выбрать задачу на гадалке, вы выбираете одного из написанных на ней ученых: Декарт, Эйлер, Фибоначчи, Дирихле. Запоминаем необходимо движение пальцев рук: вбок-вместе, вверх-вниз вместе. Совершаем то количество повторений данного движения, сколько букв в имени математика. Появится позиции, на которой видны четыре цифры. Обучающийся выбирает одну из них. И делаем столько движений, какое число выбрано. Появится позиция, на которой видны четыре цифры и обучающийся выбирает любую из них и открывает её и читает название задачи, а учитель выводит на экран данную задачу.

Задача № 1. Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. «Волосы одного из нас белые, другого – черных, третьего – рыжие, но ни у кого цвет на соответствует фамилии», – заметил черноволосый. «Ты прав», – подтвердил Белов. Какие у кого волосы?

Решение:

Для решения задач с подобным условием, мы можем составить таблицу с помощью, которой проанализируем её условие. Строки таблицы будут соответствовать одному множеству рассматриваемого условия, а столбцы будут соответствовать другому множеству рассматриваемого в задаче условия.

Решение задачи № 1. Первоначальный вариант

Решение задачи № 1. Шаг 1

Решение задачи № 1. Шаг 2

Методические особенности проведения. Пока обучающиеся записывают ответ подводим итог обозначаем основные шаги решения задач с помощью таблицы:

1. Составить таблицу, в которой обозначены все основные элементы.

2. Найти ключевое условие, которое исключает один или несколько вариантов.

3. Внимательно прочитать условие задачи и заполнить постепенно каждую строку таблицы.

4. После полного заполнения таблицы, сравнить условие с получившимся результатом, ищем возможные противоречия в решение.

5. Записать ответ.

Задача № 2. Пятеро школьников приехали из пяти различных городов в Смоленск для участия в областной математической олимпиаде. «Откуда вы, ребята?» – спросили их. Вот что они ответили:

Александров: «Я живу в Рославле, а Гусаров – в Гагарине».

Богданов: «В Гагарине живет Викторов. Я же прибыл из Вязьмы».

Викторов: «Из Рославля прибыл я, а Богданов – из Ельни».

Гусаров: «Я прибыл из Гагарина, а Дмитриев – из Ярцева».

Дмитриев: «Александров приехал из Вязьмы, а я действительно живу в Ярцеве».

Когда удивились противоречивости их ответов, ребята объяснили: «Каждый высказал одно утверждение правильное, а другое – ложное. Но по нашим ответам вполне можно установить, откуда мы приехали». Откуда приехал каждый из школьников?

Решение:

Решение задачи № 2. Первоначальный вариант

У – «В колонках с высказываниями мы будем ставить знак «+» если высказывание верное и знак «–» если высказывание школьника неверное по нашему предположению. Последнюю колонку заполняем относительно второй и третьей колонки. Тогда получим следующий результат» (см. таблицу ниже).

Решение задачи № 2. Итоговый вариант, 1 случай

У – «У нас получилось заполнить полностью таблицу и в наших рассуждениях не было противоречий, значит оно верное. Получается ответ: Александров приехал из Рославля; Богданов — из Ельни; Викторов — из Гагарина; Гусаров — из Вязьмы; Дмитриев — из Ярцева».

У – Теперь необходимо проверить предположение о том, что верно второе высказывание Александрова и заполним аналогичную таблицу ниже.

Решение задачи № 2. Итоговый вариант, 2 случай

Задача № 3. В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

Решение:

Для большего понимания и наглядности было оформлено условие задачи в виде цветного рисунка на доске (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Решение задачи № 3

Дугами обозначим одинаковые предметы одинакового цвета, а значит по условию задачи эти предметы и эти цвета встретиться в четвертом пенале не могут. А это значит, что в четвертом пенале должен лежать красный ластик, синяя ручка и оранжевый карандаш.

Это нетрудная задача на логику и закономерность, перед тем как решать данную задачу нужно попросить обучающихся выполнить рисунок самостоятельно и потом обосновать почему они выбрали именно такое оформление. Это задание направлено на развитие речи и воображения.

Задача № 4. Вначале сказочный остров был разделён на три графства: в первом графстве жили только эльфы, во втором — только гномы, в третьем — только кентавры:

• в течение первого года каждое графство, где жили не эльфы, было разделено на три графства;

• в течение второго года каждое графство, где жили не гномы, было разделено на четыре графства;

• в течение третьего года каждое графство, где жили не кентавры, было разделено на шесть графств.

Сколько графств было на сказочном острове после всех этих событий?

Решение:

Оформим решение в виде схемы (см. рисунок 2) выполняя рассуждения.

Рисунок 2 – Решение задачи № 4

Изначально было по 1 графству каждого вида. Запись в схеме «1 – Э» означает, что было одно графство эльфов, «1 – Г» означает, что было одно графство гномов, «1 – К» означает, что было одно графство кентавров и т.д.

Из условия «В течение первого года каждое графство, где жили не эльфы, было разделено на три графства» обучающиеся должны сделать вывод, что разделены графства гномов и кентавров. После первого года стало 1 графство эльфов, 3 графства гномов, 3 графства кентавров.

«В течение второго года каждое графство, где жили не гномы, было разделено на четыре графства». Из данного условия обучающиеся делают вывод, что только количество графств гномов не изменилось. После второго года стало 4 графства эльфов, 3 графства гномов, 12 графств кентавров.

«В течение третьего года каждое графство, где жили не кентавры, было разделено на шесть графств». После третьего года стало 24 графства эльфов, 18 графств гномов, 12 графств кентавров. Чтобы вычислить сколько было графств на сказочном острове после всех этих событий необходимо сложить количества данных графств

Задача № 5. У ювелира есть шесть шкатулок (см. рисунок 3): в двух лежат алмазы, в двух – изумруды, в двух – рубины. На каждой шкатулке написано, сколько драгоценных камней в ней лежит. Известно, что общее количество рубинов на 15 больше общего количества алмазов. Сколько суммарно изумрудов лежит в шкатулках?

Рисунок 3 – Задача № 5

Решение:

Задача № 6. В конференции участвовало 100 человек – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если на считать вас, то кого больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника и все ответили, что алхимиков больше опрос прервался. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?

Решение:

Задача № 7. В клетках прямоугольника расставлены крестики и нолики. Известно, что в каждой строке прямоугольника крестиков больше, чем ноликов. Докажите, что обязательно найдётся столбец, в котором крестиков тоже больше, чем ноликов

Решение:

Задача № 8. Встране Драконии живут красные, зелёные и синие драконы. У каждого дракона три головы, каждая из которых всегда говорит только правду или всегда лжёт. При этом у каждого дракона хотя бы одна голова говорит правду. Однажды за круглый стол сели 530 драконов, и каждый из них сказал:

• 1-я голова: «Слева от меня зелёный дракон».

• 2-я голова: «Справа от меня синий дракон».

• 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона».

Какое наибольшее количество красных драконов могло быть за столом?

Решение:

Данная задача является самой сложной из предложенных в первом конспекте. Все рассуждения лучше сопровождать цветными рисунками.

Рассмотрим произвольного красного дракона. У дракона справа от него хотя бы одна голова должна сказать правду. Заметим, что 1-я и 3-я головы не могут говорить правду (ведь слева находится красный дракон), поэтому правду говорит 2-я голова, и справа от этого дракона обязательно синий дракон. Теперь рассмотрим дракона слева от выбранного красного. Аналогичными рассуждениями понимаем, что у него правду может сказать только 1-я голова, и слева от этого дракона обязательно зелёный.

Из предыдущих рассуждений получаем, что для любого красного дракона через один справа от него обязательно находится синий дракон, а через один слева — зелёный. Для каждого красного дракона объединим этих трёх драконов в одну группу. Заметим, что любой дракон входит максимум в одну такую группу. Рассчитаем количество таких групп, для этого разделим количество драконов, на количество групп . Следовательно, и красных драконов не больше 176.

Приведем пример рассадки драконов. Рассадим 176 красных драконов по кругу. В промежутках между ними поставим зелёного и синего дракон: …КЗСКЗСК… . И в один из промежуток поставим двух синих и двух зелёных драконов: …КССЗЗКССЗЗК… . И проверяем условия задачи. синих и зеленых драконов по 177. У каждого дракона минимум одна голова скажет правду, а всего драконов ровно 530.

Методические особенности проведения. За время работы на уроках с этими обучающимися были выявлены характерные для данных подростков психофизиологические особенности. Несмотря на то, что внимание претерпело качественные изменения в сравнении с годом ранее, обучающиеся не могут сразу настроиться на работу, успокоиться после перерыва между занятиями. В ходе работы с ними было замечено, что данная группа подростков очень внимательно слушает о необычных применениях математики, о древних ученых. Поэтому данное занятие начинается с небольшой истории, которая напоминает им, что математика – это не только сухие расчеты и задачи.

Раздел «Сюжетные логические задачи», в котором находится данная тема идет после 10 часов занятий, на которых решались задания на темы: делимость, четность и нечетность, простые и составные числа. Именно поэтому в качестве повторения мною была выбрана данная игра. На данном занятие находилось несколько групп подростков, которые хорошо общались внутри своей малой групп и практически не общались между собой. Поэтому проводя эту игру мы стремилась поддерживать её темп и следила, чтобы обучающиеся учились слышать и слушать друг друга, вежливо исправлять при необходимости.

Все задачи подобраны таким образом, чтобы рассмотреть как можно больше способов решения: решение через рассуждение, решение способом от противного, решение с перебором всех возможных вариантов, решение с помощью таблицы.