Урок по теме "Подобие треугольников"

Тема: Подобие треугольников. 8 класс

Палаткина О.В.

учитель математики МОУ СОШ № 11 г. Подольска

Цели урока:

• обучающие – повторить и закрепить изученный материал по теме «Подобие треугольников» в процессе решения задач; познакомить с историческими задачами, в которых применяется подобие треугольников; рассмотреть некоторые применения подобия треугольников в решениях конкретных практических задач; проверка знаний и их коррекция.

• развивающие – развивать внимание, зрительную память, логическое мышление, интуицию, умение устанавливать причинно-следственные связи на межпредметной основе, математическую речь, смекалку, умение самопроверять и анализировать свои ошибки.

• воспитательные – воспитывать дисциплинированность, любовь к родине, высокую работоспособность и организованность, умения проводить оценку и самооценку знаний и умений, уважение друг к другу, осознанные мотивы учения и положительное отношение к знаниям, развивать коммуникативные компетенции.

Время реализации занятия – 45 минут

Правила проведения игры.

За каждый правильный ответ выдается большая «олимпийская звезда», если ответ неполный (игрок получает маленькую «олимпийскую звезду») или неверный, то предоставляется возможность заработать «олимпийскую звезду» другому игроку. Задания выполняются каждым учеником индивидуально, зарабатывая звезды.

В конце игры «олимпийские звезды» обмениваются на медали:

• ЗОЛОТУЮ медаль получает игрок, получивший наибольшее количество «олимпийских звезд»;

• СЕРЕБРЯНУЮ и БРОНЗОВУЮ медали получают игроки, набравшие меньшее количество «олимпийских звезд».

• Обязательно в конце игры подводятся итоги и выставляются оценки с учетом дополнительных ответов.

Ход урока:

1. Организационный момент

Ставятся цели урока;

Вопросы детям:

- Какое грандиозное событие состоялось в феврале 2014 года в России?

- Символика Олимпийских игр?

- Откуда доставили Олимпийский огонь?

Знакомство с правилами игры.

1. Актуализация прежних знаний

Первая гонка «Математический биатлон» (10 мин.)

Каждый игрок, пройдя трассу, на огневом рубеже может заработать «олимпийскую звезду», попадая «в цель», т.е. правильно ответив на вопрос задачи.

Вопросы:

1. Как продолжить утверждение, чтобы оно стало верным: «Если два угла одного треугольника…»

(Отв. «…равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны»).

2. Продолжите фразу так, чтобы утверждение было верным. «Катет прямоугольного треугольника есть …»

(Отв. «…среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу»)

3. Дано: ABCD – параллелограмм (Рис. 1). Найти подобные треугольники и доказать их подобие

(Отв. ∆ ABF ~ ∆ ADK по I признаку, по двум углам.)

4 . Дано DE║AC. Найти: Х. (Рис.2).

(Отв. Х = 4).

5. Дано: ∆ АВС ~ ∆ MNK. Найти x, y. (Рис.3)

(Отв. х = 6; y = 2)

6. Дано: DC _┴ AB, AE _┴ BC. (Рис.4). Верно ли, что ∆ BAE ~ ∆ BCD.

(Отв. да).

7 . Дано: BC ║ AD. Запишите пропорциональные отрезки.

( Рис. 5).

(Отв. AB/CD=AC/AD=BC/AC)

Победителем в биатлоне считается игрок, набравший наибольшее количество «олимпийских звезд».

Вторая гонка «Математический хоккей» (7мин.)

Учащиеся самостоятельно дома готовят по вопросу, которые учитель проверяет заранее. Устраивается конкурс оригинальных задач и их решений. Интересные задачи предлагаются соперникам.

«Нападающий» (один из игроков) «бросает шайбу в ворота» – предлагает свою задачу. «Защитники» (остальные игроки) должны на него ответить по принципу «кто быстрее». Тот, кто оказался проворнее и сообразительнее, зарабатывает «олимпийскую звезду». Если «защитники» дают неправильный ответ или не отвечают вообще – тогда ГОЛ, и «нападающий» получает «олимпийскую звезду».

1. Актуализация межпредметных связей

Третья гонка «Рыцарский турнир» (ЭКСКУРСИЯ В ПРОШЛОЕ…)(5 мин.)

Каждый игрок может одержать победу, ответив на вопрос. Став «рыцарем», он получает «олимпийскую звезду».

Представление известной личности из прошлого.

Учитель: Осознанное употребление подобных фигур встречалось в Вавилоне и Египте задолго до того, как было точно определено подобие. Так, например, в одной древнеегипетской погребальной камере была обнаружена стена, на которую рисунок был перенесен при помощи деления стены на квадратики. Этим методом сейчас широко пользуются художники для переноса изображения. Идея подобия развивалась в различных странах параллельно и возникала из потребности решения задач на определение размеров недоступных предметов и расстояний до них. Встречается идея подобия и у китайского математика Лю (III в.н.э.), а также у знаменитого купца Ионии (так называлось в середине VII в. до н.э. западное побережье Малой Азии, принадлежавшее Греции) из города Милета.

Загадка: Он жил около 640-548 г. г. до н.э. Полагают, что ему принадлежит первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов, а также теоремы о равенстве треугольников по стороне и двум принадлежащим углам. Он первый начал игру, которая с тех пор тянется уже два с половиной тысячелетия и конца которой не видно. Это игра в «Докажи», которой все время занимаются математики. Он стал не только наблюдать различные свойства геометрических фигур, говоря своим ученикам: «Делай, как делается», но и выводить одни свойства из других, т.е. положил начало дедуктивной геометрии. Он сделал ряд открытий в области астрономии: установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года и т.д. Вот почему он был причислен к группе «семи мудрецов» древности.

Кто он такой? (Отв. Фалес Милетский)

Ученик (доклад). (Слайд 11.) С помощью подобия треугольников он мог измерять высоту египетских пирамид по теням, которые они отбрасывают. Для этого рядом с пирамидой он устанавливал вертикальный шест. По-видимому, он рассуждал так. Солнце от Земли очень далеко, поэтому идущие от него и к пирамиде лучи можно считать параллельными. А затем, вероятно, использовал утверждение: длина тени пирамиды относится к длине тени шеста как неизвестная высота пирамиды к длине шеста. .

За доклад уч-ся получает «олимпийскую звезду».

Четвертая гонка«Гонка преследования» (6 мин.)

Право ответить первым предоставляется игрокам, имеющим наименьшее количество «олимпийских звезд».

Учитель. Фалес решал задачи практического содержания. Такие задачи предлагаются вам в четвертой гонке.

Задача 1.По способу Жюля Верна (Рис. 10)

Один из весьма несложных способов измерения высоких объектов описан у Жюля Верна в известном «Сегодня нам надо измерить высоту площадки Далекого Вида, - сказал инженер.

- Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться возможно большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, футов 10 длиной, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который ему был хорошо известен. Герберт же нес за ним отвес, врученный ему инженером просто камень, привязанный к концу веревки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем отошел от шеста на такое расстояние, чтобы лежа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.

- Тебе знакомы зачатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Да.

- Помнишь свойства подобных треугольников»?

(Далее следуют рассуждения о решении задачи).

«Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам».

В романе приводятся подробные вычисления.

-Чему равнялась высота гранитной скалы?

Проводится беседа по обоснованию составленного геометрического рисунка к задаче. Дети решают.

(Отв. 15/500 = 8/х; х ≈ 266,7 (футам) ≈ 80м (1фут≈0, 3 м.)).

З адача 2. (Рис. 11) По способу лесорубов определение высоты дерева.

Проводится беседа с уч-ся по обоснованию составленного геометрического рисунка к задаче.

Учитель. Как найти расстояние ВК?

Дети решают.

(Отв. Из подобия ∆ BFA и ∆ MFN => AF=H; BК = АF + h, где h – рост человека).

Уч-ся, правильно решившие задачи получают «олимпийскую звезду».

1. Коррекция знаний по теме

Пятая гонка «Финишная прямая» (10 мин.)

Каждый участник старается дать как можно больше правильных ответов, получая «олимпийские звезды».

1. Дано: BD║AE (Рис.12, слайд 14)

Назовите пары подобных треугольников в данной геометрической

конструкции.

(Отв. ∆ CMD ~ ∆ CFE, ∆ BCM ~ ∆ ACF, ∆ BMO ~ ∆ EFO, ∆ MOD ~ ∆ FOA, ∆ BDO ~ ∆ EAO, ∆ BCD ~ ∆ ACE)

(дополнительная информация - Точка пересечения продолжений не параллельных сторон трапеции, точка пересечения диагоналей трапеции, а также середины оснований трапеции лежат на одной прямой.)

2. Подобны ли два любых равнобедренных треугольника? (Отв.: нет).

3. Можно ли две стороны треугольника пересечь прямой не параллельной третьей стороне так, чтобы ею отсекался треугольник, подобный исходному. (Отв.: да, если это не равносторонний треугольник).

Уч-ся, предоставившие правильное обоснование решения задач получают «олимпийскую звезду».

1. Подведение итогов (4 мин.)

У игроков подсчитываются «олимпийские звезды», ведется обсуждение интересных ответов,«олимпийские звезды» обмениваются на медали, выбираются лучшие игроки, выставляются оценки и вручаются «сладкие медали» и грамоты.

Медали и грамоты вручает Глава Олимпийского комитета … (учитель).