Предел и непрерывность функций

Областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ангарский техникум строительных технологий»

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО

Ангарск, 2013г.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка………………………………………………………………4

Способы задания функции………………………………………………………… 6

Непрерывность функции…………………………………………………………… 7

Предел функции………………………………………………………………………7

Примеры заданий с решениями………………………………….........................… 10

Задачи для самостоятельного решения………………………………………….…10

Тренировочные упражнения……………………………………………………..…10

Литература……………………………………………………………………………12

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

Изложение материала строится на основе понятия функции. Сначала читатель знакомится с понятием непрерывности, а уже потом с понятием предела. Понятие предела вызывает трудности у студентов, так как в повседневной жизни с понятием предела встречаться не приходится.

Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания. Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы « Непрерывность и предел функции».

Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу, списки используемой литературы.

Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках дифференцированного зачета.

ПЕРЕЧЕНЬ

САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА»

Понятие функции

Все вокруг нас находится в постоянном изменении. Меняется температура, влажность воздуха, атмосферное давление, скорость движения и тому подобное. Меняется - это значит, при изменениях одной и той же величины в разное время и в разных местах будут получаться разные числа. Постоянные величины встречаются редко. Примером постоянной величины может служить отношение длины окружности к ее диаметру, это отношение равно π=3,14; сумма углов треугольников, она равна . Переменные величины можно разделить на две группы: одни изменяются произвольно – их называют независимыми переменными, а изменение вторых зависит от изменения первых – их называют зависимыми переменными, или функциями. Например, ,r – независимая переменная, а С меняется в зависимости от r, С-зависимая переменная. При этом говорят, что С – есть функция от r, а r – есть аргумент этой функции. Каждому значению аргумента соответствует определенное значение функции.

Определение1. Величина называется функцией переменной X, если каждому значению Х соответствует определенное значение Y. Записывают Y=f(x),Y(x).Говорят: величина Y зависит от Х, сообразно с этим аргумент Х называют независимой переменной, аY – независимой переменной.

Определение 2. Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то функцию называют однозначной, если два и больше – то многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.).

Способы задания функции

Употребительны три способа задания функции: а) табличный, б) графический; в) аналитический.

Табличный способ дает сразу числовое значение функции. Графиком функции Y=F(X) называется множество точек на плоскости с координатами (x;y). Например, графиком функциислужит прямая, графиком функции y= является гипербола, -парабола. Задать функцию графически значит нарисовать ее график. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами.

Область определения и область значений функции

МножествоX называют областью определения функции; множествоY называют множеством значений функции.

Непрерывность функции

Наблюдая происходящие вокруг нас изменения, можно отметить, что они происходят постепенно, непрерывно. Например, поставили кипятить воду, время идет, температура воды повышается.

Определение 3. Функцияf(x) называется непрерывной в точке x=a, если соблюдаются два условия:

Приx=a функция f(x) имеет определенное значение b;

Приx a функция имеет предел, тоже равный b.

При нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в точкеx=a.

Свойства непрерывных функций.

Теорема 1. Если функции непрерывны в точке , то функции

непрерывны в точке .

Теорема 2. Если функция t=g(x) непрерывна в точке , а функция y=f(t) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Теорема 3. Если функции непрерывны в точке ,то функции – постоянная,непрерывны в точке .

Предел функции

Любой интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 4. Число А называется пределом функции при х стремящихся к (х ), если функция

, непрерывна в точке .

Символически записывают

Например, если непрерывна в точке , то взяв

Теорема 4. Если существуют

II. Рассмотрим несколько примеров:

Пример1. Дана функция . Доказать, что функция непрерывна в точке х=5.

При х=5 , имеет определенное значение;

Пример 2. Рассмотрим функцию

Она не определена в точке . Можно доопределить по непрерывности, т.е. существует предел этой функции при . Для этого надо подобрать функцию F(x), равную f(x) при xи такую, чтобы F(x) была непрерывной в точке

, полученная дробь непрерывна в точке. Положим F(x)=

Примеры 3,4. Вычислить:

Замечание. При xфункция не может иметь двух пределов.

Несколько замечательных пределов.

Например,

.

Например,

Например,

Замечание. Если предел делителя равен нулю, а предел делимого не равен нулю, то частное имеет бесконечный предел.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Задания для самостоятельного решения.

Ответы: 1.; 5. 3; 6. 6; 7. 3; 8. -1.

Самостоятельная работа.

Найти пределы функций

.

ЛИТЕРАТУРА

Гусев В.А. Математика : учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / С.Г.Григорьев,С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева.-М.: Академия,2011 – 35 с.

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ :Астрель, 2006. – 261-515 с.

Кутасов А.Д. Пособие по математике для поступающих в вузы/ А.Д. Кутасов; под редакцией Г.Н.

Яковлева. – М. : «НАУКА», 2005 – 93с.

Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу / О.Н. Доброва. – М.: « Просвещение», 2008 – 150 с.

16

2

15

3

14

4

13

5

12

6

11

7

10

8

9

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/114098-predel-i-nepreryvnost-funkcij