Применение теоремы косинусов для решения задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 73»

Кировского района г. Саратова

Применение теоремы косинусов

для решения задач

Подготовила

учитель математики

Драгунова С.Н.

Г. САРАТОВ

2015г.

Т еорема косинусов

Теорему косинусов знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.

Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Д ано: ∆АВС

Доказать, что ВС² = АС²+ АВ² – 2АС × АВ × cosA

Доказательство:

Р ассмотрим векторное равенство.

Т.к.

то

Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим:

Так как ab=│a│ ×│ b│ × cos (a ; b ), то ВС² = АС² + АВ² – 2АС × АВ × cosA , что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов

Следствие:квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.

Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый

ПроведемCDAB

Т.к. треугольник АСD - прямоугольный, то:

b = c × cosα, следовательно, AD=AC × cos α, тогда ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ.

Рассмотрим треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90).

∆АDС – прямоугольный:

AD=AC × cosDAC = AC × cos(180 - α )= -AC × cosА или AC × cosА =

-AD

Т.е. ВС² = АС² + АВ² –+2 АD× АВ

Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника. Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:

1) по теореме:а) АС²= АВ² + ВС² – 2 АВ × ВС × cosВ;

б) АВ²= АС² + ВС² – 2 АС × ВС × cosС;

в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора:a² + b² = c²

2)a) по следствию острого угла:

а.1) АВ² = АС² + ВС² – 2 АD × AС;а.2) АС²= АВ²+ ВС²-2 ВС × СD.

б) По следствию тупого угла:

б.1) АВ² = АС² + ВС² + 2 АD × ВС;б.2) АС²= АВ²+ ВС²+ 2 ВС × СD.

Две теоремы косинусов для четырехугольника.

В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.

Теорема 1. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

Доказательство №1:

Дано: ∆AMD

Доказать, что x² = a² + b² + c² – 2ab × cosβ – 2bc × cosγ – 2ac × cosμ

С

Доказательство:

ПостроимABCE – параллелограмм. Имеем: ECD =AMD =μ.

Пусть CE=a, AE=b, ED=y, AD=x,ABC=β, BCD=γ,AED=φ

Рассмотрим∆ECD:по теореме косинусов имеем, чтоy² = a² + c² –2ac × cosμ

Рассмотрим ∆AED:x² = b² + y² – 2by × cosφ

Составим систему:

= a² + c² - y² –2ac × cosμ

x² = b² + y² – 2by × cosφ

x² = a² + b² + c² –2ac × cos μ – 2by × cos φ

Т.е. из двух равенств получим одно:

x² = a² + b² + c² –2ac × cos μ – 2by × cos φ

Проведем отрезки ЕЕ₁ и DD₁. Имеем:

y= cos ( 180 – φ)= EE₁=E₁C + CD₁ = a × cosBCE + c × cos (180 – γ)=> y× cos φ=

a × cosβ + c×cosγ

Подставим найденное значение y × cosφ в выражение для x², получим

x² = a² + b² + c² – 2ab × cosβ – 2bc × cosγ – 2ac × cosμТеорема доказана.

Доказательство №2

ПустьBN=BC,CK=KA,BL=LD,AMD=KLN, след. по теореме косинусов имеем:KL²=KN² + LN² – 2KN × LN × cosμ, причем согласно теореме Эйлера

KL²= (a² + b² + c²+x² – e² – f²)

Учитывая, что KN2 = a2,LN2 = c2, получаем после подстановки KL,KN,и LN в равенство:x²=e² +f² –b² – 2ac × cosμ

Рассмотрим треугольник АВС – по теореме косинусов:e²=a² +b²– 2ab×cosβ

Рассмотрим треугольник ВСD – по теореме косинусов:f² = b²+ c²– 2bc × cosγ

Подставим значения e² и f² в выражения для x², получим

x²=a² + b²–2ab× cosβ + b² + c²– 2bc×cos γ– b²– 2ac×cosμ

x²= a² + b² + c²– 2ab× cosβ– 2bc × cos γ– 2ac × cosμТеоремадоказана.

Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть распространена также на вогнутые четырехугольники и треугольники с самопересечением сторон. Для определения углов в формуле требуются стороны четырехугольника ориентировать по обходу его контура.

Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г), насколько известно, редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии. Целесообразность знакомства с ней, этой забытой теоремой, вы уясните из ее содержания.

Теорема 2Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противоположных углов.

Э та теорема названа теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям ef,aс,bd, где a,b,c,d – последовательные стороны данного четырехугольника, e и f – его диагонали. Существование такого треугольника легко может быть установлено.

Дано:

φ – угол, φ = A + C или B +D,ABCD – четырехугольник

a,b,c,d – стороны, e и f –диагонали

Доказать, что e²f²=a²c² +b²d² – 2abcd×cos φ

Доказательство:

1) Повернем ∆АВС вокруг т.А до совмещения АВ с AD (т. В1 может лежать на AD, на ее продолжении или совпасть с т. D).

2) ∆АВ₁С₁ подвергнем гомотетии, с центром в точке А и коэффициентом гомотетии k= . При этом т. В₁ совместится с т. D, а ∆АВ₁D₁займет положение ∆АDС₂

3) Т.к. АВ₁=а, В₁С=ВС₁=b,AC₁=AC=e,AD=dиk= , то АС₂=АС₁×k=ВС₂=В₁С₁×k=

ABC=AB₁C₁=ADC₂,след.СDC₂=B+C= =360 – (B+D), т.к равен сумме двух противоположных углов данного четырехугольника.

4) Рассмотрим ∆CDC₂и∆CAC₂

В ∆CDC₂: (СС₂)²= С² + - ×cos (B+D);

В ∆CАC₂: (СС₂)²= Е²+ -×cosA;

Приравняем выражения:

С²+ - ×cos (B+D) = Е² + -×cosA

5)Рассмотрим ∆ABD:

f²=a²+d²– 2ad ×cosA, след. cosA=

6) Подставим cosA в равенство в п.4. Получим:

С² + -×cos (B+D) = Е² + -×

Преобразуем выражение:

=

) -

)

7)Т.к. φ=A + C = B +D,то(A + C)= ),

след. )

φТеорема доказана

Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои следствия.

Рассмотрим некоторые из них:

Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90, то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений квадратов сторон четырехугольника.

ЕслиА+ С = 90 (или же 270), то (ef)²=(ac)²+(bd)² Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названо теоремой Пифагора для четырехугольников.

В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней неравных сторон. Это следствие вытекает из предыдущего при a=c и b=d.

Расстояние от вершины С прямого угла прямоугольного ∆ABС до произвольной точки D его гипотенузы выражается формулой СD²= гдеa и b – катеты, m и n – отрезки гипотенузы AB ∆ABС.

Рассмотрим вырожденный четырехугольник ABCD, у которого BDA=180ACB=90. Очевидно, стороны четырехугольника равны a,b,m,n, а диагонали его AB=m+n=c;CD=e, следовательно e²c²=a²m² + b²n² , откуда и вытекает требуемое соотношение.

Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Плотемея).

Во вписанном четырехугольнике в окружность, сумма углов А и С равна 180 (A+С= 180), значит, (ef)²=(ac)²+(bd)² + 2abcd или (ef)²=(ac+bd)² , т.е. ef=ac+bd.

РасстояниеBD между вершиной В ∆ABС и произвольной точкой D на стороне АС определяется равенством:BD²= (AB²DC + BC²AD – AD²DC).

Это соотношение известно, как теорема Стюарта.

Рассмотрим вырожденный простой четырехугольникABCD, CDA=180; диагонали его равны BD=AC=DA+DC.

Тогда: (BD AC)²= (AB DC)²+(BC AD)²–2AB BC DC ADB+ 180),

ноB+ 180)= - B= - поэтому

BD²AC²= AB²DC²+ BC²AD²+DC DA(AB²+BC²-AC²)или BD²AC²=AB²DC(DC+AD)+BC²AD(AD+DC)-CD DA AC²

Т.е. BD²AC² = AB²DC AC+BD²AD AC-CD DA AC²

BD²= (AB²DC + BC²AD – AD²DC)

Если на плоскости даны 4 точки A,B, C, D, то определяемые ими шесть отрезков

удовлетворяют неравенству:AB CD AC²BD²+AD²BC²+2AC BD AD BC,

причем знак равенства имеет место только в двух случаях: когда данные точки

лежат на одной окружности или же эти точки лежат на одной прямой, кроме того,

пара точек А и В разделяют пару точек C и D. В этом случае, учитывая, что

AB CD AC²BD²+ AD²BC²+2AC BD AD BC,получаем,что

AB CD AC BD+ AD BC

Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат на

одной окружности или же на одной прямой.

Решение задач с использованием теоремы косинусов

Задача №1На сторонах треугольника вне его построены равносторонние треугольники. Доказать, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника.

Дано:∆ABC; ∆ABK, ∆ACN, ∆CBM – равносторонние.

О₁ – центр ∆ACN, О₂ – центр ∆CBM, О₃ – центр ∆ABK

Доказать, что О₁О₂О₃ – вершины равностороннего ∆О₁О₂О₃

Д оказательство:

1) По теореме косинусов определяем расстояние между центрами О₁иО₂изчетырехугольника О₁О₂B₁A₁, где B₁иA₁– середины сторон ∆ ABC

О₁A₁= , A₁B₁= , О₂B₁= ,  О₁B₁A₁=90 + B,О₂B₁A₁ =90 + А

(О₁A₁, О₂B₁)= 180  - С=> О₁О₂= + + ×sinB+ ×sinA+ ×cosС

Ноac ×sin B=bc ×sin A=2S; 2ab×cos С= +c² => (О₁О₂)²= (+c²+ 2 )

2) Симметрия полученной формулы относительно а, b,c указывает на то, что О₁О₂= О₂О₃= О₃О₁ => ∆О₁О₂О₃– равносторонний, что и требовалось доказать.

З адача №2

Дано: ∆ABC – равнобедренный, r – радиус вписанной окружности

A= α, r = OD, AD – отрезокНайти: AE

Решение:

Опустим отрезок EF на AC

ПустьDC=d,ED=e,C=β, DEF=φ,DAC=τ,B=μ,ADC=d₁,EF=ρ,EFC=π

По теореме косинусов для треугольника имеем:

AD²=b²+d² – 2bd ×cosβ

По теореме косинусов для четырехугольника имеем:

μ - -β - π

μ – - π

4) Т.к. AE=AD-ED, то получим:

AE²=(AD² – p² - AD²– 2pd μ + π)²

AE=

AE= или

AE=2ACEF EFC – 2EF DCABC-EF²

AE=EF(2ACEFC – 2DC ABC-EF)

Ответ: AE=EF(2AC EFC – 2DC ABC-EF)

Список используемой литературы:

З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва, 1990 г.

И.Ф. Шарынин «Геометрия. Задачник 9-11», Москва, 1996

М.И. Сканави и др. «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы» Москва, 1978

А.В. Погорелов. «Геометрия 7-11» Москва, 1996

«Энциклопедический словарь юного математика» Москва, 1989

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/128524-primenenie-teoremy-kosinusov-dlja-reshenija-z