Первые уроки геометрии в 7 классе

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа села Староянтузово

ПЕРВЫЕ УРОКИ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА

ГЕОМЕТРИИ В VII КЛАССЕ

Выполнил: учитель математики

Шайхайдаров Р.Ф.

с. Староянтузово 2013г

ПЕРВЫЕ УРОКИ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА

ГЕОМЕТРИИ В VII КЛАССЕ

Введение

На первых уроках изучения систематическогокурса геометрии закладываются основы курса пла­ниметрии: вводятся основные понятия и свойст­ва простейших геометрических фигур. Введение основных свойств геометрических фигур прово­дится на основе систематизации и обобщения знаний, накопленных ими в процессе изучения математики в 1—6 классах.

Изучение первых тем должно решить задачу введения терминологии, развития наглядныхпредставлений и навыков изображения планиме­трических фигур и простейших геометрическихконфигураций как по условию задачи, так и в ходерешения задач. Все это необходимо для дальней­шего изучения курса геометрии, в силу чего важ­ными аспектами начала изучения систематичес­кого курса являются работа с чертежами и рисун­ками, использование простейших геометрических инструментов (линейка, транспортир). При реше­нии задач следует, прежде всего, опираться на наглядные представления учащихся. Тем не ме­нее решение задач следует использовать для по­степенного формирования у учащихся первых навыков применения свойств геометрических фигур как опоры при решении задач.

С другой стороны, здесь закладываются осно­вы всего курса геометрии: вводятся основные понятия и система аксиом (основных свойств), позволяющая осуществить дедуктивное построе­ние курса. А значит, учащиеся впервые встреча­ются со строго логическим изложением материа­ла, с новой для них задачей — обосновывать каж­дое утверждение, каждый шаг решения задачи, опираясь на определения и основные свойства простейших геометрических фигур при проведе­нии доказательных рассуждений.

Обучение школьников грамотным логическимрассуждениям начинается с обучения их грамот­ной устной и письменной речи. Большинство за­дач и упражнений данных учебников, в которых происходит закрепление терминологии и изуче­ние основных свойств геометрических фигур, способствует формированию у школьников уме­ний точно формулировать мысль и проводитьдоказательные рассуждения. Приведенные в тек­сте учебников решения некоторых задач служат образцами таких рассуждений. Целесообразно, чтобы на первых порах образец ответа давал сам учитель, предлагая неоднократно повторить его при решении аналогичных задач. Каждый ответ учащегося надо завершать правильной и точной формулировкой учителя, не снижая при этом оценку за «корявый язык» ученика при правиль­ном понимании сути теоретического материала и верном решении задачи.

Изучение первых тем систематического курсаставит перед учителем сложные методические за­дачи:

начать обучение школьников четким геоме­трическим формулировкам и рассуждениям;

постепенно подводить учащихся к понима­нию необходимости обоснования своих утверж­дений;

начать обучение умению выделять из текстагеометрической задачи «что дано» и«что требу­ется найти (доказать)», кратко и четко записы­вать решение задачи;

отражать ситуацию, данную в условии зада­чи и возникшую в ходе ее решения на рисунке.

Всему этому учащиеся будут обучаться на протя­жении всего курса геометрии, но в начале курсазакладываются основы будущих умений и навыков.

В результате изучения начальных понятий гео­метрии учащиеся должны:

ознакомиться с тем, что изучает геометрия, ка­кие разделы геометрии называются планиметри­ей и стереометрией;

знать:

определения:отрезка, луча, угла, равных фи­гур, равных отрезков, равных углов и биссектрисы угла, смежных и вертикальных углов, перпендику­лярных прямых;

терминологию, связанную с описанием вза­имного расположения точек и прямых на плоскости, с описанием взаимного расположения точек на прямой;

формулировки основных свойств: «через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну», основные свойства измерения отрез­ковиуглов, основного свойства взаимного расположения точек на плоскости; формулировки и доказательства теоремы о сумме смежных углов и теоремы о равенстве вертикальных углов; теоремы о перпендикулярных прямых;

уметь:

1)обозначатьточкиипрямыена рисунке, распознавать на рисунке отрезки, лучи, углы, биссектрисы углов, смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые;

2)изображать на рисунке отрезки, лучи, углы,биссектрисы углов, перпендикулярные прямые; строить угол, смежныйс данным, строить вертикальные углы;

выполнять чертеж по описанию ситуации;

описывать ситуацию, изображенную на ри­сунке;

решать задачи с применением основныхсвойств, теорем о смежных ивертикальных углах.

При изучении этого материала необходимо про­водить работу по обучению школьников доказа­тельным рассуждениям, стремясь к тому, чтобы эти рассуждения становились обязательными ком­понентами решения каждой задачи. Особенноблагодатным в этом отношении является матери­ал, связанный с основными свойствами измерения отрезковиуглов,так как дает возможность при письменном оформлении задач делать ссылки наизвестные учащимся основные свойства. При этом следует постепенно повышать уровень тре­бований к доказательным рассуждениям в ходерешения задач, поощрять любые попытки учащих­ся проводить такие рассуждения.

Покажем реализацию поурочного планирования.

§1. Методика изучения геометрического материала в V-VI классах.

Систематический курс планиметрии базируется на курсе начальной математики (1-6 кл.), содержащего значительный объем геометрических представлений, понятий и суждений, и предполагает выработку определенных навыков и умений. Пропедевтический курс носит наглядный характер с прямой опорой на практический житейский опыт учащихся, на интуицию и наблюдение с очень осторожным введением простейших элементов дедукции. Отрезок и ломаная, прямая и плоскость, угол, биссектриса, прямоугольник и квадрат, различные виды треугольников, окружность и его элементы, параллельные и перпендикулярные прямые и т.д. С этими геометрическими фигурами учащиеся знакомятся в 5-6 классах.Рассматриваются также геометрические величины и некоторые их свойства. Например, равные фигуры имеют равные площади, свойство аддитивности. Есть примеры аксиом: через две точки можно провести прямую и притом единственную.

Основным методом изучения вопросов является индуктивный метод с широким использованием наглядности. Содержание понятий раскрывается с

помощью системы упражнений. Это упражнения на клетчатом фоне, на построение, вычисление, вырезание и составление новых фигур, лабораторно- практические работы.

Основная цель изучения геометрии в 5-6 классах:

Вооружение учащихся системой геометрических понятий для сознательного изучения систематического курса геометрии в 7 классе.

Выработка прочных навыков построения геометрических фигур с помощью четырёх инструментов (линейка, циркуль, чертёжный треугольник, транспортир).

Заметим, что в учебниках математики 5-6 класса геометрический материал даётся компактными блоками, уроки геометрии идут подряд, а затем длительное время предмет не изучается. Естественно, что дети основные понятия, умозаключения забывают, теряют навыки. Поэтомугеометрический материал необходимо включать в каждый урок как материал

для повторения, а также в проверочные работы.

§2. Логическое строение школьного курса геометрии.

В построении школьного курса и учебников геометрии можно

использовать различные методические подходы и идеи:

Это и теоретико - множественный подход использование языка математической логики, с позиций геометрических преобразований, аксиоматический метод, координатный метод, векторный аппарат.

Под структурой или логическим строением целого подразумевает его составляющие элементы и связи между ними. Составляющими элементами геометрии являются понятия, определения, аксиомы и теоремы. Их связывают издавна при помощи дедуктивного метода, в частности, аксиоматического. Строго аксиоматическое построение какой-либо теории должно удовлетворять следующим четырём требованиям:

Перечисляются основные (неопределяемые) понятия;

все остальные понятия данной системы определяются строго логически на базе основных понятий или на основе ранее определённых;

формулируются системы аксиом, в которых описываются свойства неопределяемых понятий;

все остальные утверждения данной системы (теоремы) доказываются строго логически на основе аксиом, определений и ранее доказанных теорем.

В учебнике А.В. Погорелова, в его геометрии имеются шесть основных понятий (точка, прямая, плоскость, длина отрезка, градус, мера угла и геометрическая фигура) и два основных отношения («принадлежности», «лежать между»).

Заметим, что школьный курс геометрии не может быть построен строго аксиоматически из-за педагогических соображений, он всегда представлял собой своеобразное сочетание логических построений и интуитивных представлений.

Под аксиомой понимаются предложения, принимаемое без доказательства. Но надо иметь в виду, что любая аксиома содержит в себе характеристическое свойство неопределяемого понятия.

Аксиоматика А.В.Погорелова состоит из девяти аксиом планиметрии и

трех аксиом стереометрии. Методика изучения аксиом проста. Лучше

организовать трёхэтапное их изучение:

наглядный показ содержания аксиомы;

точная формулировка;

применение аксиомы при доказательстве теорем и решении задач. Заметим, что в учебнике А.В. Погорелова [1] выполняется третье

требование структуры, второе и четвёртое реализуются не полностью, а первое не до конца выполнено. В учебнике Л.С. Атанасяна [2] более или менее последовательно выполняются требования 2 и 4, 3-е требование не выполнено, т.е. в явном виде появляются не все аксиомы. Полный список аксиом (см. учебник геометрии 7-9 класс) дается в приложении, не обязательном для изучения.

§3. Общие методические рекомендации к проведению первых уроков

геометрии в VII классе.

Цели курса геометрии состоят в систематическом изучении основных

фактов геометрии, в развитии умений, навыков применения геометрии в смежных дисциплинах, производстве, в развитии логического мышления, пространственного воображения и представлений. Для реализации этих задач отводится около 40% учебного времени, отводимого на математику.

Общие методические рекомендации:

Обеспечить преемственность изучаемого материала и геометрического материала 1 -6 класса.

Широко использовать наглядность (предметы окружающего мира, модели, рисунки, чертежи, таблицы плакаты, экранные средства).

Рационально сочетать индивидуальные и дедуктивные подходы в обучении при ведущей роли дедукции.

Использовать внутрипредметные и межпредметные связи и жизненный опыт учащихся.

Использовать разнообразные задания, системы устных упражнений, проблемные вопросы.

Стимулировать самостоятельность учащихся при формировании понятий, изучении теорем.

Практиковать различные способы решения задач и т.д.

Первые уроки разрабатываем детально. Нежелательно использовать лекционный метод, изучать вопросы крупными блоками.

На первых уроках основным объектом изучения являются понятия. Полностью реализуется методическая схема их формирования. Напомним её:

1часть. Подготовительная работа:

1. повторение опорных знаний ;

2.мотивация;

3. предварительные упражнения.

часть. Реализуется одна из методик введения понятий (конкретно индуктивный или абстрактно-дедуктивный методы).

часть. Использование свойств данного понятия при изучении других теоретических вопросов.

Пример: Понятие биссектриса угла (по А.В. Погорелову).

а) Определение: Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между сторонами, делит угол пополам.

б) Родовое понятие – луч. Остальные свойства – видовые отличия.

В

С

а

г) К свойствам, которые варьируются, можно отнести величину угла и его расположение.

д) Родословная: биссектриса – луч – часть прямой – точка.

е) Показываем детям как строить биссектрису: при помощи транспортира или с помощью циркуля и линейки, т.е. рассматривая упражнения на конструирование. Например: Дано угол АОВ. Построить биссектрису угла с помощью линейки и транспортира.

Упражнения на распознавание:

в

с в с а

а а с в

С изучением понятий дело обстоит сложно. Часто определения не строгие, много погрешностей. Например, определение треугольника,

вектора. Уже на первом уроке можно сказать, что под геометрической

фигурой мы понимаем некоторое сочетание определённым образом

расположенных в плоскости точек, прямых, лучей, отрезков и вообще линий.

Это абстрактное понятие.

При изучении понятий обращаем внимание на наглядный показ,

поиск существенных свойств, упражнения на распознавание и

конструирование, изучение других свойств, применение. При решении задач и изучении теорем применяется не само понятие, а его определение и свойства.

Особое внимание уделяем изучению первых теорем. Сначала проводим анализ, излагаем идеи доказательства, составляем план с обязательным привлечением моделей, рисунков- опор. Доказательства первых теорем, записываем подробно, с обоснованиями, грамотно ставим вопросы.

Постепенно включаются дидактические умозаключения (рассуждения от общего к частному), к частным примерам прилагается общая теория. Настойчиво, целенаправленно учим детей доказательствам, учим рассуждать.

Вопрос о доказательствах весьма многогранен: это само понятие «доказательство», формы и методы проведения доказательств, правила логического вывода и т.д.

Первая теорема 1.1:

Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

С С

а а

В А В А

Как подходим к изучению?

По схеме, только устно, с использованием плаката.

Прямая не проходит через вершину треугольника. Прямая пересекает одну сторону треугольника, может пересечь еще только одну. Только затем переходим к детальному изучению.

Подходы могут быть разные:

учитель проводит рассуждения,

только по учебнику (школьники),

учащиеся работают самостоятельно, но под руководством учителя,

теорема рассматривается как задача,

теорема изучается через лабораторную работу.

Существует дваосновных метода доказательства: индуктивный,

дедуктивный.

Главная задача учителя состоит в том, чтобы суметь подвести учащихся к самостоятельной формулировке и доказательству. Надо чётко выделять этапы применения аксиом .

При изучении теорем полностью реализуется методическая схема их рассмотрения:

Подготовительная работа - работа над содержанием - обращение к опыту учащихся - высказывание предположения - поиск возможных путей решения - доказательство найденного факта - проведение доказательства в максимально простой форме - установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Примеры реализации схемы смотрите в лекциях по общей методике.

В школьном курсе геометрии более 200 теорем и задач на доказательство. «Зачем доказывать очевидные факты?» Этот вопрос возникает у каждого семиклассника. Непонимание, необходимость учить наизусть вызывают стойкую неприязнь к предмету. Многих затруднений можно избежать, если все ученики класса освоят необходимые термины, решат подготавливающие задачи, будут участвовать в составлении формулировки теоремы, в поиске доказательства. Каждого ученика надо научит выделять условия и заключение теоремы.

Школьников всегда можно подготовить к самостоятельному открытию теоремы, тогда материал осваивается глубже. Учитель предлагает специальные подготавливающие вопросы и задачи, среди которых есть вопросы с целью зародить сомнение в справедливости утверждения. Иногда решение задачи является частью доказательства. Нельзя на каждом уроке предлагать готовое доказательство и постоянно облегчать работу школьников, тогда мы не научим их самостоятельному поискудоказательства. Теоремы перефразируем. Часто они формулируются в утвердительной форме. Логические связки « если ..., то» постоянно фигурируют.

Необходимо, чтобы ученик вник в проблему и захотел её решать. Наводящие вопросы ставим грамотно. Учитель добивается, чтобышкольники привыкли искать и находить обоснование каждого шага. Важное внимание уделяем выполнению чертежа.

И, наконец, теорема не будет усвоена, пока её не применяли. Сначала теорему применяют непосредственно. Затем можно вывести следствия, рассмотреть частные случаи, обобщить теорему, применить теорему при решении прямых и обратных задач, рассмотреть обратные теоремы, другие способы доказательства. Это творческая работа. Учитель не должен спешить подсказать, а напротив, поощрять всякую новую идею, даже если она не способствует продвижению вперёд. Воспроизведение доказательства на следующем уроке рассматриваем обязательно. На этапе закрепления осуществляется проверка формулировки и доказательства теоремы. Причём, используя заранее подготовленных консультантов, за небольшой промежуток времени можно проверить знание формулировки и доказательства у всех учащихся класса. Затем решаются более сложные задачи, основанные на полученном математическом факте.

Как показывает опыт на первых уроках при изучении основных свойств геометрических фигур неоценимую помощь оказывают опорные сигналы. Приведем пример.

Аксиомы планиметрии:

II

< (ав) =α, α > 0

< (ав) = < (ас)+ < (св)

VI

VII

< (ав)=α,α <180º.

Как разработать такие опорные сигналы?

Необходимо:

Определить объем материала, рассчитанного на урок.

Разбить материал на 3-4 блока по наиболее важным идеям.

Проанализировать логические связи между понятиями и свойствами внутри каждого блока.

Составить опорные сигналы с учетом выделенных логических связей.

Описать методику их использования.

Учитель объясняет материал с использованием этих опорных сигналов.

Школьники используют их при подготовке к семинарскому занятию, при необходимости обращаются к ним на уроке- практикуме. Опорные сигналы используются для взаимоконтроля, при обобщающем повторении.

Тематическое планирование

по учебнику « Геометрия 7-9 » А.В.Погорелова.

§ 4. Основные свойства простейших геометрических фигур (10 ч)

1-2.Точка и прямая (1 ч) При изложении материала пункта 2 «Точка и прямая» можно напомнить учащимся, что пря­мая на чертеже изображается с помощью линей­ки, обратив внимание на то, что всегдаможно изо­бразить только часть прямой. На первых урокахпри выполнении рисунка на доске нужно внима­тельно следить за четкостью и правильностью его выполнения учащимися.

2°. Термины «лежит», «принадлежит», «прохо­дит», «пересекаются» следует вводить одновре­менно с построением чертежа.

Говоря, что точка А лежит (принадлежит) напрямойа,следует сначала провести прямую а,а потом нарисовать на ней точку А.Говоря, что прямаяа проходит через точку А,следует отме­тить точку А,а потом провести через нее пря­мую а (рис. 1).

Рис. 1 Рис.2

Для закрепления введенной терминологии по­лезно выполнить с учащимися упражнение по го­товому чертежу (рис. 2), предлагая вопросы:

1. На каких прямых лежит точка А1?

Лежит ли точка Вна прямой в?

Для краткой записи утверждения «Точка Апри­надлежит прямой а»можно использовать знак «е», заменяющий слово «принадлежит», «Аеа».

Так как при выполнении письменных работ стандартной ошибкой учащихся является вклю­чение различных знаков (е, и т. д.) в словесный текст предложения, следует каждый разпри введении такого знака объяснять, где и как употребляется этот знак.

3°. После введения терминологии формулиру­ется основное свойство принадлежноститочек и прямых плоскости (основное свойствоI). Фор­мулируя вторую часть основного свойства I («че­рез любые две точки можно провести прямую, и только одну»), следует обратить внимание учащих­ся на то, что в нем содержатся два утверждения: существование прямой («через любые две точки можно провести прямую») и ее единственность («и только одну»).

Необходимо привлечь внимание учащихся к двум способам обозначения прямой: либо строч­ными (малыми) буквами, либо двумя точками, ле­жащими на ней (рис. 1).

4°. Решение задачи 3, приведенное в текстеучебника, учителю лучше провести самому в видесвязанного, естественного и в то же время логи­чески обоснованного рассказа. При этом нужно придерживаться той же интонации, что и при введении основных свойств. А именно как основ­ные свойства являются естественным следствием жизненного опыта учащихся, так и доказательст­во этой задачи является естественным итогом логического развития учащихся на данном этапе.Следует иметь в виду, что при решении задачи 3, хотя и дается первое доказательное рассуждение, не нужно на этом акцентировать внимание уча­щихся. Лучше предложить им несколько раз по­вторить рассуждение, задавая вопросы типа:

Почему две различные прямые не могут иметь две общие точки (три общие точки)?

Если бы две различные прямые имели две об­щие точки, какому свойству это противоречило бы?

Ответы на эти вопросы, а следовательно, и неоднократное повторение связного рассужде­ния и есть первое знакомство с доказательнымирассуждениями. Не нужно это доказательство де­лать письменным, это работа над устной речью.

5°. По ходу изложения материала полезно вы­полнить с учащимися упражнения, данные в раз­деле «Дополнительные задачи». Упражнение 1 на закрепление вводимой терминологии, упражнения 2 и 3 — на закрепление основного свойстваI, уп­ражнения 4, 5 — на закрепление доказательныхрассуждений задачи 3 из учебника. Комментируя домашнее задание, нужно провести разъяснение,как в тексте учебного пособия искать ответ на вопрос для повторения. Лучше это сделать на примере вопроса 3 или 4.

Дополнительные задачи

1.По рис. 3 ответьте на следующие вопросы:

а)Каким прямым принадлежит точка А,точкаВ,точка С, точка D?

б)Какие прямые проходят через точку А,точ­куВ, точку С, точку D ?

в)В какой точке пересекаются прямые аив,
ви с, сит, в иm?

г)В какой точке пересекаются три прямые? На­зовите эти прямые.

Рис. 3

3.ТочкиАиВпринадлежат прямой с. Раз­личны ли прямые АВис. Объясните ответ.

Решение. Прямые АВис не могут быть различными, так как они обе проходят через точки А и В, а через две точки можно провести только одну прямую (по основному свойству I).

4. Различные прямые аи с пересекаются в точке А. Прямая апроходит через точку D.

Проходит ли через точку Dпрямаяс? Объясните ответ.

Решение. Прямая с не проходит через точку В,так как две различные прямые могут пересекаться только в одной точке (по основному свой­ствуI).

5. Одна из двух пересекающихся прямых про­ходит через точку А,принадлежащую другой пря­мой. Различны ли точка Аи точка пересечения данных прямых? Объясните ответ.

Решение. Эти точки совпадают, так как две прямые могут пересекаться только в одной точке(по основному свойству I).

Диктант

Диктант планируется на 10 мин. Провести его рекомендуется наследующем уроке вместо про­верки домашнего задания.

1°. Проведите прямую, обозначьте ее двумя спо­собами.

2°. Проведите прямую а,отметьте точку С, которая лежит на прямой а,точкуВ,котораяне лежит на прямой а.Проведите прямую с,проходящую через точку Ви пересекающую прямую а.Обозначьте точку пересечения пря­мых буквой Р.

3. Проведите прямую а,отметьте две точки АиВ,лежащие на прямой а.Можно ли через точки Аи В провести прямую с,отличную от прямой а? Объясните ответ. (Дополнительная задача включается по усмотрению учителя.)

3,4,5. Отрезок.Измерение отрезков.

Полуплоскости (2 ч)

Начиная с пункта «Измерение отрезков», нужно постепенно проводить работу по обучению учащихся доказательным рассуждениям, акцентируя внимание на обосновании решения задач, тре­бовать от них более точные геометрические фор­мулировки.

2.Для закрепления терминологии, связанной сописанием взаимного расположения точек на прямой,можно предложить учащимся выполнить упражнение 5 из учебника, дополнив его вопросами:

1) отметьте точку Втак, чтобы точка В разделяла (лежала между) точки АиВ; 2) отметьте точку Ртак, чтобы точка Р лежа­ла между (разделяла) точкамиА и В.

Выполнение этого упражнения сводится к изо­бражению на доске и в тетрадях учащихся по за­данному в упражнении описанию ситуации, а так­же к последующему устному описанию (проговариванию) ситуации по рисунку. При необходи­мости ответы учащихся уточняются и корректи­руются учителем. Записей условия задачи и ее заключения не делается.

3°. Формулируя основное свойство взаимногорасположения точек на прямой (основное свой­ствоII), следует обратить внимание на то, что вэтом свойстве содержатся два утверждения: суще­ствования точки («Из трех точек на прямой одналежит между двумя другими») и ее единственно­сти («Из трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими»).

4°. В формулировках ряда задач, относящихся в учебнике к измерению отрезков, говорится о трехточках, лежащих на одной прямой (рис. 4). Непо­средственное применение основного свойства из­мерения отрезков (основное свойство III) при до­казательных рассуждениях ведет к потере одногологического шага, а именно: если одна (точка А)из трех точек (А, В и С) прямой лежит между двумя другими (рис. 8), то она принадлежит от­резку ВС,и, следовательно, по основному свой­ствуIII: ВС = ВА + АС.

Рис. 4

При решении задач этого пункта полезно на­чать обучение учащихся краткой записи условия задачи и выполнению рисунка. Особое внимание нужно уделить записи задач, когда в их формули­ровке условие разбито на две части (первая — до вопроса, вторая — после слова «если»,например,в задачах 7, 13, 14 и т.д.).

5°. Особенностью пункта «Измерение отрезков»является то, что среди относящихся к нему уп­ражнений есть целый ряд задач (9—13), которыерешаются методом от противного. Говорить означении этого метода рассуждений на уроке бо­лее чем преждевременно. Пока неуместным пред­ставляется даже сам термин «метод от противного».Умеренная фиксация внимания на этом ме­тоде произойдет в § 2. А пока же представляется единственно возможной в этом отношении зада­ча — научить школьников первоначальным навы­кам рассуждений от противного на примерах про­стых задач. К этим задачам следует относитьсяочень внимательно и терпеливо отрабатывать с учащимися схему доказательных рассуждений.

Примеры таких рассуждений даны в ходе ре­шения задачи 9, которое приведено в учебнике, и задачи 10 в разделе «Указания к решению задач».

6°.Основное свойство расположения точек от­носительно прямой на плоскости {основное свойст­воIV) дано в краткой формулировке, удобной для запоминания учащимися. Однако при решении задач учащиеся будут пользоваться его «расши­ренной» формулировкой {«Если концы какого-ни­будь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы от­резка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой»), а также обрат­ным утверждением {«Если отрезок не пересекает­ся с прямой, то его концы лежат в одной полупло­скости. Если отрезок пересекается с прямой, тоего концы принадлежат разным полуплоскостям»).

После введения основного свойства IV следует разобрать по тексту учебника задачу 17, сопро­вождая рассуждения выполнением рис. 10 из учеб­ника. (См. также комментарии к решению задач 16, 18, 19.) Решение задач в тетради должно вы­глядеть как серия последовательных рисунков с записью окончательного ответа.

Указания к решению задач

Задачи 10 и 11 аналогичны как по содержанию, так и по методу решения. Однако в формулиров­ках задач одна и та же ситуация описана в раз­личных терминах. Рассмотрим решение задачи 10. Так мы рассуждаем при решении задачи

1) Если бы точка Вразделяла точки А и С, то она принадлежала бы отрезку АС.Тогда по основному свойству измерения отрезков («Длинаотрезка равна сумме длин частей, на которые онразбивается любой его точкой»): АС = АВ +ВС.Примерное оформление решения задачи

Решение.

1) Пусть ВеАС, тогда

АС = АВ + ВС (поосновному свойству III)

2) Подставляя значения длин отрезков АС = 5 см и AВ = 7см, данные в условии задачи, получим: 5 см = 7 см + ВС.

Поосновному свойству измерения отрезков («Каждый отрезок имеет определенную длину, боль­шую нуля») длина отрезка ВСбольше нуля, т.е.

5 см =7 см + ВС.

Решение.

2)ВС > 0 (по основному свойству III), поэтому 5 см *7 см + ВС.

3) Значит, АС*АВ + ВС.

Получили противоречие. Значит, точка В не разделяет точки Аи С.

3) Значит, АС*АВ + ВС.

Ответ: точка Вне разделяет точки А и С.

12 и 13 - аналогичные задачи. Рассмотрим ре­шение задачи 13.

Рассуждения по ходу решения задачи:

ПустьАеа, В е а, С е а, тогда по основ­ному свойству III одна и только одна из точек А, В, С лежит между двумя другими.

Пусть С е АВ,тогдаАВ = АС+СВ (поосновному свойству III). По условию АВ < АС + ВС, т.е.АВ*АС + ВС. Следовательно, С <2 АВ.

ПустьВеАС,тогдаАС = АВ + ВС иВС> 0 (по основному свойству III). По условию АС < АВ , значит,АС < АВ + ВС, т.е.АС*АВ + ВС. Следовательно, Ве АС.

16, 18, 19. Эти задачи являются очень важны­ми, так как учащиеся должны не только понять условие задачи и выполнить рисунок по описа­нию ситуации, но и провести доказательные рассуждения. Поясним на примере задачи 18 (1).

Рассуждения по ходурешения задачи:

Дана прямая а(проводим прямую и обознача­ем ее). Точка А(отмечаем на рисунке) лежит в некоторой полуплоскости (отмечаем полуплос­кость). Так как по условию задачи отрезок АВпересекает прямую а(строим отрезок, отмечаем точку пересечения), значит, по основному свойст­вуIV точка Влежит в другой полуплоскости (ука­зываем полуплоскость). Так как отрезок ВС(строим) тоже пересекает прямую а(отмечаем точку пересечения), значит, точка Слежит не в той полуплоскости, в которой лежит точка В(указываем полуплоскость). Так как прямая аразбивает плоскость на две полуплоскости, то точка С лежит в той же полуплоскости, что и точка А.Проводим те же рассуждения относи­тельно отрезка СО.В результате последователь­ных рассуждений, сопровождаемых выполнени­ем рис. 5, получен ответ на вопрос задачи.

Запись в тетради:

Рис. 5

От в е т: отрезок АВпересекает прямую а.

6.Полупрямая(1 ч)

На уровне интуитивного восприятия уча­щимся из курса V класса известны понятия полу­прямой и дополнительных полупрямых. В данномпункте вводится понятие полупрямойидополни­тельных полупрямых с использованием основных свойств расположения точек на прямой и на пло­скости.

Закрепление введенной терминологии мож­но провести в ходе работы по готовому рисунку (рис. 9), предложив учащимся назвать:

а)все лучи с начальной точкой А;

б)лучи с начальной точкой Р;

в)полупрямые с начальной точкой С;

г)пары дополнительных полупрямых;

д) совпадающие лучи

Дополнительные задачи

Сколькими способами можно отложить от­резокКР,равный 2 см, на прямой от точки К.

Сколькими способами можно отложить отре­зокКР,равный 2 см, на луче с началом в точке Л.

7.Угол(1 ч)

После введения определения угла и его эле­ментов следует обратить внимание учащихся, что угол можно обозначать тремя способами: «либоуказанием его вершины, либо указанием его сторон,либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла».

2°.Перед введением термина «проходит между» полезно вспомнить термин «лежать между» и параллельно дать рис. 10,а),10,б).Отрезок АВ (рис. 10,б) лежит своими концами на сторонах угла: конец А – на стороне а, конец В – на стороне в.Лучспересекает отрезок в точке С, которая лежит между концами отрезка А и В. Значит, луч с проходит между сторонами угла (ав)

рис.10

4°. На следующем уроке, если позволяет уро­вень геометрической подготовки класса, вместо проверки домашнего задания можно провести са­мостоятельную работу по теме «Полуплоскости. Полупрямая. Угол».

Самостоятельная работа по теме «Полуплоскости. Полупрямая. Угол»

Самостоятельная работа рассчитана на 15 мин.

1 вариант

1°. Даны четыре точки А, В, Е иО,не лежащие на одной прямой. Проведите прямую втак, чтобы точки В, Р иОлежали в одной полуплоскости, а точки А и О в разных полу­плоскостях. Определите, какие отрезки АВ, ВР иРОпересекает прямую в.

2°.Лучспроходит между сторонами угла (ав),равного 108°. Чему равны углы (ас)и(вс),еслиугол (ас)в два раза больше угла (вс)?

3. Точки К, В и N лежат на одной прямой. Известно, что КВ= 5 см, NК= 9 см,BN= 4 см. Принадлежит ли точка NотрезкуКB?

II вариант

1°. Даны три точки К, О иР,не лежащие на одной прямой. Проведите прямую птак, чтобы точки ОиКлежали в одной полуплоскости, а точки РиК— в разных полуплоскостях. Опре­делите, какие отрезки КО, ВР иОРпересекаетпрямаяп.

2°. Луч с проходит между сторонами угла(ав),равного 105°. Чему равны углы (ас)и(вс),еслиугол (ас) на 25° больше угла (вс)?

3. Может ли луч кпроходить между сторона­ми угла (тп),еслиугол(тк) = 21°, угол(кп) = 73°,угол(тп)°= 70°?

Треугольник (1 ч)

В определении треугольникаследует обра­тить внимание учащихся на то, что три точки, яв­ляющиеся вершинами треугольника, не лежат наодной прямой, продемонстрировав два рисунка (рис. 14, а, б). На первом из рисунков точки А, В и С не лежат на одной прямой, а на втором три точкиА, В и С лежат на одной прямой и тре­угольника не существует.

Рис. 14,а) Рис. 14,б)

2°.Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно.

Кроме вершин и сторон, к основным элементам треугольника принято относить его углы. Углом треугольника при данной вершине А называется угол, образованный лучами АВ и АС. Назовите все углы данного треугольника.

2. Какие треугольники можно назвать равными (соответствующих инструментов для измерения треугольников не существует!)? Логично использовать равенство основных элементов треугольников, то есть,треугольники называются равными, если равны их соответствующие углы и равны их соответствующие стороны.

Рассмотрим два равных треугольника: АВС и DEF (см. рис.15):

рис. 15

A = D; B = E; C = F.

Эти углы и будут соответствовать друг другу. Соответствующими сторонами должны оказаться стороны, противолежащие равным углам.

Выпишем и отметим на чертеже все пары равных сторон:

BC = EF; AC = DF; AB = DE.

Получим, что АВС = DEF (вершины равных углов записываются в одинаковом порядке!)

4°.Основное свойство существования треуголь­ника, равного данному (основное свойствоVIII),формулируется в учебном пособии в краткой форме, удобной для запоминания. Однако при до­казательстве признаков равенства треугольников в § 3 учащимся придется пользоваться алгорит­мом построения треугольника, равного данному, описанным в учебнике на с. 15: «Имеем треуголь­ник АВС и луч а. Переместим треугольник АВСтак, чтобы его вершина А совместилась с началом А_х луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости а) относительно луча а».

Указания к решению задач

Задачи 33 и 34 по существу являются задачам: на прямое применение основных свойств измерения отрезков и углов в более сложной ситуации. Поэтому их удобно использовать при повторении материала всего параграфа.

33.СторонаАВтреугольникаАВС—это от­резокАВ.По условию точка Впринадлежит отрезку АВ,значит (по основному свойству измерения отрезков), справедливо равенство

АС = АВ + ВС = 5 см + 6 см = 11 см.

3)Письменно на доске и в тетрадях с полной записью.

Дано: АВС =АМС; |АВ| = 13 см; |СМ| = 4 см; АВС = 130.

Найти: |АМ|; |ВС|; АМС.

Решение. Так как АВС = АМС, то |АМ| = |АВ| = 13 см; |ВС| = |СМ| = 4 см;

АМС = АВС = 130.

4) Начертите треугольники АВС и АМС и обоснуйте единственность случая их взаимного расположения.

Самостоятельная работа по теме

«Откладывание отрезков и углов.

Существование треугольника,

равного данному»

Самостоятельная работа планируется на 15 мин. Провести ее рекомендуется на следующем урокевместо проверки домашнего задания.

I вариант

1°. Треугольники АВСиРЕВравны. Извест­но, что АВ = 7 см, ВС= 9 см, РВ= 6 см. Най­дите остальные стороны каждого треугольника.

2°. Треугольники АВСиМНКравны. Изве­стно, что АС = 30°, МН=60°, НК = 90°. Найдите остальные углы каждого треугольника.

3. Три точки А, В и С лежат на одной прямой Известно, чтоАС =7 см, а АВ = 5см. Найдите длину отрезка ВС.

II вариант

1°. Треугольники АВСиКОМравны. Извест­но, что КО = 3 см,ОМ=4 см, АС= 5 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника.

2°. Треугольники АВСиРОКравны. Извест­но, что АР= 15°, РО= 100°, АС= 65°. Найдите остальные углы каждого треугольника.

3. Три точки А, В и С лежат на одной прямой Известно, чтоАВ =12 см, а ВС = 15см. Найдите длину отрезка АС

Основное свойство параллельных прямых.

Теоремы. Доказательства. Аксиомы (1 ч)

Для экономии времени изучение пункта лучше отнести в § 4 к теме «Параллельность пря­мых».Понятие«параллельные прямые» не является для учащихся новым, оно известно им из курсаVI класса. В учебнике напоминается практичес­кий способ построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Новым для уча­щихся является формулировка основного свойст­ва,обобщающая их знания и опыт.

Если учитель сочтет необходимым в соответст­вии с построением учебника изучить основноесвойство параллельных прямых в данной теме, то вопрос о существовании и единственности пря­мой, параллельной данной и проходящей через данную точку, обсуждать с учащимися преждевре­менно. Он будет подробно разбираться в § 4 по­сле решения задачи 8.

Полезно разъяснить учащимся, что слова «не более одной» означают, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, параллельно ей мож­но провести либо одну прямую, либо ни одной, но нельзя провести две прямые.

После этого разобрать с учащимися по текстуучебника решение задачи 41. Обратить вниманиеучащихся в ходе решения задачи на термин «мож­но провести не более одной прямой».

2°. Весь материал пунктов учитель рас­сказывает сам без привлечения учащихся. Вводи­мая здесь терминология знакома школьникам и не требует закрепления. Здесь просто расставля­ются акценты и приводятся примеры, иллюстри­рующие знакомые термины.Теорема 1.1 являет­ся одним из таких примеров. Она позволяет вы­делить в формулировке теоремы условие и заклю­чение и объяснить, что такое доказательство. Однако, поскольку доказательные рассуждения, про­водимые при доказательстве теоремы 1.1, анало­гичны аргументации, используемой при решениизадачи 18, целесообразно решить задачу 18 (6) перед доказательством теоремы.

3°. Сделать запись условия теоремы и рисунок(рис. 17), при этом следует обратить вниманиеучащихся, что видимые на рисунке закономерно­сти не могут и не должны служить обоснованиемдоказательных рассуждений.

Дано:АВС, С е а, прямаяа пересекаетАВ

Доказать: прямая апересекает либо ВС,ли­боАС.

Доказательство.

1) По условию теоремы прямая ане проходит ни через одну из вершин треугольника АВСи пересекает сторону АВ (см. рис. 17)

а

А С

Точка С лежит в одной из двух полуплоско­стей: либо в той, что и точка А,либо в той, что и точка В.

В а В

а

А С

С А

Рис.18 Рис. 19

Пусть точка Слежит в одной полуплоско­сти с точкой А,тогда по основному свойству рас­положения точек относительно прямой на плос­кости отрезок АСне пересекается, а отрезок ВСне пересекается с прямой а (рис. 18).

Пусть точка Слежит в одной полуплоско­сти с точкой В, тогда по основному свойству

расположения точек относительно прямой на плоскостиIV отрезок ВСне пересекается, а отрезок АСпересекается с прямой а (рис. 19).

7) В каждом из этих случаев прямая апересе­кает только один из отрезков АСилиВС.

4°. Объяснить понятие «аксиома»на примерах известных учащимся основных свойств и поня­тие«определение»на примерах: отрезок и равные отрезки, угол и равные углы и т.д.

Указания к решению задач

Задачи 41, 42 в системе задач учебного пособияявляются очень значимыми, так как доказатель­ные рассуждения, используемые при решенииэтих задач, являются пропедевтикой к доказатель­ствам теорем о признаках параллельности прямых исвойствах углов при параллельных прямых (теоре­мы 4.1 и 4.2 из § 4, пункты 31, 32).

43. Три вершины треугольника относительнопрямой, не проходящей ни через одну из его вер­шин, могут быть расположены так, что:

все три вершины треугольника лежат в однойполуплоскости относительно прямой

две вершины лежат в одной полуплоскости,а одна — в другой относительно прямой (рис. 22, 23).

В первом случае все три отрезка, концами ко­торых служат вершины данного треугольника, лежат в одной полуплоскости, и, следовательно,прямая не пересекает ни одну из сторон треуголь­ника Во втором случае два отрезка (АВиСВна рис. 21) имеют своими концами верши­ны треугольника, лежащие в разных полуплоско­стях, следовательно, прямая пересекает две сто­роны треугольника. А третья сторона не пересе­кается с данной прямой, так как две другие вер­шины А я С лежат в одной полуплоскости (рис. 22). Значит, прямая, не проходящая ни че­рез одну из вершин треугольника, не может пересекать каждую его сторону.

Для второго случая расположения прямой итреугольника имеется и другое решение. Две вер­шины треугольника АиВ(рис. 18) лежат в разных полуплоскостях относительно данной пря­мой, т.е. прямая пересекает одну из сторон тре­угольника, следовательно, по теореме 1.1 она пе­ресекает только одну из двух других сторон.

Первый вариант решения задачи дает возмож­ность в ходе решения повторить обоснование, аналогичное обоснованию теоремы 1.1, т.е. спо­собствует обучению школьников доказательнымрассуждениям. Второй вариант решения позво­ляет непосредственно применить теорему 1.1, т.е. обучает школьников умению выделять си­туацию, позволяющую применить ранее изучен­ные факты.

Рис. 25 Рис. 26

ОтрезокВСпересекает прямую АА₁,от­сюда в силу аксиомы IV точки Ви С лежат в разных полуплоскостях относительно прямойАА₁.ТочкаВ_хразделяет точки Аи С по условию, значит, точка Ане разделяет точки ВиС(рис. 25) в силу аксиомы П. Прямая АСпересе­кается с прямой АА₁в точке А,следовательно, точки В₁иСлежат в одной полуплоскости относительно прямой АА₁.Отсюда следует, что точкиВиВ₁лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АА₁,а это значит, что от­резокВВ₁пересекает прямую АА₁.Аналогичнодоказывается, что отрезок АА₁пересекает пря­муюВВ₁.Следовательно, отрезки АА₁иВВ₁пересекаются .

ТочкаЕпринадлежит прямой АВ,т.е.лежит между точками АиВ(рис. 26). Тогда по аксиомеII точка Вне лежит между точками АиЕ,т.е. не принадлежит отрезку АЕ.ОтрезокАЕлежит на прямой АВ,которая пересекается с пря­мойВDв точке В.В силу задачи 3 две прямые могут пересекаться только в одной точке и точка их пересечения Вне принадлежит отрезку АЕ,следовательно, отрезок АЕ не пересекает прямую BD. Тогда по аксиоме II точки АиЕлежат в одной полуплоскости относительно пря­мойВD.Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что точки СиЕлежат в одной полу­плоскости относительно прямой ВD, а значит, в силу свойства разбиения плоскости отрезок АСне пересекает прямую ВD.

Контрольная работа по теме «Основные свойства

простейших геометрических фигур»

1.

2) Если С, то m пересекает [АС], но не пересекает [ВС]. Следовательно, m пересекает только одну из сторон: [BС] либо [AС], ч. т. д.

Дано: (аb) = 90; (bс) = 65.

Найти: (ас).

Решение. 1) Так как (аb) > (bс), то луч а не лежит между сторонами (bс).

2) Если луч b лежит между сторонами (ас), то (ас) = (аb) + (bс).

То есть, (ас) = 90 + 65 = 155. 3) Если луч c лежит между сторонами (аb), то (аb) = (аc) + (bс). То есть, (ас)= 90 – 65 = 25.

Ответ: 155 или 25.

Рассмотрим свойства биссектрисы треугольника.

Одним из перспективных и актуальных направлений в работе современной школы стала проектная деятельность учащихся под руководством учителя- предметника, а иногда нескольких учителей, работающих с данным классом.

Ученики из различных источников отбирают материал по данной тематике: это и неизвестные им доказательства известных теорем, и новые свойства фигур, обнаруженные ими в процессе поиска этих доказательств, и олимпиадные задачи, и задачи для поступающих в вузы и т.п.

Творческий поиск учащихся окажет неоценимую помощь учащимся при сдаче ЕГЭ.

Здесь мы покажем, что теорему о свойстве биссектрисы треугольника можно доказывать различными способами с опорой на новую теорию в процессе изучения всего курса планиметрии. Это позволит, в свою очередь, расширить знания учащихся, изучив аналогичную теорему о биссектрисе внешнего угла треугольника, найти формулу длины биссектрисы треугольника; выразить отношения отрезков, на которые делятся биссектрисы точкой их пересечения, через стороны треугольника; решить задачи повышенной сложности.

Решение одной и той же задачи различными методами дает возможность полнее исследовать свойства геометрической фигуры и выявить наиболее простое решение. При этом все участники проекта обсуждают и лучше узнают специфику того или иного метода, его преимущества и недостатки перед другими. Решая задачу подходящим методом, иногда удается попутно «открыть» свойство фигуры, о котором в задаче ничего не говорится, или получить интересное обобщение задачи. Нередко найденный способ решения может быть в дальнейшем использован для решения более трудных задач, сходных с решенной

Свойство биссектрисы угла треугольника

=

Биссектриса (BD) любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону (АС) на части (AD и DC), пропорциональные прилежащим сторонам.

Очевидно, если AB=BC, то теорема верна. Поэтому будем считать, что АВ≠ВС.

Известно, что если

АВ=ВС, то

ВD║АС.

Используется обобщенная теорема Фалеса:

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают

на них пропорциональные отрезки:

Продолжим сторону АВ за вершину В и проведем СЕ║BD, тогда треугольник ВСЕ – равнобедренный, в котором ВС=ВЕ. Но по обобщенной теореме Фалеса

= . Следовательно, = .

2.Используется признак подобия треугольников по двум углам:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум

углам другого , то такие треугольники подобны.

Продолжим биссектрису BD до пересечения в точке Е с прямой АЕ║ВС, тогда < AED= < DBC= < DBA, а значит, треугольник АВЕ- равнобедренный и АВ=АЕ. Поскольку вертикальные углы ADE и BDC равны, то треугольники ADE и CDB подобны по двум углам и тогда

= . (2)

= . Но поскольку DN=MD ,то

= . Из подобия треугольников AMD и ABC получим = .

Следовательно, = .

и учитывая сказанное выше, получим = . Следовательно, по свойствам пропорции = .

Подставляя в это равенство условия (1) и (2), получим= . Приняв во внимание подобие треугольников ABC и DNC, получаем

= . Следовательно,= .

Аналогично, < BDN= < NMA = < DBN = = < NAM, откуда треугольник NAM- равнобедренный и AN=NM (2).

Учитывая (1) и (2), делаем вывод, что AB=MD. Приняв во внимание то, что треугольникAMD подобен треугольнику DBC по двум углам, получим

= = .

3.Используется признак подобия прямоугольных треугольников:

Прямоугольные треугольники подобны, если они имеют по равному

острому углу.

Проведем перпендикуляры из вершин А и С на прямуюBD. В прямоугольных треугольниках AND и CMD < ADN= < CDM, как вертикальные. Следовательно, треугольники AND и CMD подобны, тогда сходственные стороны этих треугольников пропорциональны: = . Рассмотрим треугольники ABN и CВM:

<N= < M= 90°;

<ABN= < CBM, так как BD – биссектриса угла В.

Следовательно, треугольники АBN и CBM подобны, тогда

= , значит,

4. Используются формулы площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на

высоту, проведенную к этой стороне.

ТреугольникиABD и DBC имеют общую высоту ВН. Тогда отношение их площадей равно отношению .

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон

треугольника на синус угла между ними.

= AD· BD sin < ADB, = DC· BD· sin < CDB.Так как синусы смежных углов равны, то

= (1).

С другой стороны, AB·BD·sin < ABD и . Так как < ABD = < CBD (BD- биссектриса), то

= (2).

получим = ½ AB·BD· sin (π- φ + φ/2) = ½ AB· BD· sin (π-φ/2) =

= ½ AB· BD· sin (φ/2) и= ½ BC· BD· sin φ/2.

5.Используется теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих

углов.

В треугольнике ABD = и по свойству пропорции = . В треугольнике DBC = ,

тогда = . Но так как BD- биссектриса и углы ADB и BDC смежные, то sin <ABD = sin < DBC и sin < ADB = sin<BDC.

Значит, = .

6.Используется теорема о вписанном угле и признак подобия

треугольников по двум углам:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

ПродолжимBD до пересечения с окружностью, описанной около треугольника АВС в точке К. Так как вписанные в окружность углы АВК и КВС равны, то и хорды АК и КС равны. Рассмотрим треугольники ABD и КСD. Углы ADB и KDC равны, как вертикальные. Углы ABK и ACK равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Тогда треугольникиABD и KCD подобны по двум углам. Значит, их сходственные стороны пропорциональны, = (1).

Аналогично, треугольники ADK и BDC подобны и = (2).

Умножив почленно равенства (1) и (2), получим

· = · .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

1.Формула длины биссектрисы треугольника

(используется теорема косинусов и свойство биссектрисы треугольника)

Применим теорему косинусов к треугольникам с равными углами. Выразив косинусы этих углов и приравняв их, получим уравнение

= , откуда

b() = a() или ) – ab(b-a) =

= (mb)m – (an)n.

2.Формула длины биссектрисы треугольника

(используется пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности)

углам, значит, = , откуда AB · BC = BD·BE, то есть ac = BE · l (2).

Подставляя соотношение (2) в соотношение (1), получим m · n = + ac.

Итак,= m · n – a · c .

3. Формула длины биссектрисы треугольника через длины его сторон

(используются свойства вписанных углов, подобие треугольников, свойство пересекающихся хорд и свойство биссектрисы треугольника)

Опишем около треугольника АВС окружность и продолжим биссектрису BD до пересечения с окружностью в точкеF . Обозначим

BD=l, AB=c, BC=a, AC=b, AD=m, DC=n, DE=x . По условию < АВЕ = <СВЕ, кроме того, < ВЕА = < ВСА (вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ). Тогда треугольники ВЕА и ВСD подобны по двум углам, значит, справедливо равенство

= , откуда = ac – lx. Хорды АС и ВЕ пересекаются в точке D, поэтому lx = mn и

= ac – mn. (*)

4. Признак прямоугольного треугольника:

если высота и медиана, проведенные из одного угла треугольника, делят

его на три равные части, то этот угол равен 90°.

Так как в треугольнике МВС

высота ВН является и биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный и ВН – медиана. Пусть МН = НС = а, тогда АМ = 2а. По свойству биссектрисы ВМ угла В треугольника АВН:

5. Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит

противоположную сторону треугольника

Найдем длину отрезка АК. По свойству биссектрисы ВК получим

= или = , откуда - = или - 1 = , тогда

= + 1, то есть =

6. Нахождение отношения длин отрезков биссектрисы, на которые

она делится точкой их пересечения

7. Нахождение числового значения sin18°

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС, < В = 36° . BF – биссектриса, высота, медиана треугольника АВС. AD – биссектриса угла, равного 72° . Тогда по свойству биссектрисы AD = .

В треугольнике ADC < А = 36°,

< С = 72°, < = 72° , а в треугольнике АВD < A = 36°, < B = 36°. Значит, AC = AD = BD. Поскольку

DC = BC – BD = AB – AC, то

= , тогда = -AC·AB

По доказанному выше, биссектрисы углов треугольника точкой пересечения делятся на отрезки, пропорциональные отношению суммы длин сторон, образующих эти углы, к третьей стороне. Тогда, если х – коэффициент пропорциональности, то АО: ОР =

= (2х + 5х) : 4х = 7 : 4. Аналогично, ВО : ОD = 6 :5 и CO:ON = 9:2.

Из условия и свойства биссектрисы следует, что АС:АВ =

=3:2 = РС:ВР и ВС:АВ = 4:3 = DC:AD

. Пусть ВС = 5х, тогда 5х: АВ = 4:3, откуда АВ = 15х:4. И тогда = 15 : 8. Поэтому

Следовательно,

.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/16771-pervye-uroki-geometrii-v-7-klasse