Статья: «Организация исследовательской деятельности школьников на уроке математике»

Организация исследовательской деятельности школьников на уроке математике

Стифорова А.А.

Информационное развитие общества, научно-технический прогресс требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и грамотно принимать решения.

Одна из важных задач государства перед школой – подготовка школьников к быстро меняющемуся темпу жизни. Очевидно, что школа не в состоянии обеспечить ученика знаниями на всю жизнь, но она может вооружить его методами познания, сформировать навыки критического мышления.

Согласно Концепции модернизации российского образования, необходима ориентация обучения «не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но в первую очередь на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей. Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также самостоятельной деятельности и личной ответственности обучаемых».

Таким образом, главная цель современного образования – формирование всесторонне развитой личности, способной воплотить свой потенциал, как в собственных жизненных интересах, так и в интересах общества. Формирование у обучающихся самостоятельности в принятии решений, способности к творческому мышлению, инициативности возлагается, безусловно, на образование и, главным образом, на среднюю школу.

Важным принципом развивающего образования в школе является демонстрация обучающимся конструктивных путей решения актуальных проблем современности. Одним из способов реализации этого принципа выступает организация исследовательской деятельности школьников в естественнонаучных областях. Это направление следует отнести к современным инновационным образовательным технологиям.

В формировании многих качеств, необходимых успешной современной личности большую роль играет математика. Именно на уроках по этой дисциплине школьники в большей мере учатся рассуждать, находить рациональные пути решения заданий, доказывать, делать выводы. Математика оказывает огромное влияние на развитие интеллекта, формирование характера, становление мировоззрения учащихся. «Математика ум в порядок приводит» – так отмечал М.В. Ломоносов.

Задача учителя – организовать учебный процесс так, чтобы каждое усилие по овладению знаниями проходило в условиях развития познавательных способностей обучающихся, формирования у них основных приемов умственной деятельности. Школьников необходимо обучать работать самостоятельно, высказывать и проверять свои предположения и догадки, делать обобщения изученных фактов, творчески применять ранее изученные знания в новых ситуациях.

Исследовательская деятельность школьников на уроке – один из эффективных способов обучения математике и одна из результативных форм внеклассной работы по предмету. Вовлечение учащихся в данные виды деятельности способствует самосовершенствованию и самореализации личности учащегося.

Исследовательская деятельность учащихся является основой технологии развивающего обучения.

Российский педагог и психолог XX века В.П. Вахтеров сказал: «образован не тот, кто много знает, а тот, кто хочет много знать, и умеет добывать свои знания». Он подчеркивал исключительную важность мыслительных умений школьников – умения сравнивать, анализировать, обобщать и делать выводы, умения пользоваться приемами научного исследования, хотя бы в самой простой форме.

По мнению Р.Г. Ивановой и А.Г. Иодко,исследовательская деятельность учащихся – это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных учащимся фактов, теоретических знаний и способов деятельности.

В качестве основного средства организации исследовательской деятельности выступает система исследовательских заданий. Предъявляемые учащимся такие задания содержат проблему, решение которой требует проведения теоретического анализа, применения одного или нескольких методов научного исследования, с помощью которых школьники открывают ранее неизвестное для них знание.

Цель исследования – «вызвать» в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения. Школьник должен почувствовать прелесть открытия, научиться усвоению новых знаний. Эти знания должны быть лично значимыми для него.

Таким образом, исследовательский процесс – это не только логико-мыслительное, но и чувственно-эмоциональное освоение знаний.

Выделим основные задачи организации исследовательской деятельности со школьниками по математике:

создание устойчивой мотивации к обучению;

развитие у обучающихся механизма самообразования;

развитие самоорганизации;

раскрытие значимости творчества в математике;

привитие навыка работы с дополнительной математической литературой;

самоутверждение в ученическом коллективе.

Актуальность и востребованность научно-исследовательской работы в школе подтверждается не только решением выше перечисленных задач, но и набирающим силу в последнее время олимпиадным движением разного уровня, активным участием школьников в научно-практических конференциях.

Цели исследовательской деятельности школьников:

Развивающая – развитие памяти, внимания, мышления, развитие личности;

Дидактическая – закрепление основных навыков, умений и понятий в ходе выполнения исследования;

Познавательная – успешное усвоение знаний в ходе самостоятельного их добывания;

Воспитательная – мотивация, самоопределение и самореализация учащегося.

Основными критериями отбора форм и методов организации исследовательской деятельности школьников являются личностно-ориентированная направленность, продуктивный характер деятельности, возможность проявления и реализации различных способностей обучающихся, демократический стиль взаимодействия учитель-ученик.

Организовать исследовательскую деятельность можно:

включением элементов исследования в урок;

проведением групповых и индивидуальных занятий по выбору;

проведением практических занятий (экскурсий, лабораторных практикумов);

участием в исследовательских (творческих) экспедициях;

участием в научно-практических конференциях (конкурсах, фестивалях).

Исследовательская деятельность может быть реализована в учебно-исследовательской и исследовательской форме. В первом случае деятельность находится под постоянным контролем учителя, используется упрощённая методика проведения работ и обработки полученных данных, ответ заранее знаком учителю; во втором – учащийся самостоятельно выбирает методики, обрабатывает собственный материал, учитель при этом выполняет функцию консультанта.

В основной школе на первый план у подростка выступают цели освоения ком­муникативными навыками. Поэтому исследовательскую деятель­ность целесообразно организовывать в группах, но не стоит ли­шать ученика и возможности выбора индивидуальной формы. Темы работ, волнующие подростков и близкие их пониманию, можно выбирать из любой области (предметной, межпредметной, внепредметной).

В старшей школе мотивированным учащимся необходимо достичь формирования надлежащего уровня компетентности в исследовательской деятельности, а именно – самостоятельного практического владения технологией исследования. Формы работы – индивидуальные или групповые.

Существуют различные виды исследовательской деятельности. На уроке это может быть: учебный эксперимент; практические работы поискового характера; использование интерактивных методов; применение исследовательского метода обучения; включение интегрированных связей; использование результатов домашних заданий исследовательского характера; краткосрочный индивидуальный исследовательский проект; решение задач исследовательского характера.

Во внеурочное время исследовательская деятельность может быть успешно организована на занятиях факультатива или кружка по математике; элективных курсах; олимпиадах (в том числе дистанционных); конкурсах; в школах юных исследователей; на научно-практических конференциях; в образовательных экспедициях (поездки, экскурсии, походы); в заочных математических школах; в летних математических лагерях.

Участие в интеллектуальных соревнованиях способствует становлению готовности к исследовательской деятельности. Происходит самореализация учащегося, формирование навыков планирования и самоконтроля, развивается критичность.

Выявление и развитие исследовательских способностей школьников

Приступая к организации исследовательской деятельности школьников, следует учитывать, что каждый ребёнок имеет свой набор врождённых задатков, которые при благоприятных условиях развиваются в способности.

В ходе развития исследовательских способностей школьников следует обучать специальным знаниям, умениям и навыкам исследовательского поиска. К ним относятся знания, умения и навыки:

видеть проблемы;

задавать вопросы;

проводить эксперименты;

делать умозаключения и выводы;

выдвигать гипотезы;

давать определение понятиям;

классифицировать;

наблюдать;

готовить собственные мини-доклады;

объяснять, доказывать и защищать свои идеи.

Также необходимо учитывать возрастные особенности учащихся. Каждой возрастной группе учащихся соответствуют свои цели исследовательской работы.

Цели исследовательской работы учащихся 5-7 классов: совершенствовать умения и навыки элементарного анализа, учить проникать в сущность явлений при анализе различий в учебной информации, целенаправленно формировать умения и навыки работы с различными источниками информации.

Цели исследовательской работы учащихся 8-9 классов: целенаправленное формирование всех компонентов исследовательской культуры школьников, в том числе формирование специальных исследовательских умений и навыков.

Цели исследовательской работы учащихся 10-11 классов: развивать у учащихся мотивацию к достижению высоких познавательных результатов через исследовательскую деятельность, формировать способность к осознанию значимости собственного образовательного результата, необходимости применять приобретенные знания и умения на практике, содействовать индивидуальному образовательному росту школьников, раскрытию потенциальных возможностей для успешной социализации и профессионального самоопределения в будущем.

Исследовательская деятельность старшеклассников может быть организована учителем совместно с преподавателями высших учебных заведений и научными работниками исследовательских институтов. Преимущества такого сотрудничества заключаются в возможности ознакомления учащихся с современными методами научного исследования, с первоначальным освоением современного исследовательского оборудования, с познания сущности и особенностей работы современного ученого.

Заметим, что задача профессионального исследователя заключается в самостоятельном определении темы исследования, выборе методов проведения научного эксперимента, прогнозировании его результатов и способов их оформления. В соответствии со сказанным актуальным в работе исследователя является ознакомление учащихся с современными научными проблемами в той или иной области, а задача учителя – в соотнесении темы исследования со школьными курсами дисциплин естественнонаучного цикла, в адаптации представленных научных знаний в соответствии с возможностями восприятия школьниками.

Очевидно, для успешного проведения исследования необходимо творческое сотрудничество обоих руководителей, их взаимное понимание и разумное распределение функций.

Способности – это индивидуальные особенности личности, проявляющиеся и развивающиеся в деятельности положительной, успешной, вызывающей благоприятный эмоциональный настрой.

Исследовательские способности – индивидуальные особенности личности, являющиеся субъективными условиями успешного осуществления исследовательской деятельности (А.И.Савенков).

Изучение исследовательских способностей детей может успешно осуществляться в ходе наблюдений. Наблюдая за поведением детей в ситуациях, требующих исследовательского поведения, необходимо обращать внимание на степень развития у них специальных знаний, умений и навыков исследовательского поиска (перечислены выше).

Безусловно, необходимо также выявить проблемы, мешающие учащимся заниматься исследовательской деятельностью (например, при помощи специальных тестов) и помочь учащимся преодолеть их.

Математический эксперимент как первый шаг в исследовательской работе

Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, учащиеся кратко повторяют путь, который проделало общество в поисках необходимых математических знаний.

Исследовательская деятельность – самостоятельная деятельность учащихся, но учитель может помочь школьникам сформулировать цель проводимого эксперимента, спрогнозировать результат, увидеть проблему на пути достижения цели, т.е. управлять процессом возникновения и преодоления затруднений, а также предвидеть их появление.

Как метод эмпирического исследования в физических, естественных и гуманитарных науках, эксперимент начал активно применяться лишь в XX веке. В настоящее время эксперимент – один из основных методов не только научного познания вообще, но и математического исследования, в частности.

Ведущая роль математики в познании состоит в том, что она учит детей логике. Наряду с логикой рассуждения есть еще логика открытия, эвристика, которая не имеет доказательной силы, но двигает творчество. Нельзя пропускать в обучении фазу поиска. «Математика – экспериментальная наука», – утверждает современный математик Владимир Арнольд. Важно, чтобы учащиеся получили знания самостоятельно с помощью эксперимента. При этом работа должна строиться следующим образом: выполняется построение, изучается результат, выдвигается гипотеза, осуществляется проверка гипотезы для других случаев.

Далеко не все ученики имеют способности и интерес к строгим теоретическим выкладкам, но практически все могут наблюдать, подмечать закономерности, проверять их. Занимаясь математическим экспериментом, каждый ученик оказывается активным участником исследования.

Выделим три вида математических экспериментов, в зависимости от конечной цели их использования:

эксперименты, направленные на открытие новых фактов и выдвижение гипотез (например, установить в каком соотношении находятся среднее арифметическое и среднее геометрическое двух, трех, …, n чисел);

эксперименты, доказывающие некоторые теоремы или подтверждающие гипотезы (например, установить верность гипотезы Гольдбаха для чисел из диапазона [10000; 100000]);

эксперименты, предназначенные для решения задач (например, из урны, содержащей 5 белых и 8 черных шаров, вытаскиваются два шара; установить, чему равна вероятность, что оба шара белого цвета).

В любом естественнонаучном эксперименте можно выделить три основных этапа:

подготовительный этап (постановка задачи, планирование эксперимента);

получение экспериментальных данных;

обработка результатов эксперимента и их анализ.

Подготовительный этап включает теоретическую проработку проведения эксперимента, его планирование, подготовку исследуемого объекта, конструирование и создание технической базы, включающей приборное обеспечение. На хорошо подготовленной экспериментальной базе полученные данные, как правило, легче поддаются сложной математической обработке.

Анализ результатов эксперимента позволяет оценить тот или иной параметр исследуемого объекта и сопоставить его либо с соответствующим теоретическим значением, либо с экспериментальным значением, полученным другими техническими средствами, что очень важно при определении правильности и степени достоверности полученных результатов.

Рассмотрим пример математического эксперимента в рамках изучения темы «Правильные многогранники: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр», 10 класс.

Задание: подсчитайте количество вершин, ребер, граней многогранников и заполните таблицу 1. Внимательно посмотрите на полученные числа для каждого многогранника, попробуйте произвести над ними арифметические операции. Какой можно сделать вывод?

Таблица 1. Подсчет числа ребер, граней и вершин многогранника

Этапы эксперимента:

подготовительный этап (учащимся поставлена задача);

получение экспериментальных данных (проводится подсчет количества вершин, ребер, граней многогранников; данные заносятся в таблицу);

обработка результатов эксперимента и их анализ.

Рассматривая многогранники, учащиеся самостоятельно приходят к открытию соотношения между числом вершин, граней и ребер для любого выпуклого многогранника, выражаемое формулой Эйлера (В + Г – Р = 2).

Примечание.Не следует предлагать учащимся вычислять значения готового выражения В + Г – Р. Лучше, если они сами, выполняя действия над числовыми характеристиками, получат требуемое равенство. Только в случае значительных затруднений можно оказать учащимся помощь.

 Далеко не все ученики имеют способности к строгим теоретическим выкладкам, но практически все могут наблюдать, подмечать закономерности, проверять их. Занимаясь математическим экспериментом, каждый ученик оказывается активным участником исследования. 

Исследовательская задача по математике в курсе средней школы

Под исследовательской задачей понимаются конкретные аспекты поставленной научной проблемы, выяснение которых направлено на ее решение.

Сравним структуры типовой и исследовательской задач, выполняемых на уроке (таблица 2).

Таблица 2. Сравнительный анализ типовой и исследовательской задачи.

Задания исследовательского характера существенно отличаются от традиционных заданий уже своей формулировкой. Так, большая часть заданий в школьных учебниках звучит так: «Решить уравнение», «Доказать, что выражение … больше выражения …», «Упростите…» и т.п.

В формулировках исследовательских заданий нет явного ответа, его необходимо самим найти и обосновать. Формулировки заданий могут быть такими:

«Исследовать …».

«Верно ли, что если …, то …».

«Определить, какое из выражений больше или».

«Найти необходимое и достаточное условие, при котором обе последовательности стремятся к нулю».

«Существуют ли такие значения b, при которых квадратный трехчленимеет два корня, один из которых является положитель­ным числом, а другой отрицательным?».

«Существуют ли такие значения с, что множеством решений неравенства … является: а) числовой промежуток …; б) множество всех чисел».

«Верно ли, что функция … при любом а убывает в промежутке … и возрастает в промежутке …?».

Для активизации мыслительной деятельности, для самостоятельного поиска ответа помогают конструкции-подсказки, например:почему…; какова причина…; в чем суть явления…; что изменилось бы, если…; чем отличается… и т.д.

Решение таких задач исследовательского характера имеет для учащихся большое развивающее и воспитательное значение. Навыки самостоятельной и исследовательской работы способствуют развитию мышления, его определенного стиля, математической культуры.

Ученые выяснили, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13% всего времени урока. Причем большинство самостоятельных работ на уроках математики приходится на закрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся. Таким образом, преобладает репродуктивный вид деятельности школьников.

В ходе поиска решения нестереотипных задач, в отличие от задач, выполненных по образцу, развиваются сообразительность, изобретательность, смекалка и другие, полезные в жизни каждого человека качества.

Такие задачи предполагают решение проблемы, ответ на которую не является очевидным и не может быть получен путем прямого применения известных схем. Решение проблемы является сложным процессом мыслительной деятельности человека, направленной на преобразование предмета, описанного в содержании задачи, разрешение противоречия между условием и требованием задачи, получение познавательного результата.

Чрезвычайно эффективными для обобщения способа решения задач являются упражнения по их составлению.

Некоторые виды упражнений по составлению задач:

Составление задач по данному решению.

Тема «Числовые и буквенные выражения», 5 класс.

Задание:составьте задачу по данному решению и ответу.

Решение и вычисление ответа:

1) 200 + 300 = 500 (кг)

2) 500 – 100 = 400 (кг)

Ответ: 400 кг картофеля было продано в третий день.

Запиши решение этой задачи по действиям.

Примечание. Примером выполнения задания может служить следующая задача:

В первый день было продано 200 кг картофеля, а во второй 300 кг. Сколько картофеля было продано в третий день, если сказано, что в третий день было продано на 100 кг меньше, чем за первый и за второй день вместе?

Решение может быть записано в любой форме: отдельными действиями, выражениями или уравнениями, как с записью пояснения, так и без них.

Предлагая составить задачу, надо сначала проанализировать данное решение задачи. В отдельных случаях целесообразно подсказать детям сюжет или же назвать величины.

Составление аналогичных задач из условия задачи по данному вопросу (выражению, уравнению и т.д.).

Аналогичными называются задачи, имеющие одинаковую математическую структуру.

Тема: «Решение задач на движение (подготовка к ОГЭ)», 9 класс

Задание: составь задачу по уравнению

Примечание.Примером выполнения этого задания может служить следующая задача:

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, прибывшего к финишу вторым.

Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины.

Составление обратных задач.

Тема: «Решение задач на проценты (подготовка к ЕГЭ)», 11 класс

Задача: решите задачу, затем составьте и решите обратную ей.

Вкладчик поместил сумму размером 2400 рублей в банк. Определите, какую сумму получит вкладчик через 3 года, если процентная ставка составляет 19 % в год.

Упражнения в составлении и решении обратных задач помогают усвоению связей между данными и искомым.

Составление задач по их иллюстрациям.

Тема «Задачи на движение», 5 класс.

Задание: составьте задачу по рисунку 1 и решите ее.

а)

б) в)

Рисунок. 1. Иллюстрации для составления задач на движение в противоположенных направлениях.

Примечание. а) Задача на отыскание первоначального расстояния между двумя объектами (зная скорость их движения и время встречи); б) на нахождение времени встречи (зная скорости двух автомобилей и первоначальное расстояние между ними); в) задача на нахождение скорости одного из объектов (зная время встречи, первоначальное расстояние и скорость другого объекта).

Аналогично, можно подобрать задачи на движение в одном направлении. Подобные задания помогают детям увидеть задачу в данной конкретной ситуации.

Этапы организации исследовательской деятельности со школьниками на уроке математике

Исследовательская работа — довольно сложный вид деятельности, как для школьников, так и для тех, кто руководит ими. Учителя занимаются такой работой с учащимися. в основном, во внеурочное время: на факультативах, элективных курсах, в кружках. В рамках же урока задачу формирования навыков самостоятельного исследования решить очень сложно. Приобщение учащихся к исследовательской деятельности требует от учителя правильного выбора и применения приемов учебной деятельности.

Группа исследователей под руководством известного американского дидакта X. Табы создала модель организации исследовательской работы учащихся. В их понимании обучение несет в себе содержательный и развивающий компоненты. Х. Таба выделила три последовательных типа учебно-познавательных заданий.

Категоризация, формализация категорий.

Интерпретация данных.

Применение правил и принципов.

Исходя из этого, можно выделить три основных этапа организации исследовательской работы с учащимися.

Мотивация к исследовательской деятельности.

Формулировка гипотезы (проблемы). Эвристическая проверка гипотезы (поиск путей решения проблемы).

Анализ полученных результатов, выводы.

Данная модель предлагает уравновешенный подход к учебно-воспитательному процессу, стремясь к балансу между элементами содержания образования, между целенаправленным обучением и развитием учащихся, между деятельностью учителя и детей.

Школьный курс математики дает большие возможности для организации исследовательской деятельности учащихся на уроках.

На примере уроков геометрии 8 класса по теме «Параллелограмм» продемонстрируем, как можно организовать исследовательскую работу на каждом его этапе.

Ι этап. Мотивация к исследовательской деятельности

Для того чтобы вовлечь учащихся в исследовательскую работу, можно предложить перечислить объекты (фигуры, их признаки, свойства) и объединить их в группы. С этой целью необходимо сформулировать соответствующие вопросы. Так, вопрос «Что вы увидели? Заметили?» побуждает детей к перечислению данных объектов, вопрос «Какие предметы (фигуры и т.д.) связаны друг с другом?» побуждает детей к объединению данных объектов в группы.

Заметим, что эти вопросы носят открытый характер, то есть не предполагают какого-либо единственного «правильного» ответа. Дети не стремятся «угадать, что у учителя на уме», они ведут активный интеллектуальный поиск.

Задание 1. У каждого ученика по два равных прямоугольных треугольника. Ребятам в группах по 4 человека необходимо из двух прямоугольных треугольников составить 4 четырехугольника. Найти различные способы решения данного задания.

Способы решения задания представлены на рисунке 2.

Рисунок 2. Варианты составления четырехугольника.

— Как вы думаете, какая фигура здесь лишняя? Почему вы так считаете?

Здесь мнения учащихся расходятся. Кто-то выделяет фигуру 1, другие фигуру 4.

Выясняем, что представляет собой каждая из фигур. Чем отличается фигура 1, а чем – фигура 4?

Оказывается, что первые три фигуры ребятам знакомы, а вот последнюю фигуру они не знают. При обращении к учебнику данную фигуру не находим.

Таким образом, вводится новая фигура — дельтоид, которая не изучается в школьном курсе. Учащиеся параллельно с остальными четырехугольниками исследуют и данную фигуру.

Задание 2. На рисунке 3 даны четырехугольники. Исключите «лишний», объясните, почему вы выбрали его.

Рисунок 3. Четырехугольники.

— Данный четырехугольник называется трапецией. Откуда такое название? Что общего у оставшихся фигур? Как бы вы их назвали?

Задание 3. Объедините параллелограммы в 2 группы. По какому признаку вы это сделали? (См. рисунок 4)

Рисунок 4. Объединение параллелограммов в группы.

ΙΙ этап. Формулировка гипотезы. Эвристическая проверка гипотезы

После того, как класс исследуемых объектов определен, ставится задача найти, «открыть» другие общие свойства рассматриваемых объектов. При рассмотрении свойств изучаемых объектов ученики ставятся в позицию «открывателей свойств», побуждаются высказывать предположения о наличии тех или иных свойств.

Обычно этап открывается вводным вопросом учителя, направленным на припоминание уже известных данных. Например, «Что вы узнали о параллелограмме, трапеции или дельтоиде?». Все сведения сводятся воедино; все, что может быть представлено в наглядном виде (рисунки, таблицы), выставляется на всеобщее обозрение. Учитель побуждает детей к высказываниям, но ни в коем случае не торопит их — все высказывания детей принимаются в том виде, как они высказаны, и учитель не спешит сразу же перевести их в ту форму, которая кажется ему более приемлемой. Затем следуют интерпретирующие вопросы: «Что будет, если…», «Что произошло, когда…», «Может ли быть…».

— Что будет, если в параллелограмме провести биссектрису угла, две биссектрисы из двух односторонних углов, две биссектрисы из противоположных углов…Рисунок 5.

Рисунок 5. Биссектрисы углов в параллелограмме.

Вот одна из гипотез, которую могут сформулировать учащиеся «Если провести биссектрисы углов параллелограмма, то они, попарно пересекаясь, образуют параллелограмм».

Выдвинув данную гипотезу, выполняется рисунок 6.

Рисунок 6. Биссектрисы угла в параллелограмме.

«Получается не просто параллелограмм, а прямоугольник!» Далее ребята начинают искать доказательства. При этом они используют предыдущие исследования (в частности, биссектрисы, проведенные из односторонних углов, взаимно перпендикулярны, а биссектрисы, проведенные из противоположных углов, параллельны).

— А что будет, если в параллелограмме соединим последовательно середины сторон? Рисунок 7.

Рисунок 7. Биссектрисы угла в параллелограмме.

Получаем еще одну фигуру для исследования, которая не изучается в школьном курсе геометрии: параллелограмм Вариньона.

ΙΙΙ этап. Анализ полученных результатов, выводы.

Данный этап основан на побуждении детей к объяснению новых явлений.

Вводный побуждающий вопрос учителя может носить отвлеченный абстрактно-теоретический характер: «Что изменится, если…», «Что произошло бы, если…».

Например, при работе по определению признаков фигуры можно задать такой вопрос: «Что произойдет, если условие и утверждение поменять местами?». Так, ученики формулируют утверждение, обратное свойству. На заключительной фазе стратегии учащиеся проверяют выдвинутые ими предположения, гипотезы, выводы, либо указывают условия, при которых можно произвести проверку.

При такой работе ученики могут сформулировать признаки, которые в школьных учебниках не формулируются и не доказываются.

Например, по свойствам у параллелограмма «появляются» свои новые признаки: «Если противоположные углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является параллелограммом». Рисунок 8.

Рисунок 8. Биссектрисы угла в параллелограмме.

Аналогичную работу можно организовать и по другим темам геометрии и алгебры.

Тема «Свойства квадратного корня», 7 класс.

Урок можно провести в форме эвристической беседы с помощью системы вопросов-ответов. На уроке учащиеся сами «открывают»свойства квадратного корня.

Ι этап. Мотивация к исследовательской деятельности.

Сначала задаются вопросы, нацеливающие учащихся на наблюдение за математическими объектами, на абстрагирование от несущественных свойств этих объектов.

Выполните действия и сравните полученные результаты:

ΙΙ этап. Формулировка гипотезы. Эвристическая проверка гипотезы.

Запишите в буквенной форме полученное вами свойство.

Каковы допустимые значения входящих в записываемое равенство переменных?

Выполняется ли записанное вами равенство, если входящие в него множители не являются точными квадратами?

Докажите ваше предположение, используя определение арифметического квадратного корня.

Теперь наблюдения учащихся должны оформиться в виде доказательств. К ним школьников подталкивают следующие вопросы:

чему равно выражение ?

чему равно выражение ?

Как бы вы назвали доказанное свойство? Сформулируйте его в словесной форме.

ΙΙΙ этап. Анализ полученных результатов, выводы.

Выполняется ли такое свойство для корня из произведения трех множителей?

Можно ли обобщить это свойство на случай произвольного числа сомножителей?

Имеет ли смысл выражение ?

Можно ли применить к нему свойство корня из произведения?

Как записать в буквенной форме равенство, позволяющее это сделать?

Работа класса продолжается над исследованием свойств корня из дроби. Причем она проходит по вопросам, аналогичным тем, что приведены в п. 1-5. После того как сформулировано свойство арифметического корня из дроби, учащиеся демонстрируют на примерах применение этого свойства.

Следующий этап урока нужно посвятить предупреждению ошибок, которые учащиеся часто допускают в этой теме.

Существует ли аналогичное свойство корня из суммы, корня из разности?

На описанном уроке происходит формирование таких исследовательских умений, как умение выдвигать гипотезу на основе анализа данных и по аналогии с известным решением. Учащиеся проводят доказательство утверждения с опорой на определение и посредством записи закономерности в буквенной форме.

Приведем примеры заданий, которые можно предложить учащимся в рамках такой работы.

Тема «Медиана, биссектриса, высота треугольника», 7 класс.

Класс разбивается на группы по 4-5 человек, и каждая группа получает три чертежа, на первом построены все медианы треугольника, на втором – биссектрисы треугольника, на третьем чертеже – высоты треугольника. Чертежи подписаны: «медианы», «биссектрисы», «высоты». Учащимся предлагается изучить чертежи и сформулировать определение биссектрисы, медианы и высоты. Выполнив необходимые измерения, учащиеся должны сформулировать сами. Далее каждая команда представляет свои определения перед классом, и в заключение можно предложить сравнить ученикам сформулированные ими определения с теми, что даны в учебном пособии.

Тема «Неравенство треугольников», 7 класс.

Учащимся предлагается построить три треугольника – первый со сторонами 3 см, 4 см и 5 см, второй со сторонами 8 см, 3 см и 7 см, третий – со сторонами 9 см, 5 см и 7 см. В течение нескольких минут ребята выполняют построение, а затем переходят к обсуждению результатов построения. Оказывается, что в третьем случае построить треугольник не удалось. Учащиеся выдвигают предположения, почему этого не случилось, и приходят к выводу о том, что все зависит от длин отрезков. Далее выдвигается гипотеза: «каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон», проверяется на других примерах и сравнивается результат с теоремой в учебнике, разбирается доказательство.

Тема «Теорема Виета», 8 класс.

Учащимся предлагается решить квадратные уравнения, заполнить таблицу 3, проанализировать столбцы таблицы, выдвинуть гипотезу.

Учащиеся должны прийти к выводу о том, что сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту.

Таблица 3. Решение квадратных уравнений.

Тема: «Теорема Пифагора», 8 класс.

Каждая группа учащихся строит в тетради три прямоугольных треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см; 6 см, 8 см и 10 см; 5 см, 12 см и 13 см. Далее на сторонах треугольника достраивают квадраты и находят их площадь. Сравнивают площадь квадрата, построенного на гипотенузе, с площадями квадратов, построенных на его катетах. Учащиеся должны прийти к выводу о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Сравнивают свой вывод с теоремой Пифагора, предложенной в учебнике.

Тема «Взаимное расположение графиков линейных функций», 7 класс.

Задание. Класс разбивается на 3 группы. Каждой группе необходимо построить данные графики в одной системе координат.

1 группа:

2 группа: 3 группа:

В ходе выполнения работы учащимся необходимо сделать вывод о том, как влияет коэффициент k (или b) на взаимное расположение графиков. После выполнения работы каждая команда презентует свои выводы классу. Учащиеся после обсуждения полученных результатов должны прийти к выводу о том, что в случае равных коэффициентов k графики параллельны, в случае различных k графики пересекаются, с равными коэффициентами b и различными k прямые пересекаются в точке с координатой (0; b).

Существует огромное количество онлайн-сервисов, с помощью которых можно осуществить эту работу интереснее и нагляднее.

Например, в сервисе Desmos можно одним движением мыши изменять значения коэффициентов k и b, график функции будет соответственно изменять свое положение на координатной оси.

2.5. Применение сервисов Web 2.0 в организации исследовательской деятельности школьников на уроке математике

Роль информационных технологий в XXI веке, бесспорно, велика. Компьютер, Интернет всё больше становятся частью жизни современного школьника.

Чтобы сохранить интерес к математике и сделать уроки максимально привлекательными для школьников, учителя активно используют информационные технологии. Реализовать познавательный интерес учащихся на уроке математики позволяют сервисы Web 2.0. Наиболее популярные из них – Desmos,GeoGebra, Google-рисунки,Google-таблицы, Google-презентации,

При организации исследовательской деятельности на уроке математике сервисыWeb2.0 выступают, в первую очередь, источником информации при знакомстве с новым фактом, понятием. Они дают возможность работать учителю с учащимися совместно, одновременно, в удаленном доступе; дают инструментарий без соответствующего программного обеспечения (учителю не нужно устанавливать специальные платные программы, он может найти аналогичное программное обеспечение в сети Интернет).

Особое внимание следует уделить компьютерному моделированию. Оно обеспечивает представление результатов исследования учащихся как на уроке в процессе выполнения задания, так и при публичном выступлении.

Рассмотрим примеры исследовательских заданий, которые можно реализовать при помощи сервиса Desmos (www.desmos.com).Сервис позволяет строить графики сложнейших математических функций, решать системы уравнений, решать неравенства, преобразовывать функции и так далее.Desmos позволяет наглядно изучать тему «Графики функций».

Тема: «Прямая пропорциональность», 7 класс.

Задание. Придумайте шесть функций прямой пропорциональности, три из которых имеют положительные коэффициенты, а другие три – отрицательные. Постройте графики этих функций в Desmos. Заполните таблицу 4. Сделайте вывод.

Таблица 4. Прямая пропорциональность.

Учащиеся выясняют, как значение коэффициента пропорциональности влияет на расположение графиков функций.

В рамках изучения тем «График функции» можно предложить учащимся рисовать функциями изображение. Функции могут быть одного вида, например, линейная, прямая и обратная пропорциональность и т.д. в рамках изучения одной темы. Пример изображения с использованием линейной функции на рисунке 9.

Рисунок 9. Рисование линейной функцией.

На уроках обобщения и систематизации знаний, повторения можно предложить учащимся нарисовать изображение графиками различных функций. Примеры выполнения такого задания на рисунке 10.

Рисунок 10. Рисование различными функциями.

Более кропотливая работа – написать картину графиками функций. Учащиеся имеют возможность в сервисе «подложить» готовую картину и обвести ее подходящими графиками. На рисунке 10 представлены примеры работ – рядом с каждой «копией» иллюстрация картины. Это задание можно предлагать учащимся в качестве самостоятельной домашней работы с последующим обсуждением работ в классе, организовать конкурс работ.

Рисунок 10. Рисование картин графиками функций.

Задания такого типа позволяют учащимся закрепить знания по темам «Графики функции», «Неравенства» (для ограничения графика), раскрыть творческие способности учащихся, их потенциал.

Большую значимость в организации исследовательской деятельности имеют не сами сервисы, а их возможности. Их нужно увидеть, понять и принять, тогда уравнения, неравенства, геометрические фигуры оживут. Математика станет намного интересней и увлекательней своей красотой, изяществом, формулами, параметрами.

Можно изменить стратегию преподавания математики. Не объяснять, а погружать ученика в ситуации неопределенности. «Ребенок, действующий по инструкции, не сможет в будущем создать что-то новое». Необходимо сделать вызов, предложить задачу открытого типа, пусть ученик сам поймет закономерность, «оживит функцию», удивиться законам арт-математики, почувствует гармонию мира

С. Л. Рубинштейн сказал: «мышление начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия и побуждает к деятельному исследованию» Каждому ребенку от природы дарована склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно организованный урок должен совершенствовать эту склонность, развивать соответствующие умения и навыки.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Башмаков М.И. Уровень и профиль школьного математического образования. // Математика в школе. 1993. № 2, с. 8-9.

Белова Г. В. Формирование навыков исследовательской деятельности на уроках математики. //Электрон. дан.- Режим доступа:http://www.jlproj.org/this_bibl/res_act_Belova.pdf

Вершинина Е.В. Исследовательская деятельность учащихся на уроках математики как средство повышения качества образования. // Электрон. дан. - Режим доступа:https://www.hse.ru/data/2013/04/24/1296427874/10.doc

Дереклеева Н.И. Научно-исследовательская работа в школе – М.: «Вербум-М», 2001.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968.

Окунев А.А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей учащихся: Кн. Для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1988.

Поддьков А.Н. Исследовательское поведение: стратегии, познания, помощь, противодействие, конфликт: - М.: «Эребус», 2006.

Сиденко А.С. Проекты и исследования в развивающейся школе – М.: «Академия», 2007.

Совертков П.И. Проектирование поисково-исследовательской деятельности учащихся и студентов по математике и информатике: Сургут: РИО СурГПИ, 2004.

Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. – М.: Прометей, 1997.

Щербаков С.Г. Организация проектной деятельности в школе: система работы: Волгоград: «Учитель», 2009.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/209646-statja-organizacija-issledovatelskoj-dejateln