Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №3 им. П.А.Столыпина г. Ртищево Саратовской области»

«Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Ракурс: математический объект

Выполнил:

Быков Максим, ученик 9А класса

МОУ «Лицей № 3 им. П.А.Столыпина

г. Ртищево Саратовской области»

Руководитель:

Мрыхина Маргарита Владимировна, учитель математики 1 категории

2017 год

Оглавление

1.Введение

2.Основная часть

2.1 Симметрические многочлены

2.2 Применение симметрических многочленов в решении задач

2.3 Симметрические уравнения и способы их решения

2.4 Симметрические системы уравнений

3. Заключение

Введение

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.

Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей и еще под словом «симметрия» понимается неизменность при какой либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений. Математики издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:"Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Понятие симметрии в школьном курсе математики изучается на уроках геометрии. Мне стало интересно: а есть ли симметрия в алгебре? Захотелось узнать и понять, как это математическая формула или уравнение является симметричными?

При подготовке к ОГЭ по математике при решении заданий второй части мы встречаемся с решением симметрических уравнений и систем уравнений и

чтобы поглубже разобраться в этом материале я и выбрал тему своей исследовательской работы «Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Проблема: выяснить, как проявляется симметрия в алгебраических выражениях, уравнениях и системах уравнений

Цели :

―Рассмотреть, какие выражения, уравнения и системы уравнений являются симметричными и каковы их способы решения.

―потренироваться в решении симметрических уравнений и систем уравнений

Актуальность моего исследования состоит в том, что те знания, которые я получил, я могу применять для решения более сложных задач в математике при подготовке к ОГЭ

Задачи:

―изучить необходимую литературу по выбранной теме

―ввести понятие симметрических многочленов, уравнений и систем уравнений

―рассмотреть решение практических заданий с симметрическими многочленами, рассмотреть решение симметрических уравнений и систем уравнений

― подготовить презентацию и поделиться ею с одноклассниками

Основная часть.

2.1. Симметрические многочлены

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x. Многочлен х²у+ху²— симметрический. А многочлен x³ + 3y² не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y³ + 3x², который не совпадает с первоначальным. Приведу важнейшие примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е. x + y = y + x для любых чисел x и y. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим. Точно так же из переместительного закона умножения xy = yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом. Симметрические многочлены

x + y и xy являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y.

Симметрическими являются следующие алгебраические выражения:

(а+b)¹= a+b

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+d)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴, такназываемыебиномы.

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметриейотносительно вертикальной оси, проходящей через его вершину

2.2. Применение симметрических многочленов в решении задач

Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1:

Квадратное уравнение х²+рх+q=0 имеет корни х₁ и х₂. Не решая этого уравнения, выразить через р и q сумму х₁²+х₂².

Выражение х₁²+х₂² ― симметрическое относительно х₁ и х_2.

(х₁+х₂)²= х₁²+ 2х₁х₂+ х₂²

х₁²+х₂²= (х₁+х₂)²―2х₁х₂

По теореме Виета х₁+х₂=―р, х₁х₂=q, тогда получим х₁²+х₂²=р²―2q

Пример 2:

Дано квадратное уравнение x² + 6x − 10 = 0; составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней данного уравнения.

Для решения этой задачи обозначим корни данного уравнения через x₁ и x₂, корни искомого — через y₁ и y₂, а коэффициенты искомого уравнения — через p и q. По теореме Виета x₁ + x₂ =− 6, х₁х₂= −10 и, также,

y₁+ y₂ = −p, у₁у₂= q.

По условию задачи, имеем y₁= x₁², y₂= x₂², и потому

−p = y₁+y₂ = x₁² + x₂² = (х₁+х₂)²−2х₁х₂=(−6)²−2∙(−10 ) = 56, р=−56

q = у₁∙у₂=x₁²_∙x₂² =(− 10)² = 100.

Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид:

у²− 56y + 100 = 0.

2.3 Симметрические уравнения и способы их решения

В алгебре есть множество различных симметрических уравнений, степень которых 3 и выше. Я остановлюсь на некоторых из них.

1) Уравнение вида (х+а)(х+b)(х+с)(х+d)=А, где а+d=с+b называется симметрическим, например (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40. Решение такого уравнения заключается в следующем: надо перемножить скобки, для которых выполняется условие а+d=c+b, т.е. (х+1) умножим на (х+5), а (х+2) умножим на (х+4), тогда уравнение примет вид:

(х²+6х+5)(х²+6х+8)=40

Пусть у=х²+6х, тогда получим (у+5)(у+8)=40, у²+9у+40−40=0,

у²+9у=0

у(у+9)=0, откуда у=0 и у=−9

Произведя обратную замену, получим два уравнения

х²+6х=0 и х²+6х=−9, решая которые получим что х₁=0, х₂=−6, х₃=−3.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа: −6; −3; 0.

2) Уравнения вида ах³+bх²+bх+а=0, где а≠0 также называется симметрическим .

Часто решение таких уравнений сводится к преобразованию левой части этого уравнения в произведение.

Рассмотрим решение уравнения х³+2х²+2х+1=0

(х³+1)+(2х²+2х)=0, (х+1)(х²−х+1)+2х(х+1)=0, (х+1)(х²−х+1+2х)=0

(х+1)(х²+х+1)=0, откуда получим, что корнем уравнения является число −1.

При решении симметрических уравнений полезно знать следующее:

У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень равный ―1.

У симметрических уравнений корней, равных нулю нет.

Если степень уравнения выше, чем 3, то способ решения другой .

Уравнение вида ах⁴ + bх³ +сх² + bх + а =0, где а≠0 − это симметрическое уравнение

Решим уравнение:

2х⁴+7х³+9х²+7х+2=0.

Т.к. х=0 не является корнем уравнения, то разделим уравнение на х², получим

2х²+7х + 9++ =0

(2х²+)+ (7х+) + 9 = 0

2(х²+ ) + 7 (х+ ) +9=0. Введем замену у= х+ , тогда х² + = у²−2, получим:

2(у²−2)+7у+9=0,

2у²+7у+5=0, это квадратное уравнение, его корни будут у₁=−1 и у₂=−2,5

Выполним обратную замену:

х+=−1 и х+=−2,5

Решая эти уравнения, окончательно получим, что х=2 и х=0,5.

2.4. Симметрические системы уравнений

Система называется симметрической, если f(x, y) и g(x, y) — симметрические многочлены. Для решения симметрических систем пользуются заменой u = x + y, v = xy.

Решим систему уравнений:

Введем замену х+у=u, ху=v, получим

2u=12, u=6, тогда v=5.

Выполним обратную замену:

Х=6―у, тогда ( 6―у )·у=5, решая это уравнение, получим у=5 и у=1, тогда соответственно х=1, у=5.

Ответ: (1;5), (5;1)

Рассмотрим решение системы :

Заменим х+у = u, ху = v, получим

Решая первое уравнение системы, получим v= ―4 и v=―3, тогда соответственно u=―1 и u=―2.

Выполняя обратную замену, получим совокупность систем

и

Ответ: (1;―3), (―3; 1), ( ; ); ( ; )

Рассмотрим следующую систему:

Введем замену х+у=u, ху=v

(х+у)²=х²+2ху+у² х²+у²= (х+у)²−2ху=u²−2v, тогда получим

U2+u-72=0, откуда u=8u= -9, тогда соответственно v=15, u=32.

Делая обратную замену, получим совокупность систем

и

Ответ: (3 ; 5 ), ( 5; 3 )

Заключение

Выполняя данную работу, я узнал, что такое симметрические многочлены, уравнения, системы уравнений, остановился на решении некоторых симметрических уравнений и систем уравнений. Укрепил свои знания в решении симметрических уравнений и систем уравнений. Это позволит мне более качественно подготовится к выполнению заданий 2 части ОГЭ по математике.

Практическая значимость данной работы заключается в следующем:

я, изучив данный вопрос, получил дополнительные знания в области математики, укрепил свой интерес к этой науке.

Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

Литература

Болтянский В.Г. и др. Симметрия в алгебре. - М.: Наука, 1967.

Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: Наука, 1971.

Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. - М.: АСТ-Пресс, 2001.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/262653-simmetricheskie-uravnenija-i-sistemy-uravneni