Тайны магических квадратов

Соревнование молодых исследователей «Шаг в будущее»

в Северо-Кавказском федеральном округе России.

Секция: фундаментальная математика

Название работы: Тайны магических квадратов.

Ставрополь, 2016

Оглавление

Введение……………………………………………........................................ стр. 3

История появления магического квадрата ……….......................................стр. 4

Применение магических квадратов ……….………………………………….стр. 6

Виды магических квадратов………………………...…….…………………...стр. 9

Заключение………………………....…………………………………………..стр. 12

Список используемых источников….………………………………………..стр. 14

Приложение № 1 …………………………………………………………….стр. 15

8. Приложение № 2 ……………………………………………………………...стр.16

1.Введение

«Составление магических квадратов

представляет собой превосходную

умственную гимнастику, развивающую

способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии».

Леонард Эйлер

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат – это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Магические квадраты… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Тема исследования: заполнение магических квадратов;

Объект исследования: магический квадрат;

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро;

Цель проекта: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления; выяснить различные способы составления магических квадратов; изучить области их применения.

Задачи проекта: 1.Познакомиться с историей появления и названиями магических квадратов; 2.Изучить известные способы заполнения магических квадратов;

3.Выяснить области применения магического квадрата.

Актуальность: развить познавательный интерес к предмету.

2.История появления магического квадрата

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, в 15 в. О магических квадратах узнали европейцы. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат Дюрера изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Составление магических квадратов было делом не только астрологов или бездельников, ищущих забавы. Теорию их разрабатывали многие выдающиеся математики. В 1654 году французский ученый Блез Паскаль написал трактат, полностью посвященный магическим квадратам. В дальнейшем к теории магических квадратов обращались многие выдающиеся математики. Она находит применение в ряде важных математических вопросов. Выводы теории магических квадратов используются в одном из методов решения систем уравнений со многими неизвестными и даже в современной квантовой механике.

А любителям математики составление квадратов служило хорошей гимнастикой ума и одно время столь же процветало, как увлечение кроссвордами в наши дни. Особо усердным хватало терпения, чтобы составить, например, квадрат 43-го порядка с числами от 1 до 1849. Один только факт: в 1838 году, когда о математических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, во Франции был напечатан трактат на эту тему, состоящий из трех объемных томов. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

В 1917 г. на франко-германском фронте, унтер-офицер Франц Буль, занимаясь мародерством на поле боя, нашел в кармане убитого солдата-индуса длинную полоску плотной бумаги, которая была исписана квадратами, разделенными на клетки, заполненными арабской вязью. Он передал эту полоску немецкому профессору, который занимался магическими квадратами. Скорее всего, полоска содержала талисман, не спасший, однако, его обладателя от смерти.

После перевода с арабского языка, выяснилось, что документ содержит магический квадрат 3-его порядка и полумагический квадрат 4-ого порядка. В квадрате 4 × 4 числа повторяются, и суммы диагоналей не совпадают с константой:

Затем следовал список заклинаний, имён богов и демонов, который профессор просто оторвал и уничтожил.

3. Применение магических квадратов

Магическим квадратом называют квадратную таблицу размером ? Квадраты бывают разными размерами начиная от 3 и дальше. Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.  

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Когда я рассмотрела способы составления магических квадратов, меня заинтересовала область их применения. Она показалась мне довольно таки интересной.

Очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами.

Ну, и, конечно же, в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат. Составлю магический квадрат для себя.

Я родилась 10 ноября 2004 года1) Складываем числа дня месяца и года рождения, получаем первое рабочее число 9.2) Далее складываем цифры первого рабочего числа и получаем второе рабочее число 9.3) Из первого рабочего числа вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения, так получается третье рабочее число: 9-2=7. 4) четвертое рабочее число получаем из суммы цифр третьего рабочего числа: 7

Чертим квадрат 3 на 3. Из наших двух строк считаем количество единиц в числах – вписываем в первый квадрат. Вторая ячейка содержит двойки, третья – тройки и так далее.

«4»- у меня отличное здоровье, 

«77»- обладаю всем – хорошим и плохим. Имею вкус, хорошо рисую, очень талантлива. В случае неприятностей могу выйти сухой из воды.

«99»- умна от рождения, знания даются легко.

Ещё одной традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны) и окружается специальными символами

Однако существуют и магические квадраты для стихий и знаков Зодиака.

Например:

4. Виды магических квадратов

Магических квадратов 2*2 не существует. Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно.

Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90 или на 180 градусов:

Алгоритм составления магического квадрата 3х3

1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7:

9 2 7

4 5 6

3 8 1

3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Таким образом, мы получим магический квадрат, магическая сумма которого (т.е. сумма чисел в любой строке, в любом столбце и на каждой из диагоналей) равна 15.

Проделав эксперимент по изменению направления движения чисел в обратную сторону, расположили числа так, как показано на рисунке:

2 7 6

9 5 1

4 3 8

Значит, направление значения не имеет, главное сохранить порядок следования чисел.

Квадрат Ло – шу. Магический квадрат 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман Ло-шу) представляется матрицей 3x3 .

Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Общий метод построения квадратов неизвестен. Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата. Квадраты могут быть:

- нечетными, то есть состоять из нечетного числа клеток,

- четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному;

- четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному.

Квадрат четвертого порядка. Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).

Несимметричных магических квадратов четвертого порядка существует 880, с учетом поворотов и отражений это число увеличивается до 7040

Дьявольский магический квадрат. Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называются ещё пандиагональными. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Квадраты пятого порядка. Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже

Существует совершенный магический квадрат. В магическом квадрате пятого порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях равны постоянной магического квадрата – числу 65.

5. Заключение

Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

С помощью подготовленных нами алгоритмов можно составить множество заданий на заполнение магических квадратов. Общего алгоритма, подходящего под все виды магических квадратов не существует.

Истоки возникновения магических квадратом теряются во тьме веков. История магических квадратов неразрывно связана с развитием науки. Однако если в древние времена интерес к квадратам был больше эзотерический, то в нынешнее время сугубо практический. Мы изучили лишь небольшую часть способов составления магических квадратов. Есть еще много разных видов магических квадратов. Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. К тому же, теперь магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание любителей математических игр и развлечений. Возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение под- мечать числовые закономерности. Решение таких задач послужит прекрасной «гимнастикой для ума». Понять удивительную красоту, содержащуюся в магических квадратах не всякому дано, но один раз осознав стройность чисел можно получить огромное удовольствие. Я очень много узнала нового, но на самом деле это ничтожно малая частица такой просторной и бесконечной науки, как математика.

Искусством решать задачи овладеть далеко не просто. Тут требуется большой опыт, интуиция и, как в каждом искусстве, умение свободно применять различные "технические" приёмы. В период работы над темой были предложены учащимся 6 класса три задачи на составление магических квадратов (приложение 1). Было выявлено, что

35% учащающих отлично выполнили задания, 27% учащающих хорошо выполнили задания,

8% учащающих удовлетворительно выполнили задания ,30% учащающих не справились с заданиями. (приложение 2). Из всего выше сказанного следует, что большинство из учеников мало знакомы с магическими квадратами и им было трудно выполнить предложенные мной задания.

В результате выполнения работы я сделала выводы:

Магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное.

Заполнять магические квадраты несложно, но необходимо знать некоторые правила.

Главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.

Законы квадратов отражают законы красоты.

6.Список используемых источников

1. Загадки мира чисел / Сост. И.Я. Бурау – Д.: Сталкер, 1997.

2. Задачи для внеклассной работы по математике в V-VI классах: Пособие для учителей / Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фуксы, А.Л. Гавронского. – М.: МИРОС, 1993.

3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Издательство «Наука» физико-математической литературы – Москва, 1965, – с. 567. 4. Макарова Н.В. Волшебный мир магических квадратов. – Изд-во: г. Саратов, 2009.

5. Математика. Школьная энциклопедия / гл. ред. С.М. Никольский – М.: Большая российская энциклопедия; Дрофа, 1997.

6. Постников М.М. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964.

7. Трошин В.В. Магия чисел и фигур. – М.: Глобус, 2007.

8. Физико-математический журнал для школьников и студентов “Квант” №4, 1995 г.

9. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике. – Москва: «Просвещение», 1996.

10. Энциклопедический словарь юного математика/ сост. А.П. Савин- 3-е изд. М., Педагогика – Пресс, 1999 .

11. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин и др. – М.: АСТ, 1996.

12. http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat/html

13. http://ru.wikipedia.org/wiki

Приложение № 1

Практическая часть

Задача 1.

Впиши в пустые прямоугольники недостающие числа от 1 до 16 так, чтобы в сумме по всем столбикам и строкам и обеим диагоналям получилось число 34.

Ответ:

Задача 2.

В свободные клетки квадрата впишите числа 23, 41, 47, 65 и 71 так, чтобы по всем строкам, и двум диагоналям в сумме получалось одно и то же число.

Ответ:

Задача 3.

В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали их суммы были равны между собой:

Ответ:

Приложение № 2

Диаграмма к исследованию

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/276500-tajny-magicheskih-kvadratov