Вычисление углов между скрещивающимися прямыми» (Подготовка к ЕГЭ)

Конспект урока по математике

для учащихся 11 класса

«Вычисление углов между скрещивающимися прямыми»

(Подготовка к ЕГЭ)

Автор:

Учитель математики МОУ «СОШ № 55»

Ленинского района города Саратова

ПЕТРОВА Людмила Дмитриевна

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Урок одной задачи по тему:
«Угол между скрещивающимися прямыми».

Характеристика темы урока.
1) Центральным моментом технологии подготовки к ЕГЭ является обучение школьника приёмам мысленного поиска способа решения, а для этого следует показать ему всю картину поиска в трудных заданиях.
2) Решение задачи по стереометрии, планиметрии оформляются примерно одинаково. В основе лежат общематематические и даже, можно сказать, общенаучные принципы.
Структура текста решения такова: оно разделяется на этапы, а те, в свою очередь, могут быть разбиты на более мелкие части, содержащие цепочки умозаключений: как правило, следствий, равенств и даже неравенств, в зависимости от постановки и содержания задачи.
3) Особая роль при решении геометрической задачи отводится чертежу, он не обязательно должен быть ровно один. Обычно на нём, в соответствии с условием задачи отмечают следующие данные:
а) обозначения точек, прямых, плоскостей и других геометрических объектов;
б) длины отрезков, величины углов, площади и объёмы;
в) соотношения равенства длин или углов, перпендикулярности прямых или плоскостей.
На чертеже можно ещё и вводить новые:
а) обозначения объектов – первоначальных или возникающих в процессе дополнительных построений;
б) величины – буквенные или вычисленные в процессе решения;
в) соотношения равенства или перпендикулярности, определяемые построением или выведенные с помощью рассуждений.
Одним словом, на чертеже фактически можно решать задачу, или, по крайней мере, демонстрировать фрагменты её решения.
4) В связи с возможностью решать задачу прямо на чертеже возникают некоторые ограничения и проблемы.
Ученику необходимо побеспокоится о том, чтобы проверяющий смог понять, в каком порядке и на основании чего появились на чертеже новые пометки. С этой целью пишется текст решения, который хотя и дублирует отчасти чертёж, тем не менее, отличается большей содержательностью, т.к. в нём :
а) отражается хронология проведённых умозаключений;
б) указываются причинно-следственные связи между утверждениями.
Чертёж должен быть абсолютно ясным и разборчивым, а главное, понятным.
Укажем типы задач по стереометрии, встречающиеся на ЕГЭ и вызывающие определённые трудности.
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Расстояние от точки до прямой, до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми.
3. Угол прямой с плоскостью.
4. Угол между плоскостями.

Цели урока.

Методическая цель урока.
Показать приёмы формирования у школьников навыков решения задач на вычисление углов в пространстве, умения применять изученный теоретический материал на практике, развивать их самостоятельность при решении задач разными методами.
Методы:

А) использование моделей фигур и интерпретация их на чертеже;

Б) отбор соответствующих задач, способствующих формированию навыков и умений учащихся;

В) рассмотрение различных способов решения одной задачи.

2) Образовательная цель урока.
Рассмотреть 3 метода решения одной задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми.
3)Воспитательные цели урока.
Формирование мировоззрения: показать, что источник возникновения изучаемых понятий представляет собой определённую систему знаний в геометрии.

III. На доске девиз.

«Незнанием никогда не следует
хвалиться: незнание есть бессилие».
- Н. Г. Чернышевский.

Сегодня на уроке при решении одной задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми мы рассмотрим 3 метода решения.
Методы:
1. Поэтапно-вычислительный
2. Векторно-координатный
3. Геометрический

Задача.
На ребрах АВ, АС и SC правильной треугольной пирамиды SABC, у которой все плоские углы при вершинеS прямые, взяты соответственно точки D,E,F – середины этих рёбер. Найти угол между прямыми DFи SE.

Решение.

Поэтапно вычислительный метод.

Построение чертежа.

Угол между прямыми DF и SE – искомый. DF и SE – скрещивающиеся прямые, т.к. SE лежит в плоскости ASC, а прямая пересекает эту плоскость в точке F, не лежащей на прямой SE.

Построим какой-нибудь угол, равный искомому. Для этого в плоскости SAC, которая проходит через прямую SE (одну из скрещивающихся прямых) и точку F (на другой скрещивающейся прямой), через т. F проведём прямую FK||SE.
DFKравен искомому. Пусть DFK = .

Угол  поместим в некоторый треугольник, для чего проведём DK.  - угол треугольника DFK.

Найдём стороны треугольника DFK.
а) введём вспомогательный параметр: обозначим сторону основания через ;
б) треугольник ASC – прямоугольный равнобедренный, SE – медиана; SE = AE = .
FK – средняя линия треугольника SEC,FK = .

в) Найдём DF из треугольника SDF.
Определим вид этого треугольника.
По условию BSA, BSC, ASC – прямые.
Следовательно,
SCSB SC (BSA)
SCSA по признаку.

Аналогично,
SD (BSA) SCSD по
SC (BSA) определению.
Следовательно,DSC – прямоугольный, и DSF тоже прямоугольный.
г) SF = SC = ( ) =

д) По теореме Пифагора DF = = = = = = .

DF = .

e) По теореме косинусов:
DK² = AD² + AK² – 2DA  AK cosA = ( )²  (a)² – 2   cos60 = + - + .

DK = = .

Из:
cos = = = 0.
=90

Векторно – координатный метод.

Т.к. заданная пирамида правильная, тоSA=SC=SB. По условию все углы при вершине S прямые. Поэтому: 1) введём в пространстве прямоугольную систему координат: начало – точка S; отрезки SB,SA,SC – единичные отрезки соответствующих осей Sx,Sy,Sz.
2) Определим координаты точек S,A,B,C,D,E,F.
3){ ; }, { }.
4) cos ( = |cos( ,)| = = = 0.

=90

Геометрический метод.



Т.к. отрезки SA,SB,SC равны между собой и попарно перпендикулярны, то можно принять их за рёбра куба, выходящие из одной вершины.
Построим этот куб и заданные точки D,E,F.
1) Соединим вершины P и С куба и проведём диагональ SQ.
2) Нетрудно убедиться, что DF||PC (средняя линия
3) Угол между прямыми SE и DF равен углу между PC и SQ.
4) АС – проекция прямой РС на плоскостьASC.
АСSQ (свойство диагоналей квадрата)
РСSQ (теорема о трёх перпендикулярах)
Следовательно,DFSQ и тогда DFSE, т.е. угол равен 90.

Итог урока.
На примере одной задачи мы рассмотрели 3 различных метода решения. Можно сказать, что эффективность каждого метода зависит конкретно от предлагаемой задачи. Какой метод выбрать зависит от вас, вашей математической подготовки и опыта, т.е. количества решенных вами задач. Вы убедились, какой большой теоретический материал необходим для решения задачи.

Наш урок я хочу закончить словами:
«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»
- Ян-Амос Каменский

Домашнее задание. Задачи на стенде.

В правильной пирамиде SABC отношение бокового ребра к стороне основания равно 2:1. На рёбрах АВ и АС взяты соответственно точки М и К – середины этих рёбер. Найти угол между прямыми SMи ВК.

В прямоугольном параллелепипедеABCDA₁B₁C₁D₁угол между прямыми B₁D и CD₁ равен 90 и АВ:AD = 1:2. Найти угол между прямыми АС и А₁D.

На рёбрах ВВ₁ и С₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки Р и Q такие, что ВР:ВВ₁=2:3, С₁Q : C₁D₁ = 1:4. Плоскость, проходящая через точкиA,P,Q, пересекает прямые DD₁ и B₁C₁ соответственно в точках E и F. Найти угол между прямыми EF и А₁С.

В основании пирамиды лежит параллелограммABCD, угол BAD которого равен 45, а отношение сторон АВ:АD = 1:2. Грань SAB является равносторонним треугольником, а её медиана SF перпендикулярна плоскости основания. На ребре SC взята точка М, такая что SМ:SC = 2:3. Найти угол между прямыми SF и DM.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/28565-vychislenie-uglov-mezhdu-skreschivajuschimisj