Многоуровневая система учебных задач. Проектирование и использование при изучении темы «Решение текстовых задач по математике»

Тип базовой задачи

Пример задачи

ЗЗ

МЗ

НЗ

БЗ 1

Задача вычисления отношения величин

(пропорции; прямо пропорциональные и обратно пропорциональные величины).

Прямо пропорциональные величины:

Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок?

(Виленкин, 6 класс,

№ 811; Ответ: 36кг)

Обратно пропорциональные величины:

Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъёмностью 7,5т. Сколько нужно машин грузоподъёмностью 4,5т, чтобы перевезти тот же груз?

(Виленкин, 6 класс,

№ 786; Ответ: 40 машин)

Самолет пролетел расстояние между двумя аэродромами за 6ч со скоростью 850км/ч. За сколько времени пролетит это расстояние другой самолет, скорость которого на 150км/ч больше скорости первого?

(Чесноков, Нешков Дидактические материалы, 6 класс, № 178, Ответ: 5,1ч)

Какова скорость самолета, если он пролетает расстояние за 6ч, а другой самолет со скоростью на 150 км/ч большей это же расстояние пролетает за 5,1ч?

(Ответ: 850 км/ч)

БЗ 2

Вычисление дроби от числа х, р% от числа х.

Вычисление дроби от числа

В книге 140 страниц. Максим прочитал этой книги. Сколько страниц прочитал Володя?

(Виленкин, 6 класс,

№ 488; Ответ: 116стр.)

Вычисление % от числа

В книге 140 страниц. Максим прочитал 80% этой книги. Сколько страниц прочитал Володя?

(Виленкин, 6 класс,

№ 489; Ответ: 116стр.)

За день было продано 75% всего завезенного картофеля, До обеденного перерыва было продано картофеля, проданного после обеденного перерыва. Сколько картофеля продано до перерыва и сколько после перерыва, если было завезено 3 т картофеля?

(Виленкин, 6 класс,

№ 1558; Ответ: 1т; 1,4т)

На столе лежал расколотый арбуз массой 10кг, содержащий 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась и её процентное содержание в арбузе понизилось до 96%. Найдите новую массу арбуза.

(Зубарева, Мордкович, учебник, 6 класс, № 575 (592); Ответ: 2.5кг)

Пример задачи

ЗЗ

МЗ

НЗ

БЗ 3

Вычисление числа по его дроби, по его процентам.

Вычисление числа по его дроби

Свая возвышается над водой на 1,5 м, что составляет длины всей сваи. Какова длина всей сваи?

(Виленкин, 6 класс,

№ 648; Ответ: 8м)

Вычисление числа по его процентам

Масса вяленой рыбы составляет 55% массы свежей рыбы. Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 231 кг вяленой?

(Виленкин, 6 класс,

№ 651; Ответ: 420кг)

Поле площадью 18 га вспахали за 3 дня. В первый день вспахали 35% всего поля, а во второй – 40% оставшейся площади. Сколько га вспахали в третий день?

(итоговая к.р. к УМК Зубаревой, Мордкович, 6 класс; Ответ: 7,02га )

В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках, французские 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?

(Сканави, сборник задач для поступающих в ВТУЗы; Ответ: 500 книг )

БЗ 4

Вычисление процентного отношения двух чисел.Сколько процентов от числа a составляет число b ; в каком отношении произведено деление числа (величины) на части.

Сколько процентов от числа a составляет число b

Из 250 семян погибли 10. Найдите сколько процентов семян взошло (процент всхожести)

(Виленкин, 6 класс,

№ 734; Ответ: 96%)

В каком отношении произведено деление числа (величины) на части.

Какую часть урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 20минут, если продолжительность урока 45 минут?

(Виленкин, 6 класс,

№ 728; Ответ: )

В результате дефолта (так называется экономический кризис, который случился в России в 1998г.) цены на импортные товары выросли примерно в 5 раз. До дефолта кроссовки стоили 200р. На сколько % новая цена кроссовок стала выше старой? На сколько процентов старая цена ниже новой? Закончите предложение: «В результате дефолта цены в среднем выросли на …%»

(Зубарева, Мордкович, учебник, 6 класс, № 591 (609); Ответ: на 400%; на 80%; в среднем выросли на 400%)

В урожайное время года (осенью) цены на овощи понизились в среднем а 50%, а к зиме они повысились на 10% в сравнении с прошлогодними ценами.На сколько процентов подорожали овощи в сравнении с осенью?

(Зубарева, Мордкович, учебник, 6 класс, № 689 (710); Ответ: на 120%)

БЗ 5

Деление числа х в данном отношении: разделить число х в отношении a:b или a:b:c

Для изготовления начинки для пирога смешали курагу с черносливом в соотношении 4:1. Определите массу каждого компонента начинки в 37 кг.

(Ответ:29,6кг и 7,4кг)

Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как ::, а четвертое число составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.

(Сканави, сборник задач для поступающих в ВТУЗы; Ответ: 48; 80;12;12 )

Некоторую часть пути автомобиль ехал со скоростью 52 км/час, а остальную часть пути- со скоростью 62 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, если указанные промежутки пути относятся как m:n.

(СИПКРО, сборник для ГИА, вариант 11

№ 20; Ответ: км)

БЗ 6

Применение прямой и обратной пропорциональности величин, пропорции отношения величин, к решению различных задач практического содержания.

ЗЗ

МЗ

НЗ

БЗ 6.1

Задачи на доли проценты, смеси, сплавы, концентрацию, разбавление.

Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составляет 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколько граммов индийского чая было в смеси первоначально?

(Виленкин, 6 класс,

№ 1349; Ответ: 132г)

В 15% раствор соли в воде добавили 270г соли, некоторое количество 30% раствора соли и получили 50% раствор соли. Если бы соль не добавляли, то получили бы 20% раствор соли. Сколько граммов 15% раствора соли было первоначально?

(Лысенко, ГИА-2013,

Вариант 4; Ответ: 300г)

В сосуде находится M кг p%-ного раствора соли. Из сосуда выливаетсяа кг смеси и доливается а кг воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. По какому закону меняется концентрация соли в сосуде, т.е. какова будет концентрация соли после n процедур?

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: c =(1-) )

БЗ 6.2

Задачи на равномерное движение.

Движение в одном и встречных направлениях

Из пунктов M и N, удаленных друг от друга на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и встретились через 30 минут. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт М на 25 минут раньше, чем другой в пункт N.

(Макарычев, 9 класс,

№ 474; Ответ: 60 и 40км/ч)

Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста, скорость первого на 20км/ч больше скорости второго. Через два часа после начала движения второй автомобилист понял, чо ему необходимо вернуться, и поехал в обратном направлении. Через час после того, как второй развернулся, расстояние между автомобилистами, стало 200 км. Найдите скорость второго автомобилиста, если расстояние между пунктами А и Б равно 500 км, и известно, что автомобили ни разу не встретились.

(Лысенко, ГИА-2013,

Вариант 5; Ответ: 60км/ч)

Из пункта А в пункт Б в 8ч выходит скорый поезд. В это же время и з Б в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость пассажирского поезда в два раза меньше скорости курьерского. Скорый поезд прибывает в пункт Б в 13ч 50 мин, а встречает курьерский поез0д не ранее 10ч 30мин того же дня. Найти время прибытия пассажирского поезда в пункт А, если известно, что между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа.

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: пас. поезд затрачивает на дорогу 8ч 45мин и прибывает в пункт А в 16ч 45 мин).

Движение по и против течения.

Моторная лодка прошла 18км по течению и 14км против течения, затратив на весь путь 3ч 15мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки10км/ч.

(Макарычев, 9 класс,

№ 944; Ответ: 2км/ч)

От пристани отправился по течению реки плот. Через 5ч 20мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12км/ч?

(Сканави, сборник задач для поступающих в ВТУЗы; Ответ: 3км/ч )

Города А и Б расположены на берегу реки, причем город Б расположен ниже по течению. В 9 утра из города А в город Б отправился плот. В это же время из города Б в города А отправляется лодка, которая встречается с плотом через 5ч. Доплыв до города А, лодка поворачивает обратно и приплывает в город Б одновременно с плотом. Успеют ли лодка и плот прибыть в город Б к 21ч того же дня?

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: отношение расстояния между городами к скорости течения реки 12, следовательно лодка и плот не успеют прибыть в пункт Б к 21ч).

Относительное движение.

Пассажирский поезд имеет длину вдвое меньшую, чем товарный поезд. Оба состава движутся по параллельным путям в одном направлении, при этом скорость пассажирского поезда 80км/ч, а товарного – 60км/ч. Пассажирский поезд проехал мимо товарного, обгоняя его, за 4,5 минуты. Найдите длину пассажирского поезда (в метрах).

(Лысенко, ГИА-2013,

Вариант 1; Ответ: 500м).

Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда равна 40км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд прошел мимо окна за 3с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75м.

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: 50км/ч).

По прямым параллельным путям, расстояние между которыми равно 60м, равномерно в противоположных направлениях движутся два поезда. Длина каждого поезда равна 100м. Стрелочник находится на расстоянии 40м от ближайшего к нему пути. Первый поезд загораживает от стрелочника часть второго поезда в течение 5с. Скорость первого поезда равна 16м/с. Определите скорость второго поезда. (шириной поезда пренебречь).

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: 108км/ч).

БЗ 6.3

Задачи на работу.

Токарь должен был обработать 240 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем планировалось, и потому выполнил задание на 4ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

(Макарычев, 9 класс,

№ 946; Ответ: 10дет/ч)

В бассейн подведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/з бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8ч. За сколько часов одна первая труба может наполнить бассейн, и за сколько часов одна вторая труба может опорожнить полный бассейн?

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: 8ч и 6ч).

Басен заполняется с помощью нескольких насосов одинаковой производительности, которые включились один за другим через равные промежутки времени. Последний насос перекачал Vл воды. Сколько воды перекачал первый насос, если известно, что при уменьшении производительности каждого насоса на 10% (при таких же промежутках между включениями) время наполнения бассейна увеличится на 10%?

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Указание: воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии. Ответ: 5/4V).

БЗ 6.4

Задачи на запись чисел, деление натуральных чисел..

Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Найдите это число.

(Макарычев, 9 класс,

№ 938; Ответ: 14)

Искомое трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если эту цифру перенести с последнего места на первое, сохранив порядок остальных двух цифр, то вновь полученное число будет меньше искомого на 90. Найти это число.

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: 211).

Найти два двузначных числа А и В по следующему условию: если цифровую запись числа А записать впереди В и полученное число разделить на В, то в частном получится 121. Если же цифровую запись числа В записать вперед числа А и полученное число разделить на А, то в частном будет 84, а в остатке 14.Найти А и В.

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: А = 42, В = 35).

БЗ 6.5

Задачи на отыскание наибольшего значения, экстремума.

Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых, сумма квадратов которых наименьшая, если известно, что второе слагаемое втрое больше первого.

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: 26 = 4 + 12 + 10).

Найти высоту конической вороник наибольшего объема, если её образующая равна l).

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Ответ: H = - высота конуса максимального объема при заданной длине образующей l).

Дождевая капля, начальная масса которой m, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен к). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебречь).

(А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Указание: Кинетическая энергия W(t) = , где m(t) – масса капли к моменту t, а v(t) – достигнутая к моменту t скорость. Ответ: Через время t=(с) W(t) = () ).