Элементы комбинаторики перестановки, сочетания и размещения

Учебная дисциплина: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия».

Специальность: «Технология продукции общественного питания»

Обобщающий урок по теме : «Элементы комбинаторики перестановки, сочетания и размещения»

Тип урока: урок закрепление и решение задач.

Продолжительность : 45 минут

Цель: закрепление основных понятий комбинаторики с помощью решения задач, показать применение комбинаторики в практической целях и в жизни человека.

Задачи:

Образовательные :

- продолжить формировать у учащихся представление о комбинаторике и ее применение в жизни человека.

-отработка навыков решения комбинаторных задач с использованием формул перестановок, размещении и сочетании.

Развивающие :

-развитие комбинаторного мышления учащихся.

-формирование интеллектуальных умений анализировать выделять главное при работе с текстом задачи.

Воспитательные :

-воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы.

-прививать сознательное отношение к труду.

-воспитывать позитивное отношение к критике.

Ход урока

Организационный момент.

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

- Я рада приветствовать всех вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоций.

Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

«Число, положение и комбинация

Три взаимно пересекающиеся,

Но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи»

английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр

(1814-1897)

Сегодняшний урок у нас обобщающий по теме: «Перестановки, размещения и сочетания», поэтому на уроке мы должны обобщить наши знания и умения по решению задач комбинаторного типа: закрепить умения различать перестановки, размещения, сочетания. Для этого необходимо вспомнить определения и формулы. В конце урока вы будете выполнять тестовое задание и, соответственно, каждый из вас получит оценку.

Если представить математику в виде дерева, то алгебра, геометрия, комбинаторика и теория вероятности ее ветви (слайд)

А вот что это за наука нам расскажет (Мини презентация)

Устный опрос

- Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?

- Комбинаторика интересна и имеет широкий спектр практической направленности (слайд) область определения комбинаторика

-Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи

- В царице наук – математике, все эти техники объединяются в одну отрасль науки, которую называют комбинаторика-это прелюдия к расчету вероятностей.

3.Работа в парах.

-Сейчас вы будете работать в парах:

Установите соответствие между науками, сферами нашей жизни и задача которые решает комбинаторика(Слайд)

Учебные заведения (составление расписаний)

Сфера общественного питания (составления меню)

Лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

География (раскраска карт)

Спортивные соревнования ( расчет количества игр между участниками)

Производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

Агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

Азартные игры (подсчет частоты выигрышей)

Химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

Экономика (анализ вариантов купли – продажи акций)

Криптография (разработка методов шифрования)

Биология расшифровав кода ДНК)

Доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

- Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи

(при помощи комбинаторного правила умножения, перебора возможных вариантов, дерева возможных вариантов, формул перестановок, размещений и сочетаний)

4.Повторение материала

- Что такое комбинаторика?

(Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющим тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов)

- Что называют перестановкой?

(перестановка из n элементов называется соединения, которые состоит из одних и тех же элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения).

- Что называют размещением?

Размещением из m элементов по h элементов (меньше или равно m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

- Что называют сочетанием?

(Сочетанием из m элементов по n в каждом (n меньше или равно m) называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайне мере одним элементом).

А сейчас проверим, насколько хорошо вы владеете формулами (учащимся раздаются карточки с пропусками, которые необходимо заполнить).?

К k

А =m

m

k

A =___m!________

m (m-k)!

k

C =___m!_______

m k!(m-r)!

K m-k

C = C

m m

k k+1 k+1

C +C = C

m m m+1

P =m!

M

P

(k k k…….k ) = _____1_______

1 2 3 m k !k

2

Заполнить пропуски

- Выполняем взаимопроверку (учащиеся меняются карточками и проверяем правильность заполненных пропусков), карандашом поставьте оценки

Для развития вашей математической речи выполним следующее задание прочитать правильно

Р6=6!(шесть фактриал)

n

А (числа размещений из m элементов по n элементов)

M

n

С « це из эм по эн)

m

4.Закрепление изученного материала

Сколькими способами при сервировке стола расставить 10 разных блюд?

Р10=10!=3628800

В этой задаче мы применили метод перестановки

Перестановкой из н элементов называют расположение этих элементов в определенном порядке.

Сколькими способами можно выбрать в меню, в котором 21 блюдо, борщ, пюре и компот?

Решение:

3

А = 21*20*19=7980

21

Сколько существует способов выбора двух блюд из 36 вариантов. Изымаемые из колоды всевозможные пары блюд без учета порядка их расположения в наборе образуют сочетание из 36 по 2.

По формуле

n m!

с = -----------------------

m (m-n)!n!

2 36! 35*36

C =---------------= -------------------=35*18=630

36 (36-2)!2! 2

Ответ: 630 способов.

Здесь мы воспользовались способом сочетание

В техникуме 8 машин. Сколькими способами можно расставить машины в гаражи если в этот день свободны только 6гаражей?

В условии задачи даны 8 машин. Для распределения машин у нас только 5 гаражей. поэтому эта задача сводится к нахождению числа размещений из 8

6 по 5. Находим =8*76543=20160

5. Самостоятельная работа

- А сейчас мы по решаем задачи самостоятельно с последующей проверкой решения (учащимся раздаются карточки), дифференцированно, каждый выбирает уровень, который может решить на «3», на «4», на «5»

1 вариант

Из шести технологов двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

2 вариант

На производстве имеется пять технологов. Сколько есть вариантов выбора двух из них для участия в конкурсе?

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при условии , что ни одна цифра не повторяется?

Дополнительные задачи

1 задача перестановки

2 февраля в расписание меню заявлены следующие виды блюд: цезарь, пюре, отбивные и компот.

Сколькими способами можно составить расписание из данных видов блюд на 2 февраля? Сколько способами можно составить расписание, если известно, что пюре должно быть первым?

2 задача (сочетание)

Среди наиболее популярных талисманов Олимпиады в составе Белого Медведя, Деда Мороза, Снежного Барса, Зайца, Лучика и снежинки выбрали 3-х финалистов. Сколько всевозможных троек финалистов можно составить?

- какие же талисманы вышли в финал?(снежный Барс, Зайчик и Белый Мишка)

3 задача (размещении)

Для конькобежного сорта отведено 5 дорожек. Сколькими способами можно расставить на них 5 спортсменов?3 спортсмена?

4 задача (сочетании)

9 команд по хоккею участвуют в турнире. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре. Сколько всего игр было сыграно?

6. Итог урок. Выставление оценок. Вывод.

Задача№ 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача№3 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую 3 человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Если «защитники у». » дают

Задача 3. ( слайд 33.)Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену. Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Задача4В группе 6РЭ30 обучается 30 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Вариант 1.

Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1)302)1003)1204) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1)1282)359603) 364)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1)102) 603) 204) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1)6002)3003)14) 1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1) 2) 3) 4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1) 2) 0,53) 0,1254)

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1)0,022)0,000123) 0,00084) 0,002

Вариант 2.

1.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1)1002)303)54) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1)32)63)24) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1)100002)604803)564) 39450

4. Вычислите:

1)22)563)304)

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1) 2) 3) 4)

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,252) 3) 0,54) 0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1)0,52)0,43)0,044) 0,8

Вариант 3.

Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1)242)43)164) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1)302)213)144) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 222)113)1504) 110

4. Сократите дробь:

1)12) 3) 4)

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1)2) 0,53) 4) 0,25

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

1)0,252) 0, 43)0,484) 0,2

7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1)0,82)0,13) 0,0154) 0,35

Вариант 4

Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1)52)1203)254) 100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1)126502)1003)754)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

1)1202)303)504) 60

4. Упростите выражение:

1) 0,52) 3)n 4) n -1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1) 2) 3) 4)

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

1)0,5042) 0,0063) 0,54) 0,3

7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

1) 2) 0,53) 4)

Ответы к тестам

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Задачи для решения на закрепление

Задача№ 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение: Р₅= 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача№2.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача№ 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача№ 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение:В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций изтрех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

_Ответ:504 трехзначных чисел

Задача№5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача№ 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение:А₁₂³= 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 1320 вариантов.

Задача№ 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача№ 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар. Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача№ 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача№ 10. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С₇²) может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй (С₉³) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С₈¹) по правилу

умножения получаем:

Ответ: 14 112 способов.

Задача№ 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4321=120 способов занять очередь.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/298475-jelementy-kombinatoriki-perestanovki-sochetan