Пенсионные накопления с точки зрения математики

Республика Казахстан

Карагандинская область

Осакаровский район

КГУ «Средняя школа № 12 поселка Осакаровка»

Учитель математики Кошевец Галина Петровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ.

ПЕНСИОННАЯ РЕФОРМА И ПРОЦЕССЫ НАКОПЛЕНИЯ ПЕНСИОННЫХ ОТЧИСЛЕНИЙ.

Исследовательская работа ученика 10 класса Родичева Александра

Руководитель Кошевец Галина Петровна, учитель математики СШ № 12 п. Осакаровка Карагандинской области Республики Казахстан

Аннотация

Практические, аналитические задачи в курсе математики помогают учащимся понять сущность и практику использования математического моделирования и сформировать общий подход к решению задач. В работе вводится понятие модели, ставится и решается конкретная задача о росте суммы пенсионных накоплений, делается социально значимое предложение по его итогам.

“… нужно постоянно видеть перед собой модель будущего в общем виде и в виде конкретных кратковременных целей, чтобы предпринимая какие-либо действия, постоянно примеряться – движемся ли мы в необходимом направлении или сбиваемся с курса, опережаем события или отстаем”.

Н. А. Назарбаев

“Казахстан 2030. Процветание, безопасность и улучшение благосостояния всех казахстанцев.” Послание Президента Республики Казахстан народу Казахстана. [1]

ВВЕДЕНИЕ.

Тема исследования пенсионных накоплений - одна из многих в системе социально-экономического становления и развития Республики Казахстан. Пенсионная реформа касается каждого гражданина страны. В полной мере её ощутит нынешнее молодое поколение.

Цель данной работы - попытка реально оценить результат накоплений на пенсионном счете Пенсионного Фонда с помощью построения математической модели. Исследователь для решения поставленной задачи использовал формулу сложных процентов и знания школьного курса математики.

ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ

Модели и моделирование появляются в процессе познания человеком окружающей действительности, так как человек от­личается от животных тем, что он не просто приспосабливает­ся к среде, в которой живет, а активно ее познает, выявляет ее особенности и законы и использует выявленные законы для из­менения окружающего мира в своих целях. Процесс познания окружающего мира происходит непрерывно всем человечест­вом и каждым человеком в отдельности.

Обычно в науке модель определяется следующим образом.

Моделью некоторого объекта (прототипа) называется такой естественный или искусственный объект, который в определенном отношении подобен прототипу (оригиналу), используемому в качестве заместителя прототипа, и изуче­ние которого дает новые знания о прототипе.

Однако, как это было уже видно из приведенных примеров, мо­дели в настоящее время используются не только в науке и техни­ке, но и в производстве, в обыденной жизни для весьма различных целей. Поэтому целесообразно определить их в более широком смысле. При этом важно учесть, что модели всегда строятся или выбираются че­ловеком для определенных целей, а не даны ему изначально. Примем следующее определение модели.

Моделью некоторого объекта А (прототипа) называется другой объект В, в каком-то смысле подобный (аналогичный) прототипу А, выбранный или построенный субъектом С, по крайней мере, для одной из следующих целей:

1) замена А в некотором реальном или мысленном (вообра­жаемом) действии моделью В, так как в данном случае более удобно использовать не сам оригинал А, а его модель В (заме­щающая модель).

2) создание представлений об объекте А (реально сущест­вующем или воображаемом) с помощью модели В (модель-пред­ставление).

Например, фотография или портрет человека является мо­делью-представлением об этом человеке;

3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде моде­ли В (интерпретационная модель).

Например, уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является ее интерпретационной моделью, так как уравнение истолковывает свойства и особенности моделируе­мой задачи на алгебраическом языке;

4) исследование (изучение) объекта А посредством изуче­ния его модели В (исследовательская модель).

Например, функция у = kx² является исследовательской мо­делью сечения конуса плоскостью, параллельной некоторой его образующей.

Процесс выбора или построения модели некоторого объекта или явления с последующим изучением этой модели называет­ся моделированием.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

В Республике Казахстан с 1998 года действует накопительная пенсионная система, при которой средства на пенсионные выплаты работающий гражданин собирает за счет обязательных пенсионных отчислений от заработка на персональный пенсионный счет в Пенсионном Фонде. Сейчас эти отчисления составляют 10 процентов от заработной платы. Кроме обязательных отчислений существует инвестиционный доход, который получает Накопительный Пенсионный Фонд, вкладывая полученные средства в инвестиции.

Рядовому гражданину всегда хочется надеяться на то, что и в пенсионном возрасте он будет иметь стабильный и достойный доход. Насколько реальны такие надежды? Попробуем оценить их, построив математическую модель.

Требуется определить какая сумма накопится на пенсионном счете пенсионера и насколько ее хватит, если он начал трудовую деятельность в 23 года (после окончания колледжа, ВУЗа, службы в армии) и имел ежемесячную заработную плату в 10 тысяч тенге. Доходность его накоплений составляет 16 процентов в год.

Примечание. Зарплата берется условно, так как, если она в дальнейшем и будет расти, вместе ней будут расти и расходы на проживание.

АНАЛИЗ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

В этой задаче рассмотрим следующие данные для построения простейшей модели.

1.Так как пенсионный возраст наступает в 63 года, то количество лет, в течение которых происходит пополнение средств за счет взносов и начисления процентов равняется 40 (63-23).

2.За год взносы составляют 12 тысяч тенге:10000*0,1*12=12000.

3.Ежегодный процент вознаграждения – 16 процентов к накопленной сумме.

4.Требуется посчитать сумму накоплений через 40 лет.

Построим модель задачи.

Пусть р – процент, а N₀ – начальная сумма. Тогда через год сумма будет равна

N₁=N₀(1+0,01р),

через два года –

N₂=N₀(1+0,01р)0,01р+N₀(1+0,01р)=N₀(1+0,01р)² и т. д.

Получаем формулу (модель) сложных процентов

N_k=Nо(1+0,01р)^k,

гдеk – показатель срока хранения. [6]

В нашем случае k=40, р=16, N_о=12000. Подставив эти данные в модель, получаем, что за сорок лет работник будет иметь на пенсионном счету

N₄₀=12000(1+0,16)⁴⁰= 12000*1,16⁴⁰ = 12000*378,72095 = 4544651,4.

То есть накопления составят порядка 4,5 миллиона тенге.

Таким образом, решить конкретную житейскую задачу помогло знание геометрической прогрессии, где первый член прогрессииN_о=12000, а знаменатель q=1+0,16=1,16.

Заметим, что воспользоваться полученной моделью сложных процентов, можно и при других исходных данных по числу лет работы, по инвестиционному проценту или заработной плате.

Разумеется, что предложенная математическая модель для данной конкретной ситуации не является единственной. Более точно накопления можно посчитать, если учитывать не годовую, а месячную процентную ставку. Тогда общее решение (модель) задачи запишется в следующем виде

N_t=М₀(1+q)^t,

где М₀ – первый пенсионный взнос (в нашем случае это 1000), q – месячная процентная ставка (она может быть выше или ниже годовой), а t - число месяцев до наступления пенсионного возраста (у нас t=40*12=480).

Кроме того, несомненному изменению подлежит и размер заработка. В последнее время явно просматривается тенденция к ее увеличению.

Однако наша цель - не только определить сумму, но и ответить на второй вопрос задачи:на сколько хватит накопленной суммы?

Допустим ситуацию, что мы уже проработали эти 40 лет и накопили 4,5 миллиона тенге в 2003 году.

По новым правилам выплаты пенсий из накопительных пенсионных фондов зависят от возраста и накоплений. Умножив общую сумму своих пенсионных накоплений на цифру коэффициента, получается годовой объем выплат. В 63 года коэффициент равен 0,06854, в 64 – 0,07075, в 65 – 0,07321 и т. д.

Таким образом, если за R обозначим годовой объем выплат, за N=N_k –накопленную сумму в 63 года (заметим, что в 64 года накопленная сумма уменьшится) за r_i – коэффициент умножения, то модель (формула) будет выглядеть так

R_i=(N - R_i-1)r_i,

где R₀=0,

или по-другому учитывая возраст,

R_62+i=(N-R_61+i)r_63+i,R₆₂=0.

Метод решения (более точный) возможен с привлечением методов программирования с заданным массивом коэффициентов умножения по возрастам, данными первоначального накопления и годового расхода N и K₀ (или N и R₆₂) и использования цикла до определенного возрастного предела.

Мы же упростим получение итогового результата, полагая, что годовой расход определяет средний коэффициент за десять лет после выхода на пенсию: с 63 до 72 лет. Он равен 0,082627. Средние годовые выплаты составляют

R_ср=N*r_ср=4500000*0,082627=371821,5 тенге.

Определим число лет выплат.

n=N:R_ср=4500000:371821,5=12 лет,

при месячных выплатах в 371821,5:12=30985,1 тенге.

Итак, мужчина сможет обеспечить себе содержание на 12 лет из Накопительного Пенсионного Фонда, если порядок выплат не изменится за это время.

Для женщин исходные условия будут другими

k = 58-23 = 35,

N₃₅= 12000*1,16³⁵= 12000*180,314 = 2,2 миллиона.

Средняя величина коэффициента за 10 лет: с 58 до 67 лет равна

r_ср=0,06835.

ТогдаR_ср=N*r_ср=2200000*006835=150370.

Определим число лет выплат.

n=N:R_ср=2200000:150370=14,6 лет

при месячных выплатах в 150370:12=12531 тенге.

Сравнивая итоговые результаты расчетов для мужчин и для женщин, можно предположить, чтоженщинам потребуется дополнительная социальная поддержка в старости. К тому же и продолжительность жизни их выше, чем у мужчин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно – измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удаётся проводить – крайне редко, проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.

Конечно, предложенные расчеты могут отражать лишь приблизительную картину будущего. Ведь помимо чисто вычислительных аспектов существует множество других факторов, которые могут сыграть как положительную, так и отрицательную роль: подъемы и кризисы в экономике, политическая стабильность и другое. Тем не мене, выводы по проведенным математическим выкладкам можно считать достаточно оптимистическими. Дело в том, что реально отчисления с ростом зарплаты будут расти, а на доходность пенсионных накоплений влияет подъем в экономике, который существует в нашем государстве.

Каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, её физические особенности), а с другой – дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности

Литература

1. Н. А. Назарбаев “Казахстан 2030. Процветание, безопасность и улучшение благосостояния всех казахстанцев.” Послание Президента Республики Казахстан народу Казахстана,1997 год.

2.Конституция (Основной Закон) Республики Казахстан.

3.Закон Республики Казахстан “О труде”.

4.Статистический ежегодник за 2001 год, Агентство Республики Казахстан по статистике, Алматы, 2001 год.

5.Лысенкер Л. Ш., Лысенкер Э. М. Основы бизнес-математики, “Мектеп”, Алматы, 2001 год.

6.Лысенкер Л. Ш., Лысенкер Э. М., Основы рыночной экономики, “Рауан”, Алматы, 1997 год.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/36136-pensionnye-nakoplenija-s-tochki-zrenija-matem