Конспект урока «Виды уравнений ,изучаемых в школьном курсе математики»

МБОУ «СОШ им.М.М.Рудченко с.Перелюб

Перелюбского муниципального района Саратовской области»

Исследовательский проект:

«Виды уравнений и способы их решений»

Выполнила: Сапьянова Екатерина

ученица 10 «а» класса

Руководитель:

учитель математики:

Сапьянова Лидия Ивановна

Перелюб 2019

Паспорт проектной работы

Автор работы: Сапьянова Екатерина

Руководитель работы:Сапьянова Лидия Ивановна

Консультанты работы :

Тема:«Виды уравнений и способы их решения»

Проблема: Можно ли научиться решать уравнения, изучив наиболее рациональные и интересные способы их решения?

Актуальность: Данная тема позволяет расширить знания по математике, которые необходимы каждому человеку, независимо от того, кем он станет в будущем: рабочим, механизатором, врачом, офицером, учителем или учёным.

Научная значимость: обобщить и расширить знания о видахуравнений и способах их решения

Социальная значимость:

Личная значимость: повторить решение уравнений, изучить новые виды уравнения

Практическая значимость: знания можно использовать в различных решениях рациональных уравнений

Форма продукта: Реферат

Область исследования:

Объект исследования: Математика

Предмет исследования: Уравнения и способы их решения

Вид проекта по характеру деятельности учащегося:поисковый

Вид проекта по характеру контакта:индивидуальный

Вид продукта по продолжительности: Годовой

Цель работы: Систематизировать ᅟиᅟобобщитьᅟзнанияᅟпоᅟтеме:

видыᅟуравненийᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения

Задачиᅟработы:

Сформулироватьᅟпонятиеᅟ«Видыᅟуравненийᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения»

Узнатьᅟкакие ᅟсуществуютᅟвидыᅟуравнений

Алгоритмᅟрешенияᅟразличныхᅟвидовᅟуравнений

Гипотеза:ᅟсуществуют ᅟᅟразличные ᅟметодыᅟрешений ᅟуравнений,

изучаемых ᅟвᅟшколе.

Методыᅟисследования:ᅟОписание,ᅟизучение,ᅟспособыᅟрешения

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟОглавление

*Паспортᅟпроекта

Введение

Цели……………………………………………..4стр

Актуальность………………………………...…4стр

Задачи…………………………………………...4стр

Объектᅟисследования………....……………......4стр

Предмет ᅟисследования…………...……………4стр

*План проекта

Основнаяᅟчасть
1ᅟПонятиеᅟ«Видыᅟуравненийᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения»..6стр

2.Видыᅟуравнений………………………………………...7стр

2.1 ᅟАлгебраическиеᅟуравнения………………………….7-14стр

2.2ᅟТрансцендентныеᅟуравнения………………………....15-16стр

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ3.Алгоритмᅟрешенияᅟразличныхᅟвидовᅟуравнений

Заключение………………………………………………..17стр

Списокᅟлитературы……………………………………….18стр

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ

ᅟᅟᅟВведение

Математическоеᅟобразование,ᅟполучаемоеᅟвᅟобщеобразовательнойᅟшколе,ᅟявляетсяᅟважнейшимᅟкомпонентомᅟобщегоᅟобразованияᅟиᅟобщейᅟкультурыᅟсовременногоᅟчеловека.ᅟПрактическиᅟвсе,ᅟчтоᅟокружаетᅟсовременногоᅟчеловекаᅟ–ᅟэто ᅟвсеᅟтакᅟилиᅟиначеᅟсвязаноᅟсᅟматематикой.ᅟАᅟпоследниеᅟдостиженияᅟвᅟфизике,ᅟтехникеᅟиᅟинформационныхᅟтехнологияхᅟнеᅟоставляютᅟникакогоᅟсомнения,ᅟчтоᅟиᅟвᅟбудущемᅟположениеᅟвещейᅟостанетсяᅟпрежним.ᅟПоэтомуᅟрешениеᅟмногихᅟпрактическихᅟзадачᅟсводитсяᅟкᅟрешениюᅟразличныхᅟвидовᅟуравнений,ᅟкоторыеᅟнеобходимоᅟнаучитьсяᅟрешать. ᅟ

Даннаяᅟработаᅟявляетсяᅟпопыткойᅟобобщитьᅟиᅟсистематизироватьᅟизученныйᅟматериалᅟпоᅟвышеᅟуказаннойᅟтеме.ᅟЯᅟрасположилаᅟматериалᅟпоᅟстепениᅟегоᅟсложности,ᅟначинаяᅟсᅟсамогоᅟпростого. ᅟВᅟнегоᅟвошлиᅟкакᅟизвестныеᅟнамᅟвидыᅟуравненийᅟизᅟшкольногоᅟкурсᅟалгебры,ᅟтакᅟиᅟдополнительныйᅟматериал.ᅟПриᅟэтомᅟяᅟпопыталасьᅟпоказатьᅟвидыᅟуравнений,ᅟкоторыеᅟᅟизучаютсяᅟвᅟстаршихᅟклассахᅟшкольногоᅟкурса,ᅟзнаниеᅟкоторыхᅟᅟпонадобитьсяᅟпри сдаче ОГЭ и ЕГЭ и ᅟпоступленииᅟвᅟвысшееᅟучебноеᅟзаведение.

Цели:Систематизироватьᅟиᅟобобщитьᅟзнанияᅟпоᅟтеме: ᅟвидыᅟуравненийᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения

Актуальность:ᅟДаннаяᅟтемаᅟпомогаетᅟрасширитьᅟᅟзнанияᅟпоᅟматематике,ᅟкоторыеᅟнеобходимыᅟкаждомуᅟчеловеку,ᅟнезависимоᅟотᅟтого, ᅟкемᅟонᅟстанетᅟвᅟбудущем:ᅟᅟмеханизаторомᅟилиᅟврачом, ᅟучителемᅟилиᅟучёным. ᅟ

Задачи:

Сформулироватьᅟпонятиеᅟ«Видыᅟуравненийᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения»

Узнатьᅟкакиеᅟсуществуютᅟвидыᅟуравнений ᅟ

Алгоритмᅟрешенияᅟразличныхᅟвидовᅟуравнений

Объектᅟисследования:ᅟМатематика

Предметᅟисследования:ᅟУравненияᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения

Этапы и календарный план выполнения исследовательской работы

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ

ᅟᅟОсновнаяᅟчасть

Главаᅟ1.Понятиеᅟ«Видыᅟуравненийᅟиᅟспособыᅟихᅟрешения»

Уравнениеᅟ–ᅟэтоᅟравенство,ᅟкотороеᅟвыполняетсяᅟлишьᅟприᅟнекоторыхᅟзначенияхᅟвходящихᅟвᅟнегоᅟбукв.ᅟБуквы,ᅟвходящиеᅟвᅟуравнение,ᅟпоᅟусловиюᅟзадачиᅟмогутᅟбытьᅟнеравноправны:ᅟодниᅟмогутᅟприниматьᅟвсеᅟсвоиᅟдопустимыеᅟзначенияᅟ(ихᅟназываютᅟпараметрамиᅟили ᅟкоэффициентамиᅟуравнения ᅟ

Историяᅟизученияᅟуравненийᅟнасчитываетᅟмногоᅟвеков.ᅟСамымиᅟизвестнымиᅟматематиками,ᅟвнесшимиᅟвкладᅟвᅟразвитиеᅟтеорииᅟуравнений,ᅟбыли:

Архимедᅟ(околоᅟ287–212ᅟдоᅟн.ᅟэ.ᅟ)ᅟ-ᅟдревнегреческийᅟученый.ᅟПриᅟисследованииᅟоднойᅟзадачи, ᅟкотораяᅟсводится ᅟкᅟкубическомуᅟуравнению,ᅟАрхимедᅟвыяснилᅟрольᅟхарактеристики,ᅟкотораяᅟпозже ᅟполучилаᅟназваниеᅟдискриминант.

ᅟФрансуаᅟВиетᅟжилᅟвᅟXVI ᅟв. ᅟОнᅟвнесᅟбольшойᅟвкладᅟвᅟизучениеᅟматематики.ᅟВᅟчастности,ᅟонᅟввелᅟбуквенныеᅟобозначенияᅟкоэффициентовᅟуравненияᅟиᅟустановилᅟсвязьᅟмеждуᅟкорнямиᅟквадратногоᅟуравнения.ᅟᅟ

ᅟЛеонардᅟЭйлерᅟ(1707ᅟ–ᅟ1783)ᅟ-ᅟматематик.ᅟАвторᅟсв.ᅟ800ᅟработᅟпоᅟᅟматематическомуᅟанализу,ᅟдифференциальныхᅟуравнений,ᅟгеометрии,ᅟиᅟт.ᅟд.ᅟОказалᅟзначительноеᅟвлияние ᅟнаᅟразвитиеᅟнауки.ᅟВывелᅟформулыᅟ(ФормулыᅟЭйлера),ᅟвыражающиеᅟтригонометрическиеᅟфункцииᅟпеременного ᅟхᅟчерезᅟпоказательнуюᅟфункцию.ᅟᅟᅟᅟᅟНеᅟсмотряᅟнаᅟто,ᅟчтоᅟученыеᅟдавноᅟизучаютᅟуравнения,ᅟнауке ᅟнеᅟизвестно,ᅟкакᅟиᅟкогдаᅟуᅟлюдейᅟвозниклаᅟнеобходимостьᅟиспользоватьᅟуравнения.ᅟИзвестноᅟтолькоᅟто,ᅟчто ᅟлюди ᅟначалиᅟрешатьᅟуравнения ᅟсᅟтогоᅟвремени,ᅟкакᅟсталиᅟлюдьми.ᅟЕщеᅟ3ᅟ-ᅟ4ᅟтысячиᅟлет ᅟдоᅟн.ᅟэ. ᅟегиптянеᅟиᅟвавилонянеᅟумелиᅟрешатьᅟуравнения.ᅟПравилоᅟрешенияᅟуравнений,ᅟсовпадаетᅟс ᅟсовременным,ᅟноᅟнеизвестно,ᅟкакᅟониᅟдоᅟэтогоᅟдошли.

Главаᅟ2:ᅟВидыᅟуравнений,ᅟизучаемыхᅟвᅟстаршихᅟклассах ᅟшкольногоᅟкурсаᅟматематики.

уравнения.ᅟАлгебраическиеᅟуравнения

Линейноеᅟуравнение.

Линейнымᅟуравнениемᅟназываетсяᅟуравнениеᅟпервойᅟстепени.

,

где ᅟaᅟи ᅟbᅟ–ᅟнекоторыеᅟдействительныеᅟчисла.

Квадратноеᅟуравнение

Алгебраическоеᅟуравнениеᅟвторойᅟстепени.

,

где ᅟ, ᅟ, ᅟ ᅟ–ᅟнекоторыеᅟдействительныеᅟчисла,ᅟназываетсяᅟквадратнымᅟуравнением.ᅟЕсли ᅟ,ᅟтоᅟквадратноеᅟуравнение ᅟᅟназывается ᅟприведенным.

Кубическиеᅟуравнения

Еслиᅟквадратныеᅟуравненияᅟумелиᅟрешатьᅟещеᅟматематики ᅟВавилонииᅟизᅟДревнейᅟИндии,ᅟтоᅟкубические,ᅟт.е.ᅟуравненияᅟвида

,ᅟгде ᅟ,

оказалисьᅟ"крепкимᅟорешком".ᅟВᅟконцеᅟXV ᅟв. ᅟпрофессорᅟматематикиᅟвᅟуниверситетахᅟРимаᅟиᅟМиланаᅟЛука ᅟПачолиᅟвᅟсвоемᅟзнаменитомᅟучебникеᅟ"Суммаᅟзнанийᅟпоᅟарифметике,ᅟгеометрии,ᅟотношениямᅟиᅟпропорциональности"ᅟзадачуᅟоᅟнахожденииᅟобщегоᅟметодаᅟдляᅟрешенияᅟкубическихᅟуравненийᅟставилᅟвᅟодинᅟрядᅟсᅟзадачейᅟоᅟквадратуреᅟкруга.ᅟИᅟвсеᅟжеᅟусилиямиᅟитальянских ᅟматематиков ᅟтакойᅟметодᅟвскореᅟбылᅟнайден.

.ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟРациональныеᅟалгебраическиеᅟуравнения

Рациональнымᅟалгебраическимᅟуравнениемᅟназываетсяᅟуравнениеᅟвида

,

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟИррациональныеᅟуравнения

Уравнение,ᅟсодержащееᅟнеизвестноеᅟ(либоᅟрациональноеᅟалгебраическоеᅟвыражениеᅟотᅟнеизвестного)ᅟподᅟзнакомᅟрадикала,ᅟназывают ᅟиррациональнымᅟуравнением.ᅟВᅟэлементарнойᅟматематикеᅟрешенияᅟиррациональныхᅟуравненийᅟотыскивается ᅟвᅟмножествеᅟдействительныхᅟчисел.

Трансцендентныеᅟуравнения

Уравнение,ᅟнеᅟсводящеесяᅟкᅟалгебраическомуᅟуравнениюᅟсᅟпомощьюᅟалгебраическихᅟпреобразований,ᅟназывается ᅟтрансцендентнымᅟуравнением.

Простешимиᅟтрансцендентнымиᅟуравнениямиᅟявляютсяᅟпоказательные,ᅟлогарифмическиеᅟиᅟтригонометрическиеᅟуравнения.

Показательныеᅟуравнения

Показательнымᅟуравнениемᅟназываетсяᅟуравнение,ᅟвᅟкоторомᅟнеизвестноеᅟвходитᅟтолькоᅟвᅟпоказателиᅟстепенейᅟприᅟнекоторыхᅟпостоянныхᅟоснованиях.

Логарифмическиеᅟуравнения

Логарифмическимᅟуравнениемᅟназываетсяᅟуравнение,ᅟвᅟкоторомᅟнеизвестноеᅟвходитᅟвᅟвидеᅟаргументаᅟлогарифмическойᅟфункции.

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟТригонометрическиеᅟуравнения

Тригонометрическиеᅟуравнения -ᅟэтоᅟуравнения,ᅟвᅟкоторыхᅟнеизвестнаяᅟнаходитсяᅟстрогоᅟподᅟзнакомᅟтригонометрическойᅟфункции

Например:6cos2x+5sinx−7=0

Такᅟчтоᅟоченьᅟважно,ᅟяᅟбыᅟдажеᅟсказал,ᅟжизненноᅟнеобходимоᅟнаучитьсяᅟрешатьᅟпростейшиеᅟуравнения,ᅟибоᅟониᅟ–ᅟфундаментᅟдляᅟрешенияᅟсложныхᅟпримеров.

Болееᅟтого,ᅟпростейшиеᅟтригонометрическиеᅟуравненияᅟмогутᅟвстретиться ДОᅟЧЕТЫРЕХᅟРАЗᅟвᅟзаданияхᅟЕГЭ:

-ᅟэтоᅟможетᅟбытьᅟзадачаᅟB5ᅟ(простейшееᅟтригонометрическоеᅟуравнениеᅟ–ᅟвстречаетсяᅟвремяᅟотᅟвремени),

-ᅟB14ᅟ(вᅟконечном ᅟсчётеᅟсводитсяᅟкᅟрешениюᅟпростейшегоᅟтригонометрическогоᅟуравненияᅟ–ᅟОЧЕНЬᅟЧАСТОᅟВСТРЕЧАЕТСЯᅟВᅟЕГЭ),

-ᅟB12ᅟ(задачаᅟсᅟприкладнымᅟсодержанием,ᅟкотораяᅟвключаетᅟвᅟсебяᅟрешениеᅟтригонометрическогоᅟуравненияᅟ–ᅟвстречаетсяᅟизредка),

-ᅟС1ᅟ(решениеᅟтригонометрическогоᅟуравненияᅟсреднейᅟсложностиᅟ–ᅟОЧЕНЬᅟЧАСТО,ᅟПРАКТИЧЕСКИᅟВСЕГДА!).

Естьᅟдваᅟспособаᅟрешенияᅟтригонометрическихᅟуравненийᅟ– черезᅟформулыᅟиᅟпоᅟкругу.

Линейноеᅟуравнение

Линейноеᅟуравнениеᅟвсегдаᅟимеетᅟединственныйᅟкорень ᅟ,ᅟкоторыйᅟнаходитсяᅟследующимᅟобразом.

Прибавляяᅟкᅟобеимᅟчастямᅟуравнения ᅟчисло ᅟ,ᅟполучаемᅟуравнение

,(2)

эквивалентноеᅟуравнениюᅟ.ᅟРазделивᅟобеᅟчастиᅟуравнения ᅟнаᅟвеличину ᅟ,ᅟполучаемᅟкореньᅟуравнения: ᅟ

.

Квадратноеᅟуравнение

Корниᅟквадратногоᅟуравненияᅟвычисляютсяᅟпоᅟформуле ᅟ

,

Выражение ᅟ ᅟназывается ᅟдискриминантомᅟквадратногоᅟуравнения.

Приᅟэтом: ᅟесли ᅟ,ᅟтоᅟуравнениеᅟимеетᅟдваᅟразличныхᅟдействительныхᅟкорня;

если ᅟ,ᅟтоᅟуравнениеᅟимеетᅟодинᅟдействительныйᅟкореньᅟкратностиᅟ2;

если ᅟ,ᅟтоᅟуравнениеᅟдействительныхᅟкорнейᅟнеᅟимеет,ᅟаᅟимеетᅟдваᅟкомплексноᅟсопряженныхᅟкорня:

, ,

Частными ᅟвидамиᅟквадратногоᅟуравнения ᅟᅟявляются:

1)ᅟПриведенноеᅟквадратноеᅟуравнениеᅟ(вᅟслучае,ᅟесли ᅟ),ᅟкотороеᅟобычноᅟзаписываетсяᅟвᅟвиде ᅟ

.

Корниᅟприведенногоᅟквадратногоᅟуравненияᅟвычисляютсяᅟпоᅟформуле ᅟ

.(4)

ЭтуᅟформулуᅟназываютᅟформулойᅟВиетаᅟ–ᅟпоᅟимениᅟфранцузскогоᅟматематикаᅟконцаᅟXVI ᅟв.,ᅟвнесшегоᅟзначительныйᅟвкладᅟвᅟстановлениеᅟалгебраическойᅟсимволики.

2)ᅟКвадратноеᅟуравнениеᅟсᅟчетнымᅟвторымᅟкоэффициентом,ᅟкотороеᅟобычноᅟзаписываетсяᅟвᅟвиде ᅟ

ᅟ(ᅟ-ᅟцелоеᅟчисло).

Корниᅟэтогоᅟквадратногоᅟуравненияᅟудобноᅟвычислятьᅟпоᅟформуле

.

Формулыᅟявляютсяᅟчастнымиᅟвидамиᅟформулыᅟдляᅟвычисленияᅟкорнейᅟполногоᅟквадратногоᅟуравнения.

Корниᅟприведенногоᅟквадратногоᅟуравнения:

связаныᅟсᅟегоᅟкоэффициентамиᅟФормуламиᅟВиета:ᅟ

Вᅟслучае,ᅟеслиᅟприведенноеᅟквадратноеᅟуравнениеᅟимеетᅟдействительныеᅟкорни,ᅟформулыᅟВиетаᅟпозволяютᅟсудитьᅟкакᅟоᅟзнаках,ᅟтакᅟиᅟобᅟотносительнойᅟвеличинеᅟкорнейᅟквадратногоᅟуравнения,ᅟаᅟименно:

если ᅟ, ᅟ,ᅟтоᅟобаᅟкорняᅟотрицательные; ᅟесли ᅟ, ᅟ,ᅟтоᅟобаᅟкорня ᅟположительные;если ᅟ, ᅟ,ᅟтоᅟуравнениеᅟимеетᅟкорниᅟразныхᅟзнаков,ᅟпричемᅟотрицательныйᅟкореньᅟпоᅟабсолютнойᅟвеличинеᅟбольше ᅟположительного;если ᅟ, ᅟ,ᅟуравнениеᅟимеетᅟкорниᅟразныхᅟзнаков,ᅟпричемᅟотрицательныйᅟкореньᅟпоᅟабсолютнойᅟвеличинеᅟменьшеᅟположительногоᅟкорня.

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ

Кубическиеᅟуравнения

Начнемᅟсᅟупрощения

Еслиᅟкубическоеᅟуравнениеᅟобщегоᅟвида

,ᅟгде ᅟ,

разделитьᅟна ᅟ,ᅟтоᅟкоэффициент ᅟпри ᅟ ᅟстанетᅟравенᅟ1.ᅟПоэтомуᅟвᅟдальнейшемᅟбудемᅟисходитьᅟизᅟуравнения ᅟ

.(11)

Такᅟжеᅟкакᅟвᅟосновеᅟрешенияᅟквадратногоᅟуравненияᅟлежитᅟформулаᅟквадратаᅟсуммы,ᅟрешениеᅟкубическогоᅟуравненияᅟопираетсяᅟнаᅟформулуᅟкубаᅟсуммы:

Чтобыᅟнеᅟпутатьсяᅟвᅟкоэффициентах,ᅟзаменимᅟздесь ᅟ ᅟна ᅟ ᅟиᅟперегруппируемᅟслагаемые:

.(12)

Мыᅟвидим,ᅟчтоᅟнадлежащимᅟвыбором ᅟ,ᅟаᅟименноᅟвзяв ᅟ,ᅟможноᅟдобитьсяᅟтого,ᅟчтоᅟправаяᅟчастьᅟэтойᅟформулыᅟбудетᅟотличатьсяᅟотᅟлевойᅟчастиᅟуравненияᅟ(11)ᅟтолькоᅟкоэффициентом ᅟпри ᅟ ᅟиᅟсвободнымᅟчленом.ᅟСложимᅟуравненияᅟ(11)ᅟиᅟ(12)ᅟиᅟприведемᅟподобные:

.

Еслиᅟздесьᅟсделатьᅟзамену ᅟ,ᅟполучимᅟкубическоеᅟуравнениеᅟотносительно ᅟ ᅟбезᅟчлена ᅟс ᅟ:

.

Итак,ᅟмыᅟпоказали,ᅟчтоᅟвᅟкубическомᅟуравнении,ᅟсᅟпомощьюᅟподходящейᅟподстановкиᅟможноᅟизбавитьсяᅟотᅟчлена,ᅟсодержащегоᅟквадратᅟнеизвестного.ᅟПоэтомуᅟтеперьᅟбудемᅟрешатьᅟуравнениеᅟвида

.

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟФормулаᅟКардано

Давайте еще раз обратимся ᅟкᅟформулеᅟкуба суммы,ᅟноᅟзапишемᅟееᅟиначе:

.

Сравнитеᅟэтуᅟзаписьᅟс ᅟуравнением ᅟиᅟпопробуйтеᅟустановитьᅟсвязьᅟмеждуᅟними.ᅟДажеᅟсᅟподсказкойᅟэтоᅟнепросто.ᅟНадоᅟотдатьᅟдолжноеᅟматематикамᅟэпохиᅟВозрождения,ᅟрешившимᅟкубическоеᅟуравнение,неᅟвладея буквенной ᅟсимволикой.ᅟПодставимᅟвᅟнашуᅟформулу ᅟ:

,ᅟили

.

Теперьᅟужеᅟясно:ᅟдляᅟтого,ᅟчтобыᅟнайтиᅟкореньᅟуравнения ᅟ,ᅟдостаточноᅟрешитьᅟсистемуᅟуравнений ᅟ

ᅟили ᅟ

иᅟвзятьᅟвᅟкачествеᅟ ᅟсумму ᅟ ᅟиᅟ.ᅟЗаменой ᅟ,ᅟ ᅟэтаᅟсистемаᅟприводитсяᅟкᅟсовсемᅟпростомуᅟвиду:

Дальшеᅟможноᅟдействоватьᅟпо-разному,ᅟноᅟвсеᅟ"дороги"ᅟприведутᅟкᅟодномуᅟи ᅟтомуᅟжеᅟквадратномуᅟуравнению..ᅟОтсюдаᅟследует,ᅟчто ᅟ ᅟи ᅟ ᅟ-ᅟкорниᅟуравнения

.

Выпишемᅟэтиᅟкорни

Переменные ᅟ ᅟиᅟᅟравныᅟкубическимᅟкорням ᅟиз ᅟ ᅟи ᅟ,ᅟа ᅟискомоеᅟрешениеᅟкубическогоᅟуравненияᅟ(13)ᅟ–ᅟсуммаᅟэтихᅟкорней:

.

Этаᅟформулаᅟизвестнаяᅟкак ᅟформула ᅟКардано

Рациональныеᅟалгебраическиеᅟуравнения

Методᅟрешенияᅟуравненияᅟᅟзаключаетсяᅟвᅟследующем.ᅟРешаемᅟуравнение

,

корниᅟкоторогоᅟобозначимᅟчерез

.

Сравниваемᅟмножестваᅟкорнейᅟмногочленов ᅟ ᅟи ᅟ.ᅟЕслиᅟникакойᅟкореньᅟмногочлена ᅟ ᅟнеᅟявляетсяᅟкорнемᅟмногочлена ᅟ,ᅟтоᅟвсеᅟкорниᅟмногочлена ᅟ ᅟявляютсяᅟкорнямиᅟуравненияᅟ.ᅟЕслиᅟкакой-нибудьᅟкореньᅟмногочлена ᅟ ᅟявляетсяᅟкорнемᅟмногочлена ,ᅟтоᅟнеобходимоᅟсравнитьᅟизᅟкратности:ᅟеслиᅟкратностьᅟкорняᅟмногочлена ᅟ ᅟбольшеᅟкратностиᅟкорняᅟмногочлена ᅟ,ᅟтоᅟэтотᅟкореньᅟявляетсяᅟкорнем ᅟсᅟкратностью,ᅟравнойᅟразностиᅟкратностейᅟкорнейᅟделимогоᅟиᅟделителя;ᅟвᅟпротивномᅟслучаеᅟкореньᅟмногочлена ᅟ ᅟнеᅟявляетсяᅟкорнемᅟрациональногоᅟуравнения ᅟ

Иррациональныеᅟуравнения

Всякоеᅟиррациональноеᅟуравнениеᅟсᅟпомощьюᅟэлементарныхᅟалгебраическихᅟоперацийᅟ(умножение,ᅟделение,ᅟвозведениеᅟвᅟцелуюᅟстепеньᅟобеихᅟчастейᅟуравнения)ᅟможетᅟбытьᅟсведеноᅟкᅟрациональномуᅟалгебраическомуᅟуравнению.ᅟПриᅟэтомᅟследуетᅟиметьᅟвᅟвиду,ᅟчтоᅟполученноеᅟрациональноеᅟалгебраическоеᅟуравнениеᅟможетᅟоказатьсяᅟнеэквивалентнымᅟисходномуᅟиррациональномуᅟуравнению,ᅟаᅟименноᅟможетᅟсодержатьᅟ"лишние"ᅟкорни,ᅟкоторыеᅟнеᅟбудутᅟкорнямиᅟисходногоᅟиррациональногоᅟуравнения.ᅟПоэтому,ᅟнайдяᅟкорниᅟполученногоᅟрациональногоᅟалгебраическогоᅟуравнения,ᅟнеобходимоᅟпроверить,ᅟаᅟбудутᅟлиᅟвсеᅟкорниᅟрациональногоᅟуравненияᅟкорнямиᅟиррациональногоᅟуравнения..

Приведемᅟнекоторыеᅟстандартные,ᅟнаиболееᅟчастоᅟприменяемыеᅟметодыᅟрешенияᅟиррациональныхᅟалгебраическихᅟуравнений.

1)ᅟОднимᅟизᅟсамыхᅟпростыхᅟприемовᅟрешенияᅟиррациональныхᅟуравненийᅟявляетсяᅟметодᅟосвобожденияᅟотᅟрадикаловᅟпутемᅟпоследовательногоᅟвозведенияᅟобеихᅟчастейᅟуравненияᅟвᅟсоответствующуюᅟнатуральнуюᅟстепень.ᅟПриᅟэтомᅟследуетᅟиметьᅟвᅟвиду,ᅟчтоᅟприᅟвозведенииᅟобеихᅟчастейᅟуравненияᅟвᅟнечетнуюᅟстепеньᅟполученноеᅟуравнение,ᅟэквивалентноеᅟисходному,ᅟаᅟприᅟвозведенииᅟобеихᅟчастейᅟуравненияᅟв ᅟчетнуюᅟстепеньᅟполученноеᅟуравнениеᅟбудет,ᅟвообщеᅟговоря,ᅟнеэквивалентнымᅟисходномуᅟуравнению.ᅟВᅟэтомᅟлегкоᅟубедиться,ᅟвозведяᅟобеᅟчастиᅟуравнения

вᅟлюбуюᅟчетнуюᅟстепень.ᅟВᅟрезультатеᅟэтойᅟоперацииᅟполучаетсяᅟуравнение

множество ᅟрешенийᅟкоторогоᅟпредставляетᅟсобойᅟобъединениеᅟмножествᅟрешений:

ᅟи ᅟ.

Однако,ᅟнесмотряᅟнаᅟэтотᅟнедостаток,ᅟименноᅟпроцедураᅟвозведенияᅟобеихᅟчастейᅟуравненияᅟвᅟнекоторуюᅟ(частоᅟчетную)ᅟстепеньᅟявляетсяᅟсамойᅟраспространеннойᅟпроцедуройᅟсведенияᅟиррациональногоᅟуравненияᅟкᅟрациональномуᅟуравнению.

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟТрансцендентныеᅟуравнения

Показательныеᅟуравнения

Простейшимᅟпоказательнымᅟуравнением,ᅟрешениеᅟкоторогоᅟсводитсяᅟкᅟрешениюᅟалгебраическогоᅟуравнения,ᅟявляетсяᅟуравнениеᅟвида

,

где ᅟ ᅟи ᅟ ᅟ-ᅟнекоторыеᅟположительныеᅟчисла ᅟ.ᅟПоказательноеᅟуравнениеᅟэквивалентноᅟалгебраическомуᅟуравнению

.

Вᅟпростейшемᅟслучае,ᅟкогда ᅟ,ᅟпоказательноеᅟуравнениеᅟᅟимеетᅟрешение

Множествоᅟрешенийᅟпоказательногоᅟуравненияᅟвида

,

где ᅟ ᅟ-ᅟнекоторыйᅟмногочлен,ᅟнаходитсяᅟследующимᅟобразом.

Вводитсяᅟноваяᅟпеременная ᅟ,ᅟиᅟуравнение ᅟᅟрешаетсяᅟкакᅟалгебраическоеᅟотносительноᅟнеизвестного ᅟ.ᅟПослеᅟэтого ᅟрешениеᅟисходногоᅟуравнения ᅟᅟсводитсяᅟкᅟрешениюᅟпростейшихᅟпоказательныхᅟуравнений.

Логарифмическиеᅟуравнения

Простейшимᅟлогарифмическимᅟуравнениемᅟявляетсяᅟуравнениеᅟвида

,

где ᅟ ᅟ-ᅟнекотороеᅟположительноᅟчисло,ᅟотличноеᅟотᅟединицы, ᅟ ᅟ-ᅟлюбоеᅟдействительноеᅟчисло.ᅟЛогарифмическоеᅟуравнение ᅟᅟэквивалентноᅟалгебраическомуᅟуравнению

.Вᅟпростейшемᅟслучае,ᅟкогда ᅟ,ᅟлогарифмическоеᅟуравнение ᅟимеетᅟрешение

Множествоᅟрешенийᅟлогарифмическогоᅟуравненияᅟвида ᅟ,ᅟгде ᅟ ᅟ-ᅟнекоторыйᅟмногочленᅟуказанногоᅟнеизвестного,ᅟнаходитсяᅟследующимᅟобразом.

Вводитсяᅟноваяᅟпеременная ᅟ,ᅟиᅟуравнение ᅟрешаетсяᅟкакᅟалгебраическоеᅟуравнениеᅟотносительно ᅟ.ᅟПослеᅟэтогоᅟрешаютсяᅟпростейшиеᅟлогарифмическиеᅟуравнения.ᅟ

ᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟᅟ

ᅟᅟᅟᅟТригонометрическиеᅟуравнения

Основнымиᅟметодамиᅟрешенияᅟтригонометрическихᅟуравненийᅟявляются:ᅟсведениеᅟуравненийᅟкᅟпростейшимᅟ(сᅟиспользованиемᅟтригонометрическихᅟформул),ᅟвведениеᅟновыхᅟпеременных,ᅟразложениеᅟнаᅟмножители.ᅟРассмотримᅟихᅟприменениеᅟнаᅟпримерах.ᅟОбратитеᅟвниманиеᅟнаᅟоформлениеᅟзаписиᅟрешенийᅟтригонометрическихᅟуравнений.

Необходимымᅟусловиемᅟуспешногоᅟрешенияᅟтригонометрическихᅟуравненийᅟявляется ᅟзнаниеᅟтригонометрическихᅟформул.

Заключение

Математика,ᅟкакᅟиᅟлюбаяᅟдругаяᅟнаукаᅟнеᅟстоитᅟнаᅟместе,ᅟвместеᅟсᅟразвитиемᅟобществаᅟменяютсяᅟиᅟвзглядыᅟлюдей,ᅟвозникаютᅟновыеᅟмыслиᅟи ᅟидеи.Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что данный материал может послужить неплохим справочным материалом для решения тех или иных уравнений при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Список использованной литературы

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. (Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с).

https://yourtutor.info/тригонометрия-на-егэ-по-математике

https://youclever.org/book/trigonometricheskie-uravneniya-1

https://multiurok.ru/files/vidy-uravnienii-i-mietody-ikh-rieshieniia.html

Глав. ред. М. Д. Аксенова. (Энциклопедия для учащихся. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 2017. – 621 с.)

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/363783-konspekt-uroka-vidy-uravnenij-izuchaemyh-v-sh