Урок по математике профильного курса «Решение задач с параметром методом областей»

Урок предпрофильного курса по теме: «Метод областей как один их самых рациональных методов решения неравенств и систем неравенств с параметрами».

«Крупное научное открытие даёт  решение крупной проблемы , но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»

Блез Паскаль.(слайд 1, 2).

Проблема исследования на уроке: подтверждение гипотезы о том, что метод областей является методом интервалов на плоскости.

Предметом исследования являются неравенства и системы неравенств, содержащие параметры, и методы их решения.(слайд3).

Цели исследования : ( слайды 4, 5).

1.Рассмотреть метод областей как один из приемов решения неравенств и систем неравенств на плоскости..

2. Показать типы задач, которые могут быть решены с помощью данного метода.

3. Научить ребят выбирать те задачи, которые можно решить этим методом.

Ход занятия.

1. Учитель предлагает решить неравенство ≤ 0.

Вспоминаем: какой способ решения дробно-рациональных неравенств мы знаем. И пробуем решить с помощью метода интервалов в группах. Убеждаемся, что применение метода интервалов уже в этом случае затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. Встает вопрос о том, а можно ли по-другому решить данное неравенство, не прибегая к сравнениям. В этой ситуации нам может помочь метод областей.

1. Учитель сообщает тему урока и рассматривает алгоритм решения неравенств и систем неравенств с параметром методом областей.

Итак, при решении неравенств «методом областей» необходимо: ( слайд 6).

• разложить данное неравенство на множители;

• найти и построить уравнения заданных функций, разбивающих координатную плоскость на «частичные области»;

• определить знак неравенства в каждой из получившихся областей;

• ответить на заданный вопрос.

Выясняем общее и различия данного метода с методом интервалов.

После этого объясняю решение примера 1, используя слайд 7.

Пример 1.Найти все значения а, при которых неравенство

₍₁₎ выполняется для всех хиз промежутка 2 ≤ х≤ 3. (2)

Решение. Найдем решение неравенства (1).

На КП-плоскости числитель обращается в нуль на прямой х = 3а + 1, а знаменатель - на прямой х = 2– 2а. Эти прямые разбивают КП-плоскость на четыре частичные области I–IV.

В каждой из частичных областей выражениеF(a,x) с двумя переменными сохраняет знак и меняет его при переходе через границы этих областей. Чтобы установить знакF(a,x) в какой-либо из областей I-IV, достаточно взять любую точку из этой области.

Например, при а = 1, х = 2, F(1, 2) 0. Следовательно, всюду в I области

F(a,x)0.

Аналогично, определяя знак выражения F(a,x)в других областях, получим, что неравенство выполняется в I и III областях, причем граница х = 3а + 1 является его решением, а граница х = 2– 2а не принадлежит множеству решений рассматриваемого неравенства .

П ересечение данного множества с множеством точек, удовлетворяющих неравенству (2) дает решение неравенства (1) на промежутке 2 ≤ х≤ 3.

Следовательно, неравенство (1) выполняется сразу для всех х из промежутка (2) при

а < – и а ≥ _.

Ответ. а < – , а ≥ .

Следующий этап: применяем метод областей к решению системы неравенств. Для этого решаем пример 2 ( слайды 8, 9).

Пример 2.

Н айти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:

Н а плоскости (х;а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системе.

а )Рассмотрим

f(х;а)=

f(х;a)=0, если

f(1;0)=0-|1|=-1<0

б )

Р ассмотрим

f(х;а)=

f (х;a)=0, если

Это квадратичная функция, график – парабола,

Ветви вверх, вершина (1;-1) , х= 1 ось

симметрии. f(1;0)= 1² -2∙1-1=-2<0

Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение равно -1.

Ответ: -1.

Для закрепления метода областей идет работа в группах. Все решают пример 3. При необходимости обращаются за помощью к учителю. Затем проверяем решение с помощью презентации. ( слайды 10, 11).

После этого я прошу по группам выбрать в предложенных сборниках ЕГЭ те задания, которые можно решить с помощью данного метода. Эти задания я даю группам на дом для того, чтобы к следующему уроку они подготовили проект от группы.

. В ходе работы делаем вывод, что более простым является метод областей. Кроме этого метод позволяет решить большее количество задач. Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этого задания методом областей значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение.

Прошу учеников определить общие признаки задач подходящих под рассматриваемые методы:

• В задаче дан один параметр а и одна переменная х.

• Они образуют некоторые аналитические выражения F(x,a),G(x,a).

• Графики уравнений F(x,a) =0, G(x,a) =0 строятся несложно.

И наконец-то делаем вывод, что метод областей является методом интервалов на плоскости. ( слайд 12).

IY.Рефлексия.

Учитель задает вопрос, что понравилось на уроке и предлагает 7 вариантов ответов: (слайд 13).

1.Возможность работать с товарищами в группе.

2.Интересные и занимательные задачи.

3.У меня все здорово получалось.

4.Необычная ситуация.

5.Одобрение учителя .

6.На практике применил свои знания.

Ученики высказывают свои мнения.

Урок заканчивается словами Леонардо да Винчи:

«Знания, не рождённые опытом, матерью всякой достоверности, бесплодны и полны ошибок». ( слайд 14).

Приложение 2 (презентация).

Домашнее задание.

Применение метода областей при подготовке к проекту для групп.

Пример 1.(Лысенко 2012 г.). (группа 1)

1. -= 0

D= - 4ас = - 4( ) = 9- 6а + 1 – 8+4а = - 2а + 1 = . Х1,2 = .

Х1 = == 2а – 1. х2 = = = а.

1. ( х – 2а + 1) (х – а) 0.

Используем метод областей.

Вводим прямоугольную систему координат аох и строим графики:

х – 2а + 1 = 0, х = 2а – 1.

х – а = 0, х = а.

1. Определяем знак 1 области. Возьмем точку (2;0)

(0 – 4 + 1) ( 0 – 2) 0, тогда во 2 обл. знак минус, в 3-ей – плюс, в 4-ой – минус.

1. П остроим график уравнения ах = 1.

Система имеет решения если а

а3 = 1, а1 найдем из уравнения = а,

= 1, а = ±1. а1 = -1, а3 = 1.

а2 найдем из уравнения

= 2а – 1.

2 - а = 1, 2 - а – 1 = 0.

а1,2 = = .

а1 = 1, а2= - .

Ответ: а .

Пример 2.(Лысенко 2012 г.) (группа 2).

1. = 0.

D= - 4ас = – 4(3– а) = 16 - 8а +1 - 12+ 4а= 4- 4а + 1 = .

1. Х1,2 = . Х1 = = = 3а – 1.

Х2 = = = а. (х – 3а + 1) (х – а)0.

Используем метод областей.

Вводим прямоугольную систему координат аОх и строим графики

х – 3а + 1 = 0, х = 3а – 1. х – а = 0, х = а.

Определяем знак 1 области. Возьмем точку (2;0): (0 – 6 + 1) (0 – 2) 0.

Знак в 1-ой четверти- плюс, во 2-ой знак минус, в 3-ей – плюс, в 4-ой – минус.

Построим график уравнения ах = 4, х = -гипербола

Система имеет решение если а .

а 1 и а4 найдем из уравнения = а, 4 = , а = 2 ,

Поэтому а1 = -2, а4 = 2.

а2 и а3 найдем из уравнения

= 3а -1, 4 = 3 - а,

3 - а – 4 = 0,

а2 = -1, а3 = 1 .

Ответ: а (-2; -1) (1; 2).

Пример 3. (ФИПИ 2011 г.). (группа 3).

Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств

и образуют на числовой оси отрезок длины единица.

Решение.

а ) Найдем а, при которых система неравенств (1) имеет решения:

П реобразуем систему:

а)

Рассмотрим

f(х;а)=

f (х;a)=0, если

Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх, вершина

(1; 0), х=1 ось симметрии. f(0;0)=1-0>0

б )

Р ассмотрим f(х;а)=

f(х;a)=0, если ,

Э то квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз, вершина

( 2; ), х=2 – ось симметрии. f(0;-1)=4-5-4=-5<0

Система неравенств имеет решение, если aϵ [0; ].

Р ешения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица,

при а=1 и а= ¼

Действительно, точки (½;¼) и (³∕₂;¼) принадлежат графику

а=(х-1)² , расстояние между ними равно |³∕₂ - ½|=1.

Расстояние между точками (1;1) и (2;1) графиков

а= -¹∕₆ (х-2)² +⁵∕₄ и

а=(х-1)² равно |2-1|=1.

Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица,

при а=1 и а= ¼

Ответ: а=1 и а= ¼

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/459959-urok-po-matematike-profilnogo-kursa-reshenie-