Разработка факультатива «Основы стереометрии»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 12 муниципального образования город-курорт Геленджик

Разработка факультатива

«Основы стереометрии»

Полилей Илья Александрович

(фамилия, имя, отчество)

учитель математики и информатики МАОУ СОШ № 12 им. Маршала Жукова г-к. Геленджик

Геленджик, 2020

Пояснительная записка

Изучение курса «Основы стереометрии» позволяет комплексно решать основные задачи:

• формирование устойчивых представлений о свойствах и закономерностях плоских фигур, перенося эти закономерности и отношения на фигуры в пространстве и реальные объекты окружающего мира;

• привитие и развитие навыков логических рассуждений;

• развитие пространственного представления, воображения и математической интуиции учащихся;

• развитие навыков анализа и синтеза;

• мотивирование занятий геометрией на более высоком уровне сложности с помощью заданий уровня возможностей, повышение тем самым информационной компетентности учащихся.

«Основы стереометрии» – это сложный предметно–ориентированный курс. Он предназначен, прежде всего, тем учащимся, которые в 10–м классе выберут математический профиль. Те же, кто сомневается в том, что он действительно имеет склонности или желание заниматься геометрией более глубоко, чем это предусматривает традиционный курс, смогут утвердиться в своем решении, не заниматься углублением знаний в этом направлении.

Данный курс геометрии построен на основе использования учебника «Геометрия 7 – 9» авт. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. и учебного пособия «Стереометрия 7 – 9» авт. А.Л.Вернер, Т.Г.Ходот (М.: Просвещение, 2016)

Ожидаемые результаты.

В результате изучения курса учащиеся должны научиться:

• распознавать на чертежах и моделях и моделях геометрические фигуры и тела, изображать их на чертеже;

• моделировать геометрические тела и объекты, различные свойства и ситуации, рассматриваемые на этих объектах;

• объяснять на моделях аксиомы стереометрии;

• проводить на моделях доказательства некоторых теорем стереометрии;

• выполнять чертежи по условию стереометрической задачи;

• решать несложные стереометрические задачи на применение планиметрических теорем;

• строить простейшие сечения стереометрических тел.

В результате изучения курса учащиеся должны представить собственноручно выполненные модели различных пирамид, цилиндра, конуса, а также выполнить итоговую работу на решение задач по данному курсу.

Методические рекомендации к проведению занятий.

Наличие общих свойств некоторых плоских и пространственных фигур позволяет проводить аналогию между плоскими и пространственными фигурами. Похожие друг на друга фигуры, планиметрические и стереометрические утверждения, наряду с их общностью, имеют свои различия на плоскости и в пространстве, что дает возможность широко включать задания с ошибкой и контрпримеры.

Большую роль в развитии мышления играет предельная аналогия, которая возникает в том случае, если предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с соответствующей системой свойств какого–нибудь другого математического объекта, т.к. мысленное представление изменяющихся фигур или их элементов положительно сказывается на развитие пространственного мышления и вносит динамичность в геометрию.

При изучении курса большую роль играют наглядно–деятельностные методы работы: много заданий связано с изготовлением разверток и моделей геометрических тел. Полезны занятия в форме лабораторных и практических работ, где путем практической деятельности (разрезания, склеивания, наложения) создается образ, объект рассмотрения, а затем в ходе исследования проявляются его свойства и закономерности.

В курсе факультатива «Основы стереометрии» заложены большие возможности организации дифференцированного подхода к обучению детей. Так как стереометрический материал является наглядным, то удается формировать интерес к занятиям геометрией у широкого круга обучающихся. Учащимся, имеющим положительные успехи в изучении планиметрии, стереометрический материал дает более глубокое представление об изучаемых объектах и их закономерностях.

Содержание курса

Таблица 2

План урока по теме «Многогранные тела и их объёмы».

Цель урока:

• образовательная: ввести понятие многогранника и его элементов;

• воспитательная: формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

• развивающая: развитие логического мышления, внимания, памяти, кругозора, определить роль и место многогранников в окружающем нас мире; выяснить, какие многогранники создала природа, а какие – человек;

Оборудование: доска, мел, чертёжные принадлежности, ноутбук, заготовки для моделирования многогранников (развёртки).

Ход урока.

Актуализация знаний: вспомнить тему и понятия, которые проходили на прошлом занятии (тела с параллельными элементами).

Изучение нового материала (проходит в форме решения проблемы, поставленной учителем).

Учителем ставится вопрос: как назвать объёмные тела с большим количеством граней?

Учитель формулирует понятие «многогранника» и приводит примеры из жизни, где встречаются многогранники. Рассказывает о свойствах многогранников. Вводятся элементы многогранников: грани, ребра, вершины, диагонали граней, диагонали многогранника.

В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2. Для закрепления понятий элементов многогранников следует с учащимися заполнить таблицу уже известных многогранников.

Таблица 1

Учитель предлагает ученикам взять на столах развёртки пирамиды и призмы и приступить к изготовлению многогранников (рис 1 и 2).

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году. Оно верно для любого произвольного многогранника.

Для общего развития учитель показывает на экране и рассказывает про Евклидовы тела – сложные правильные многогранники.

Существуют также невыпуклые многогранники.

В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360⁰. Доказать это можно с помощью разверток.

Решение задач:

1. В правильной n–угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6

2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Проверка усвоения нового материала 

Контрольные вопросы:

• Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.

• Какой многогранник называется выпуклым?

• Дан куб. Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?

• Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

• Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы выяснили, что такое многогранник, какие бывают многогранники и их свойства.

Домашнее задание:

Повторить изученный материал и на следующее занятие изготовить модели многогранников (на выбор 2 шт) без основания, для измерения и сравнения объёмов.

План урока по теме «Метрические соотношения в пространстве».

Цели урока: развитие навыков логических умозаключений, умения провести аналогию между свойствами фигур на плоскости и в пространстве на примере использования теоремы Пифагора для вычисления длины диагонали прямоугольного параллелепипеда; развитие инициативы учащихся и умения работать в группе.

Оборудование урока: доска, мел, карточки–задания для самостоятельной работы, чертежные инструменты, ноутбук.

Ход урока.

Актуализация знаний (в виде самостоятельной работы).

Вариант 1.

Найти длину диагонали прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см.

Вариант 2.

Найти длину диагонали квадрата со стороной 5 см.

Пока ученики решают задачи на местах, 2 ученика выполняют эти же задания на откидных крыльях доски. После проверки обеих задач повторяется формулировка теоремы Пифагора, и вспоминаются примеры применения ее при решении планиметрических задач.

Изучение нового материала (проходит в форме решения проблемы, поставленной учителем).

Учителем формулируется задача: можно ли, используя эту теорему, найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда?

Найдем длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5 см, 5 см и 10 см.

Один ученик решает у доски, остальные – в тетрадях.

Решая эту задачу, учащиеся находят прямоугольные треугольники в пространстве и, используя теорему Пифагора, находят длину диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Следующая задача: найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, в и с.

Эту задачу ребята решают в группах по 2 человека (по партам). Группа, первой завершившая работу, показывает решение учителю, и если оно верное, то один из учащихся показывает правильное решение на доске.

Оно обсуждается всеми учениками, другие группы вносят коррективы, дополнения. Формулируется теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда, которую учащиеся уже доказали в ходе решения последней задачи. Далее учитель предлагает сравнить длины диагоналей одного и того же параллелепипеда. В итоге обсуждения учащиеся делают вывод, что диагонали параллелепипеда равны.

Затем у доски решается задача о нахождении длины диагонали куба с ребром а.

Проверка усвоения нового материала в виде многовариантной самостоятельной работы.

Учащиеся сдают тетради на проверку, но учитель, проверяя, выявляет уровень усвоения темы и объявляет результаты ученикам на следующем уроке.

Подведение итогов урока.

Отвечая на вопросы учителя, учащиеся повторяют теорему Пифагора, известную им из планиметрии и формулируют теоремы и свойства, доказанные с ее помощью в пространстве.

Домашнее задание.

Изготовить модель прямоугольного параллелепипеда произвольных размеров и на ее поверхности записать решение задачи о нахождении диагонали этого параллелепипеда.

Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Постройте изображение правильной треугольной пирамиды и укажите на нем угол наклона ребра к основанию . Определите градусную меру этого угла, если , .

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 8 см. Вычислите:

а) площадь осевого сечения цилиндра;

б) объем цилиндра.

3. Найдите объем коробки, полученной сгибанием квадратного листа жести со стороной 24 см, из которого вырезаны по углам квадраты со стороной 4 см.

Вариант 2.

1. Постройте изображение правильной треугольной пирамиды АВСК и укажите на нем угол наклона ребра ВК к основанию . Определите градусную меру этого угла, если и высота пирамиды .

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 6 см. Вычислите:

а) площадь основания цилиндра;

б) объем цилиндра.

3. Найдите объем коробки, полученной сгибанием прямоугольного листа жести размером , из которого вырезаны квадраты со стороной 6.

Самостоятельная работа проверки нового материала.

Вариант 1.

1. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

2. В прямоугольном параллелепипеде   , , . Найдите

Вариант 2.

1. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

2. В прямоугольном параллелепипеде   ,  . Найдите .

Вариант 3.

1. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

2. В прямоугольном параллелепипеде  основание– квадрат, ,Найдите .

Вариант 4.

1. Найдите диагональ куба с ребром 25 см.

2. В прямоугольном параллелепипеде  боковая грань – квадрат, , м. Найдите .

Вариант 5.

1. Найдите диагональ куба с ребром .

2. В прямоугольном параллелепипеде   , , . Найдите

Вариант 6.

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 11м, 15м, 3м.

2. В прямоугольном параллелепипеде – квадрат со стороной 5 см, . Найдите _.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/476749-razrabotka-fakultativa-osnovy-stereometrii