Базовые задачи. Треугольник

ИТОГОВОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИК»

ЗАДАЧА 1.

Найти площадь треугольника АВС, если известны длины сторон треугольника а=12см, в=25 см, с=36 см.

РЕШЕНИЕ:

По формуле Герона имеем , где

Ответ: см²

ЗАДАЧА 2.

Найти cosА, sinВ, cos , если известны длины сторон треугольника а=12см, в=25 см, с=36 см.

РЕШЕНИЕ:

А) По теореме косинусов имеем а² = в² + с² - 2вс·cosА

Тогда cos А = (в² + с² - а²)/2вс

cos А = (25² + 36² - 12²)/2·25·36 =

Б) По теореме косинусов имеем в² = а² + с² - 2ас·cosВ

Тогда cos В = (а² + с² - в²)/2ас

cos В = (12² + 36² - 25²)/2·25·12 =

Далее используя формулу sin² В + cos² В = 1 , получаем

sinВ = √1- cos² В = =

В) соs =

Ответ: cos А= , sinВ= , соs =

ЗАДАЧА 3.

Найти R - радиус описанной около треугольника окружности.

РЕШЕНИЕ:

Имеем формулу нахождения площади треугольника черезR радиус описанной около треугольника окружности и длин трех сторон треугольника

Тогда

Подставляем значения и получаем следующее:

см

Ответ: см

ЗАДАЧА 4.

Найти r - радиус вписанной в треугольник окружности.

РЕШЕНИЕ:

Имеем формулу нахождения площади треугольника черезr радиус вписанной в треугольник окружности и длин трех сторон треугольника , где

Тогда

см

Ответ: см

ЗАДАЧА 5.

Найти mₐ - медиану АМ1

РЕШЕНИЕ:

По теореме косинусов имеем с² = в² + а² - 2ав· cosφ, где угол φ – это угол между стороной а и в.

Тогда получаем cosφ = (а² + в² - с²)/2ав (1)

Рассмотрим треугольник АСМ1

mₐ² = в² + (а²/4) – 2в· а·cosφ (2)

Далее подставим в формулу (2) формулу (1) и преобразуем выражения, получим формулу для нахождения длины медианы треугольника:

mₐ = ½ · (2в² + 2с² -а²)

Получаемmₐ = ½ · (2·25² +2·36² - 12²) =

Ответ: mₐ = см

ЗАДАЧА 6.

Найти lс -длину биссектрисы

Подставим в (1):

Ответ: см

ЗАДАЧА 7.

Найти СН₃ - длину высоту

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА 8.

Найти длину радиуса вписанной окружностиr_a , касающейся стороны а

.

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА 9.

Дано:

АВС,

АМ₁,ВМ₂,СМ₃ – медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти: SМ₁М₂М₃.

Решение:

АМ₁,ВМ₂ – медианы М₁ и М₂ – середины сторон ВС и АС М₁М₂ – средняя линия АВС. По свойству средней линии треугольника:

М₁М₂ || АВ и М₁М₂ = ½ АВ.

Аналогично:

М₂М₃ || ВС и М₂М₃ = ½ ВС,

М₁М₃ || АС и М₁М₃ = ½ АС.

 АВС  М₁М₂М₃ по III признаку – по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия k=½. Тогда, по свойству площадей подобных треугольников .

Отсюда имеем: . Т.к. k = ½, то .

Площадь АВС вычислим по формуле Герона: , где .

Вычислим полупериметр: .

Найдём площадь АВС:.

.

Ответ:.

ЗАДАЧА 10.

Дано:

АВС,

АМ₁,ВМ₂,СМ₃ – медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти: PМ₁М₂М₃.

Решение:

АМ₁,ВМ₂ – медианы М₁ и М₂ – середины сторон ВС и АС М₁М₂ – средняя линия АВС. По свойству средней линии треугольника:

М₁М₂ || АВ и М₁М₂ = ½ АВ.

Аналогично:

М₂М₃ || ВС и М₂М₃ = ½ ВС,

М₁М₃ || АС и М₁М₃ = ½ АС.

.

Ответ:.

ЗАДАЧА 11.

Д ано:

АВС,

АL₁,ВL₂,СL₃ – биссектрисы углов А,В и С,

АВ = 36, ВС = 12, АС = 25.

Найти: SL₁L₂L₃.

Решение:

Для удобства вычислений введём следующие обозначения:

BC = a,AC = b,AB = c;

CL₁ = a_b,BL₁ = a_c,CL₂ = b_a,AL₂ = b_c,BL₃ = c_a,AL₃ = c_b.

Выразим отрезки, на которые биссектрисы делят стороны, через стороны треугольника.

Т.к. биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилегающим сторонам, имеем: . Заменив a_c на разность a - a_b, выразим a_b через стороны треугольника: .

Аналогично выражаем остальные отрезки:

,,,,.

(1)

Используя свойство отношения площадей треугольников с общим углом выразим площади треугольников CL₁L₂, AL₂L₃ и BL₁L₃ через площадь треугольника АВС:

, , .

Подставим эти выражения в формулу (1)

.

Вынеся площадь треугольника АВС за скобки, и заменив a_b,a_c,b_a,b_c,c_a,c_b соответствующими выражениями получаем:

.

Выполнив необходимые преобразования в скобках, получаем формулу:

(2)

Площадь АВС вычислим по формуле Герона: , где . Она равна (см. задачу 1).

Выполняем расчет:

.

Ответ:.

ЗАДАЧА 12.

P_L1L2L3=L₁L₂ + L₂L₃+ L₁L₃

_{По теореме косинусов:}

L₁L₂=

L₂L₃=

L₁L₃=

Косинусыуглов:

cos A =; cos B = ; cos C =

L₁L₂= =

L₂L₃= =

L₁L₃= =

Периметр

P_L1L2L3 = + +

ЗАДАЧА 13.

По теореме Эйлера

ЗАДАЧА 14. В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. Вычислите расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностями.

Решение:

Так как О₂ –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис

внешних углов к углам В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А.

Т.к. ВО₁ и ВО₂ биссектрисы смежных углов, то ∟О ₂ВО₁ =90°. Следовательно,

О ₁О₂ -гипотенуза прямоугольного треугольника О ₁ВО₂. Найдем радиусы вписанной и вневписанной окружностей:

, где р- полупериметр

= ===

R = О₂ М = , где S- площадь треугольника

S=

S===

R = : (36,5-25)= = 3,5

Рассмотрим О₂МЕ и _1.

Они подобны с коэффициентом k= , по двум углам.

Значит , k =

BМ=p-AB

CH=p-AC

BM=36,5 – 36 = 0,5

СН=36,5 – 25 = 11,5

МН=12 – 0,5-11,5 =0, значит, длина отрезка О₁О₂=R

Ответ:

ЗАДАЧА 15.

Найти: S

Решение:АВС, ==, А==с

А=, ,,,

P=8p , гдер= , S=

или другой способ

S=S(1-

По теореме косинусов найдем , ,, зная стороны треугольника.

S=, гдер=

S= , ,

S=(1- - )

ЗАДАЧА 16.

Дано:ВС, АВ=36, ВС=12, АС=25

С

Н

Н

А В

Н

Найти Р, где Н , Н , Н основания высот.

Решение: Р= НН + Н Н + Н Н .

Прямоугольные треугольники А Н В и СН В подобны по двум углам (угол В – общий, углы А Н В и СН В прямые).

Значит, или Н В АВ=Н В СВ.

Следовательно, треугольники НВН и АВС подобны (по второму признаку) с коэффициентом подобия .

Аналогично, треугольники НН С и АВС подобны с коэффициентом подобия и треугольники А Н Ни АВС подобны с коэффициентом подобия .

Значит, Н Н =АВ ;

Н Н =ВС ;

Н Н =АС .

Найдем косинусы углов треугольника АВС по теореме косинусов.

= ; = ; = .

Тогда Н Н =36=31,62; Н Н =12=1111,85;

Н Н =25=2323,58.

Р= НН + Н Н + Н Н

Р=66,69.

Ответ: 66,69

ЗАДАЧА 17.

Д ано:

АВС,

K₁,K₂,K₃ – точки касания вписанной окружности,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти: SK₁K₂K₃.

Решение:

Используя свойство отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки, обозначим равные отрезки буквами x,y,z:

АK₁ = AK₃ = x,BK₁ = BK₂ = y,CK₂ = CK₃ = z.

Составим систему:Сложив почленно эти равенства получаем:

a + b + c = 2(x + y + z)x + y + z = (a + b + c)/2 = p (полупериметр).

Тогда получаем такую систему:  (1)

Запишем формулы площадей треугольников AK₁K₃, BK₁K₂и CK₂K₃ через две стороны и синус угла между ними, используя формулы (1):

,,. (2)

Синусы углов выразим через площадь треугольника АВС:

,,.(3)

Площадь треугольника K₁K₂K₃ равна следующему:

.

Подставляя в эту формулу данные формул (2) и (3), получаем:

.

Подставим числа и найдём значение площади треугольника K₁K₂K₃:

.

Ответ:.

ЗАДАЧА 18.

В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в.

Найти Р _К1К2К3 , где К_i – точки касания вписанной окружности

Решение:

К₁К₃² = 2х² - 2х²cosА = 2х² (1 – cosА) = 4 х²sin²

К₁К₃= 2хsin

К₁К₂ = 2ysin

К₂К₃ = 2z sin

Р = 2х sin + 2y sin 2z sin = 2 (p-a) sin + (p-b) sin +(p-c) sin =49sin

Ответ: 49sin

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/48101-bazovye-zadachi-treugolnik