Подбор задач по теме «Решение задач на движение» для подготовки учащихся к итоговой аттестации

Задачи на движение

Во всех таких  задачах допускается определенная идеализация: считается,  что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости (в  том числе скорость течения) постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах  и т.д., движущиеся тела считаются материальными точками  (если не оговорено противное), т.е. не имеющими размеров  и массы (вернее, их размеры и масса несущественны для решения задачи). Даже решение задач на движение по окружности не требует применения специальных понятий — угловой  скорости и т.п.; здесь точнее было бы говорить о движении по  замкнутой трассе. Если расстояние между пунктами, из которых начинают движение два тела, не задано, иногда бывает  удобно положить его равным единице.  При решении задач на движение двух тел часто очень  удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей  этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей  (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение по окружности.  Основными типами задач на движение являются следующие:
1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),
2) задачи на движение по замкнутой трассе,
3) задачи на движение по воде,
4) задачи на среднюю скорость,
5) задачи на движение протяженных тел.
Рассмотрим более подробно каждый из этих типов задач,  выделив, где необходимо, базовые задачи.

Движение навстречу.

Если расстояние между двумя телами равно s, а их скорости и то время t, через которое они встретятся, находится по формуле:

Движение вдогонку
Если расстояние между двумя телами равно s, они движутся по прямой в одну сторону со скоростями и соответственно (>) так, что первое тело следует за вторым, то  время t, через которое первое тело догонит второе, находится  по формуле

Задача 1.Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. 

Через сколько минут расстояние между пешеходами станет  равным 300 метрам?
Решение.

Время t в часах, за которое расстояние между  пешеходами станет равным 300 метрам, т.е. 0,3 км, находим  по формуле t = 0,3 : 1,5 = 0,2 (ч)
Следовательно, это время составляет 12 минут.
Ответ: через 12 минут.

Задачи на среднюю скорость

Задача2. на среднюю скорость( учебное пособие «Математика-9 класс»Дорофеев Г.В. стр 67)

  Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90км/ч, а вторую со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля.

    В 99 случаях дают учащиеся ответ: к75м/ч. И на мой наивный вопрос - "почему?"- слышу вполне разумный довод о среднем арифметическом.
    Предлагаю довести ситуацию до абсурда: допустим, что вторую половину пути автомобиль ехал со скоростью, едва отличной от нуля.  Тогда среднее арифметическое (90+0)/2 = 45 (км/ч). Но ведь автомобиль вторую половину пути и вовсе не ехал, и его средняя скорость должна быть нулевой. Как же решать эту задачу?

Средняя скорость есть отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

время, затраченное на первую половину пути, на вторую половину пути. Тогда время, затраченное на каждую половину пути, определяется как отношение половины пути к скорости на каждом участке:

Подставив это в исходную формулу средней скорости, будем иметь:

Таким образом, окончательная формула определение средней скорости:

  И в нашем случае мы получим 72 км/ч.  А почему не 75? А потому, что двигаясь с меньшей скоростью, автомобиль потратил на  вторую половину пути больше времени, и средняя скорость движения всегда меньше среднего арифметического. 
Задача 3. (открытый банк данных)

Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, 2 часа со скоростью 85 км/ч,2 часа со скоростью 80 км/ч. Найти среднюю скорость.

Занесем все данные в таблицу

Решение: ;

;

Ответ:90 км/ч.

Задача 4

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, вторую треть со скоростью 60км/ч, и третью треть со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения.

Занесем эти данные в таблицу:

Решение

;

Задача 5.(Тренировочная работа по математике 9 класс от 19.12.2011)

Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч .Лодка проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Занесем эти данные в таблицу:

Первый способ.

;;

;

-2 не подходит по условию.

Значит скорость лодки 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.

Второй способ.

Воспользуемся формулой из задачи 1.

Ответ : 8 км/ч

Движение по окружности (замкнутой трассе).

Рассмотрим движение двух точек по окружности длиныs в одном направлении при одновременном старте со скоростями v₁ и v₂ (v₁ > v₂ ) и ответим на вопрос: через какое время  первая точка будет опережать вторую ровно на один круг?  Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается  к ней со скоростью v₁ – v ₂., получим, что условие задачи будет  выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со  второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное  длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается  от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку:

Итак, если две точки одновременно начинают движение по  окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁ > v₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ – v₂ и в момент, когда первая  точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние  на один круг больше.

Задача 6.(открытый банк данных)

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна  14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль  на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ  дайте в км/ч.
Решение. Пусть скорость второго автомобиля х км/ч.

Составим таблицу

Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это — то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг,  составим по условию задачи уравнение

откуда160 – 2х = 42, т. е. х = 59.
Ответ. 59 км/ч

Рассуждения можно проводить и следующим способом.

Задача 7(открытый банк данных)

Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на 1 круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?

Решение.

Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).

Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй – за( х+2) минуты.   Скорость первого лыжника м/мин, а второго м/мин.

Составим таблицу №1

Составим таблицу №2

За 1 час первый проходит метров, а второй метров.

А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:

- = S,  (разделим обе части на S)

-=1; x² + 2x - 120 = 0; 

 х₁=10  (х₂ = -12 не удовл. усл.)

Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12.      

Ответ: 12.

Задача 8(открытый банк данных)

Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?

Решение. Пусть длина окружности S

Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь аналогично второе – за минуту .

Составим таблицу №1

за 90 минут первое - второе -

Составим таблицу №2

Составим уравнение, учитывая, что первый догоняет второго каждые полтора часа

= +S;

-18 –не подходит по условию задачи.

Ответ: 15 км/ч.

Задача9 на движение по реке (открытый банк данных)

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А с тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение.

Это стандартная задача на движение по реке.

Обозначимсобственную скорость теплохода х км/ч. Тогда его скорость по течению реки будет (х+4) км.ч, а против течения (х-4) км/ч.

Запишем эти данные в таблицу:

Время движения от А до В, т.е. по течению равно, а против течения равноскладывая время  движения теплохода туда и обратно со временем стоянки - 3 часа, получим

++ 3, что равно 22.00-10.00=12 часов.

Решим уравнение ++3 = 12 ;    48(x-4) + 48(х+4) =9(х+4)(х-4) ; 

16(х-4) + 16(х+4) = 3(х² - 16); 3x² - 32x -48 =0.      

   D=1600, х₁= (32+40)/6 = 12, х₂= (32-40)/6 <0 - не удовл. усл. задачи.

Ответ: 12 км/ч.

Задача10 (открытый банк данных)

Два автомобиля выезжают из двух пунктов навстречу друг другу и после встречи продолжают путь. После встречи первый прибывает в пункт назначения через 25 часов, а второй через 36 часов. Первый автомобиль движется со скоростью на 10 км в час больше чем второй. Найти скорость второго автомобиля.

A________________________B___________C

Пусть скорость второго х км/ч, первого автомобиля (х+10).

Пусть встреча произошла через t часов в пункте В. Тогда АВ =t(x+10), СВ= tx.

До встречи

После встречи: первый прошел путь ВС=25(х+10), а второй ВА=36х.

Т.к. АВ=ВА и СВ=ВС, то составим систему уравнений:

t(x+10) = 36x,   (1)

tx = 25(x+10).   (2)      

  Раскрыть скобки и из (1) вычесть (2).

10t = 11x – 250; t= 1,1x - 25. Подставим t в (2), получим квадратное уравнение:

1,1х² - 50х -250 =0.      

х=50 - скорость второго автомобиля, х+10=60 - скорость первого.

Ответ: 60 км/ч

Задачи на движение протяженных тел

В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо

придорожного столба

идущего параллельно путям пешехода

лесополосы определенной длины

другого двигающегося поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине. Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 11. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение:Зная скорость движения v = 60 км/ч = и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. = .

можно найти длину поезда как пройденное расстояние s = vt ==60 =0,5км=500 м.

Ответ: 500 м

Задачи 12(открытый банк данных)

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 600 метров, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

600м=0,6км

Обозначим за х(м)-длину поезда

Учитывая, что время движения 36 секунд= 0,01 ч, составим уравнение

=0,01(умножим на 80)

0,6+х=0,8; х=0,2(км)

0,2 км=200 метров

Ответ : 200 метров

Задачи 13(открытый банк данных)

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Изобразим движение схематически.

__85км/ч__

Длина х 50км/ч_

Обозначим длину скорого поезда х км/ч.

Скорый проходит путь: (0,6+х)км.

Скорость скорого относительно пассажирского :85+50=135(км/ч)

=0,01(умножим на 135)

0,6+х=1,35; х=0,75(км)

Ответ:750 метров

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/5027-podbor-zadach-po-teme-reshenie-zadach-na-dviz