Признаки делимости

Учитель математики

МБОУ СОШ № 143

г. Красноярска

Князькина Т. В.

Признаки делимости

В умении решать задачи с признаками делимости современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно. Без признаков делимости нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в статистике. Кроме того, при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения и при изучении методичек подготовительных курсов, мы сталкиваемся с тем, что там встречаются задания на использование делимости и сравнения чисел. Формулировки этих заданий на первый взгляд достаточно просты и понятны, но для выполнения этих заданий недостаточно знаний, полученных в школе, появилась идея для поиска пути правильного решения.

На уроках математики в 6 классе учащиеся изучают темы «Признаки делимости чисел на 2,3,5,9,10» Но, если можно определить делимость на эти числа, то должны быть признаки по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств делимость является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить: делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б.Паскаль. По принципу Б.Паскаля натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на числоb , делится на это число (1).

Например: число 2436 делится на 7, так как 2*6+4*2+3*3+6=35 делится на 7.(здесь 6 –это остаток от деления 1000 на 7, 2-остаток деления 100 на 7 и 3 –остаток деления 10 на 7)

Аналогично: 2920 делится на 8, так как 2*0+9*4+2*2=40 делится на 8

Таким образом, можно определить признаки делимости на остальные натуральные числа, используя принцип Б. Паскаля. Данный признак называют универсальным признаком делимости.

Познакомимся с некоторыми признаками делимости, которые не изучаются в основном курсе математики 6 класса..

Признак делимости на 4:

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.

Например, 348 делится на 4 так как 48 делится на 4.

Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например, 92: 9 + 1 = 10, значит, 92 делится на 4

А вот число 94 не делится на 4 т.к 9+2=11,а число 11 не делится на 2.

Признак делимости на 6:

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Например, 7356 делится на 6 так как оно четное и 7+3+5+6=21 делится на 3.

Признак делимости на 7:

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую…

Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Признак делимости на 8:

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули, или образуют число, которое делится на 8.(65000:8=8125)Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа так же — половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 11:

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11. Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих четные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих нечетные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 12:

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13:

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14:

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Например, 518 делится на 14 так как 518 делится на 2 и на 7

Признак делимости на 15:

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5. 3840 делится на 15 оно же делится на 5 и на 3.

Признак делимости на 17:

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19:

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23:

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).

Признак делимости на 25:

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (то есть последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99:

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.(561033 делится на 99 так как 56+10+33=99)

Признак делимости на 101:

Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево(в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101тогда и только тогда, когда число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.

С математической точки зрения раздел признаков делимости в школьной математике является простейшим. Однако при выполнении заданий часто встречаются большие числа, когда нужно определить делится на данное число или нет. Здесь пригодятся знания признаков делимости.

Научиться быстро выполнять деление натуральных чисел помогает знание признаков делимости. Понятие признаков делимости вводится уже в 6 классе, но в старших классах встречается при решении олимпиадных задач.

Данный материал очень поможет не только учащимся, но и учителям при подготовке учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/58697-priznaki-delimosti