Программа курса Математическое программирование для обучающихся профильных классов экономического направления

Программа курса: «Математическое программирование» (для обучающихся профильных классов экономического направления)

Пояснительная записка:

Цель данного курса — обеспечение школьников теоретическими знаниями и практическими умениями, позволяющими эффективно применять математический аппарат для решения экономических задач, развитие линии экономико-математического моделирования, расширение кругозора, формирование устойчивой положительной мотивации изучения математических дисциплин в школе, сознательный подход к выбору учащимися направления своей предстоящей деятельности, усиления прикладной направленности обучения математике в старших классах средней школы.

Для современной экономики математические методы исследования, моделирования и планирования имеют важное значение. Методы оптимального планирования и представляют собой суть математического программирования.

Математические методы оптимизации, соответствующие алгоритмы и компьютерные программы можно рассматривать как эффективный инструмент наукоёмких технологий, разработка которых в различных областях в настоящее время особенно актуальна. Оптимизационные методы используются в исследовании операций и системном анализе, в проектировании различных объектов, в планировании производственной деятельности и многих других областях. Одним из этих методов является линейное программирование. Это наиболее простой метод математического программирования, однако он позволяет решать широкий круг экономических задач. В данном курсе под программированием следует понимать не составление компьютерных программ, а составление оптимальных планов.

Задачи математического программирования часто возникают в экономике, при планировании производственных процессов и количественной оценке альтернатив, связанных с принятием управленческих решений. Постановка этих задач обычно основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть методом «затраты – эффективность». Применение этого подхода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: максимизировать эффективность при ограниченных затратах, обеспечить эффективность не ниже заданной при минимальных затратах.

Большой спектр задач, которые связаны с оптимальным планированием производства, с нахождением оптимального плана капиталовложений, а также задачи транспорта решаются с помощью математического программирования, поэтому данный курс находится на границе между математикой и экономикой и главной его задачей является обеспечение экономики методами точного количественного анализа. Цель курса — познакомить учащихся с созданием математических моделей экономических задач и методами их решения.

Учебно-тематический план курса «Математическое программирование»:

Предмет математического программирования (3 часа)
Метод Жордана-Гаусса исключения неизвестных (3 часа)
Теоретические основы методов линейного программирования (3 часа)
Геометрический метод решения задач линейного программирования (3 часа)
Симплекс-метод решения задач линейного программирования (4 часа)
Теория двойственности задач линейного программирования (3 часа)
Транспортные задачи (3 часа)
Динамическое программирование (3 часа)
Элементы нелинейного программирования (3 часа)
Практикум. Использование информационных технологий при решении задач линейного программирования (Excel, Derive, Gran) (5 часов)

Программный материал:

Тема 1. Предмет математического программирования: Общая характеристика задач математического программирования. Построение экономических моделей простейших экономических задач.

Тема 2. Метод Жордана-Гаусса исключения неизвестных: Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений. Базисные и свободные переменные. Базисное решение. Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы.

Тема 3. Теоретические основы методов линейного программирования: Постановка и разные формы записи задач линейного программирования. Стандартная и каноническая задачи линейного программирования. Допустимый, опорный и оптимальный планы задач. Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду. Система ограничений и её решение. Основные теоремы линейного программирования.

Тема 4. Геометрический метод решения задач линейного программирования: Геометрическая интерпретация ограничений. Исследование целевой функции на многоугольнике ограничений.

Тема 5. Симплекс-метод решения задач линейного программирования: Симплекс-таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплекс-таблицы. Изменение опорного плана. Критерии оптимальности опорного плана. Выбор начального опорного плана. Введение искусственных переменных. М-метод.

Тема 6. Теория двойственности задач линейного программирования: Двойственные задачи линейного программирования и переменные. Экономическая интерпретация пары двойственных задач. Основные теоремы двойственности. Двойственный симплекс-метод.

Тема 7. Транспортные задачи: Экономическая и математическая формулировки пары транспортных задач. Методы построения начального опорного плана. Правила построения цикла. Потенциалы и их экономическое содержание. Метод потенциалов решения транспортных задач. Открытые модели транспортных задач.

Тема 8. Динамическое программирование: Предмет динамического программирования. Принцип оптимальности Белмана. Примеры решения задач методами динамического программирования.

Тема 9. Элементы нелинейного программирования: Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа. Задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.

Практикум. Использование информационных технологий при решении задач линейного программирования (Excel, Derive, Gran): Графическое решение некоторых задач линейного и нелинейного программирования с помощью программы Gran 1. Решение некоторых вычислительных задач линейного программирования с помощью программ Derive, Excel.

Планируемые результаты изучения курса «Математическое программирование»:

В результате изучения курса обучающийся должен знать/понимать:

как строить математические модели простейших экономических задач;
строить симплекс-таблицы, давать экономическую интерпретацию элементов симплекс-таблицы;
пользоваться методом Жордана — Гаусса при решении линейных уравнений;
уметь строить опорный план при решении транспортных задач;
строить многоугольники ограничений при исследовании целевой функции;
решать несложные задачи методами динамического программирования.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

решения несложных практических расчетных задач, в том числе c использованием при необходимости справочных материалов, программ Excel, Derive, Gran 1;
устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления, с использованием различных приемов;
интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений;
моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата математики;
описания зависимостей между экономическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций.

Учебно-методическое обеспечение:

Математическое программирование в примерах и задачах / И. Л. Акулич. — М.: Высшая школа, 1986;
Руководство к решению задач по математическому программированию / А.В. Кузнецов. — М.: Высшая школа, 1978;
Курс высшей математики для экономических вузов / А.И.Карасёв и др.— М.: Просвещение, 2012;
Математика. Методические рекомендации. 6 класс / М. К. Потапов, А. В. Шевкин.— М.: Высшая школа, 1982.