Математика: организация учебного процесса и методика преподавания в современной системе образования

Вопросы для обсуждения:

1. Урок как организационная форма.
2. Типы и структура уроков.
3. Современные технологии на уроках математики.
4. Предмет, цель и задачи методики. Основные дидактические принципы.
5. Развитие математического мышления.
6. Методика изучения теорем и их доказательств. Методика обучения решению задач.

Урок как организационная форма.

Несмотря на многообразие форм организации учебного процесса, урок признается основной. Каждая форма имеет свои специфические особенности, положительные стороны и барьеры, затрудняющие их внедрение в педагогическую практику. Однако все формы связаны между собой классно-урочной системой обучения, основоположником которой является Я.А. Коменский.

Длительное время персональная работа учителя с учениками была основной формой педагогической работы. Поступление в среднее учебное заведение происходило в любое время года независимо от возраста, и каждый ученик получал задание учителя лично. Так было во всех государствах практически до XVIII века, а в некоторых даже до конца XIX века. Полноценный урок как форму организации процесса обучения представил именно Я. А. Коменский. В своих трудах он раскрывает основные положения его организации:

• постоянный состав учащихся, находящихся ориентировочно на одном уровне развития;
• проведение занятий в конкретное время по стабильному расписанию, предусматривающему чередование учебных предметов;
• одновременная работа учителя со всем классом по одному предмету;
• руководящая роль учителя в течение всего периода обучения.

Коменский резко критиковал школьный режим его времени в целом и индивидуальную форму организации занятий в частности. Именно урок он предложил в качестве основной правильной формы организации учебного процесса. Много времени педагог уделил общим вопросам преподавания, четкому определению места и времени обучения. Так, были сформированы основные пункты, характеризующие классно-урочную систему:

• учащиеся должны приниматься в среднее учебное заведение в одно и то же время для получения поэтапного образования, при этом никто не может быть принят уже после начала занятий, как и никто не будет выпущен из школы до конца занятий;
• все учащиеся должны быть разделены на классы;
• по количеству классов должно быть открыто количество кабинетов;
• классным занятиям учащиеся день за днем обязаны уделять 4 часа;
• каждый час должен иметь собственную четкую задачу, которая непременно должна быть решена;
• в конкретное время каждый учащийся по сигналу обязан тотчас же отправиться в учебную комнату и занять свое место;
• когда учитель что-нибудь излагает и поясняет, все учащиеся обязаны внимательно слушать его;
• после каждого часа должен быть перерыв, отдых.

Таким образом, Я. А. Коменский не только осветил все главные вопросы преподавания, но и обосновал целую дидактическую систему классно-урочного обучения, что составило богатое педагогическое наследие современной теории и практики.

Следует заметить, что классно-урочная система имеет как достоинства, так и недостатки:

Достоинства:

• обеспечение четкости организации учебной работы;
• относительно непрерывное педагогическое руководство учащимися;
• продуктивная познавательная деятельность учащихся;
• сохранение личностных отношений между учителем и учащимися, также между самими учащимися;
• способствование созданию ученического коллектива;
• единство дидактической цели, объединяющей содержание деятельности учителя и учащихся.

Недостатки:

• ограниченное количество обучаемых;
• ориентированность в основном на среднего ученика;
• высокая трудность обучения для слабого учащегося;
• торможение развития более сильного учащегося;
• невозможность полного учета и реализации в образовательном процессе индивидуальных особенностей.

Урок является основной формой организации педагогического процесса, так как предполагает не только организацию учебно-познавательной деятельности, но и интеллектуальное развитие учащихся, формирование их потребности в знаниях, мировоззрения, активности, самостоятельности, трудолюбия, дисциплинированности.

Особенностями урока, отличающими его от других форм обучения, являются:

• постоянная группа учащихся;
• четкое время проведения по расписанию;
• обязательность посещения;
• определенный учебной программой объем усваиваемого материала;
• руководство со стороны учителя деятельностью учащихся;
• последовательность различных видов заданий;
• оптимальное соотношение фронтальной, групповой и индивидуальной работы.

Общие требования к уроку можно условно разделить на три:

Дидактические:

• четкое определение образовательных задач урока, его составных частей и места конкретного урока в общей системе уроков;
• определение оптимального содержания урока в соответствии с требованиями учебной программы по предмету и целями урока;
• прогнозирование уровня усвоения учащимися научных знаний, сформированности умений и навыков как на уроке и его этапах;
• выбор наиболее рациональных методов, приемов и средств обучения;
• осуществление на уроке принципов и условий успешного обучения;
• соблюдение принципа межпредметных связей.

Воспитательные:

• постановка воспитательных задач урока;
• формирование и развитие у учащихся познавательных интересов, положительных мотивов учебно-познавательной деятельности, умений и навыков самостоятельного овладения знаниями развитие творческой инициативы и активности;
• всестороннее изучение и учет уровня развития и психологических особенностей учащихся;
• соблюдение педагогической этики.

Организационные:

• наличие плана проведения урока на основе тематического планирования;
• организационная четкость проведения урока;
• подготовка и рациональное использование различных средств обучения.

Вместе с этими требованиями к уроку выделяются и другие: психологические, управленческие, требования оптимального общения учителя с учащимися, требования сотрудничества, санитарногигиенические и т. д.

Таким образом, урок является целесообразной формой с научно-педагогической точки зрения, на уроке концентрируется главная часть работы учителя с учащимися с целью усвоения ими системы знаний, умений и навыков.

Типы и структура уроков.

Прежде чем определять, каким содержанием должен быть наполнен урок и какие элементы должны входить в его структуру, целесообразно провести классификацию уроков.

Классификация уроков согласно К.Д. Ушинскому:

• уроки смешанные, имеющие своей целью повторение пройденного;
• уроки объяснения и закрепления нового материала;
• уроки устных упражнений;
• уроки письменных упражнений;
• уроки проверки и оценки знаний, которые проводятся после определенного периода обучения и в конце учебного года.

Классификация уроков согласно Б. П. Есипову, М. А. Данилову, Г. И. Щукиной, В. А. Онищук/ Дидактическая цель урока:

1. Урок изучения нового учебного материала - основное время отводится на передачу и усвоение новых знаний.
2. Урок совершенствования знаний, умений и навыков - основное назначение этих уроков: систематизация и обобщение новых знаний; повторение и закрепление ранее усвоенных знаний; применение знаний на практике для углубления и расширения ранее усвоенного материала; формирование умений и навыков; контроль за ходом изучения учебного материла и совершенствования знаний, умений и навыков.
3. Урок обобщения и систематизации изученного - сущность этих уроков состоит в активном воспроизведении изученного материала по отдельным разделам учебной программы и в организации упражнений с целью приведения знаний в систему, осмысления их логики, что способствует более прочному овладению ими и совершенствованию практических умений и навыков.
4. Урок проверки и контроля знаний - уроки этого типа предназначаются для оценки результатов учения, уровня усвоения учащимися теоретического материала, системы научных понятий изучаемого курса, сформированности умений и навыков, опыта учебно-познавательной деятельности школьников, установления диагностики уровня обученности учеников, коррекции в процессе учения в соответствии с диагностикой состояния обученности детей.
5. Комбинированный урок - это наиболее распространенный тип урока в существующей практике работы школы.

Нестандартные типы уроков:

1. уроки-семинары;
2. уроки-конференции;
3. уроки-состязания;
4. уроки-диспуты;
5. уроки-игры;
6. уроки-дискуссии;
7. межпредметные уроки.

Разработчики новых образовательных стандартов предлагают выделять четыре основных типа уроков в зависимости от поставленных целей.

Тип 1. Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков (лекция, путешествие, инсценировка, экспедиция, проблемный урок, экскурсия, беседа, конференция, мультимедиа-урок, игра, уроки смешанного типа).

Цели урока:

Деятельностная: научить детей новым способам нахождения знания, ввести новые понятия, термины.

Содержательная: сформировать систему новых понятий, расширить знания учеников за счет включения новых определений, терминов, описаний.

Структура урока:

• Мотивационный этап;
• Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия;
• Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия;
• Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения;
• Реализация выбранного плана по разрешению затруднения. Это главный этап урока, на котором и происходит "открытие" нового знания;
• Первичное закрепление нового знания;
• Самостоятельная работа и проверка по эталону;
• Включение в систему знаний и умений;
• Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.

Тип 2. Урок рефлексии (сочинение, практикум, диалог, ролевая игра, деловая игра, комбинированный урок).

Цели урока:

Деятельностная: формировать у учеников способность к рефлексии коррекционно-контрольного типа, научить детей находить причину своих затруднений, самостоятельно строить алгоритм действий по устранению затруднений, научить самоанализу действий и способам нахождения разрешения конфликта.

Содержательная: закрепить усвоенные знания, понятия, способы действия и скорректировать при необходимости.

Структура урока:

• Мотивационный этап;
• Актуализация знаний и осуществление первичного действия;
• Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения;
• Построение плана по разрешению возникших затруднений (поиск способов разрешения проблемы, выбор оптимальных действий, планирование работы, выработка стратегии);
• Реализация на практике выбранного плана, стратегии по разрешению проблемы;
• Обобщение выявленных затруднений;
• Осуществление самостоятельной работы и самопроверки по эталонному образцу;
• Включение в систему знаний и умений;
• Осуществление рефлексии.

В структуре урока рефлексии четвертый и пятый этап может повторяться в зависимости от сложности выявленных затруднений и их обилия.

Тип 3. Урок систематизации знаний (общеметодологической направленности) (конкурс, конференция, экскурсия, консультация, урок-игра, диспут, обсуждение, обзорная лекция, беседа, урок-суд, урок-откровение, урок-совершенствование).

Цели урока:

Деятельностная: научить детей структуризации полученного знания, развивать умение перехода от частного к общему и наоборот, научить видеть каждое новое знание, повторить изученный способ действий в рамках всей изучаемой темы.

Содержательная: научить обобщению, развивать умение строить теоретические предположения о дальнейшем развитии темы, научить видению нового знания в структуре общего курса, его связь с уже приобретенным опытом и его значение для последующего обучения.

Структура урока:

• Самоопределение;
• Актуализация знаний и фиксирование затруднений;
• Постановка учебной задачи, целей урока;
• Составление плана, стратегии по разрешению затруднения;
• Реализация выбранного проекта;
• Этап самостоятельной работы с проверкой по эталону;
• Этап рефлексии деятельности.

Тип 4. Урок развивающего контроля (письменные работы, устные опросы, викторина, смотр знаний, творческий отчет, защита проектов, рефератов, тестирование, конкурсы).

Цели урока:

Деятельностная: научить детей способам самоконтроля и взаимоконтроля, формировать способности, позволяющие осуществлять контроль.

Содержательная: проверка знания, умений, приобретенных навыков и самопроверка учеников.

Структура урока:

• Мотивационный этап;
• Актуализация знаний и осуществление пробного действия;
• Фиксирование локальных затруднений;
• Создание плана по решению проблемы;
• Реализация на практике выбранного плана;
• Обобщение видов затруднений;
• Осуществление самостоятельной работы и самопроверки с использованием эталонного образца;
• Решение задач творческого уровня;
• Рефлексия деятельности.

Современные технологии на уроках математики.

Из всего многообразия современных педагогических технологий, используемых на уроках математики, педагогу предоставляются широкие возможности по выбору чего-то конкретного, так и по комбинированию технологий в зависимости от целей и содержания образовательного процесса.

Важными моментами в проведении успешного урока с применением личностно-ориентированных технологий обучения является:

• создание ситуации успеха с осознание радости от проделанной на уроке работы;
• мотивация для четкого понимания то, для чего изучается тот или иной материал;
• ясное представление о результатах своей работы на уроке;
• создание педагогом благоприятной атмосферы для эффективной поисковой деятельности;
• опора на переживание, чувства, эмоционально-волевую сферу учащихся;
• использование дифференцированного подхода;
• возможность поделиться своими успехами и достижениями с одноклассниками, родителями;
• возможность наблюдать собственный рост, т.е. динамику развития;
• педагогическое сотрудничество;
• учет жизненного опыта каждого ребенка и его семейной ситуации.

Используя на уроках предметно-ориентированные технологии обучения, рекомендуется обратить особое внимание на:

• значение системы целеполагания и умение формулировать цели в когнитивной, аффективно и психомоторной областях;
• концентрация усилий на главном в образовательном процессе;
• ясность и гласность в совместной работе педагога и обучающихся;
• создание эталонов оценки результатов обучения;
• активное запоминание;
• фронтальное повторение;
• повышение качества обучения и воспитания учащихся через создание оптимальной организационной структуры учебного процесса, сближение обучения с естественными психологическими закономерностями воспитания;
• формирование умений творческого применения знаний;
• преодоление разобщённости содержания и увязывает элементы обучения в единое целое.

При использовании информационных технологий необходимо руководствоваться принципами целесообразности применения компьютера и целеполагания (для каких целей используется компьютер – демонстрации нового материала или контроля знаний). Важно рассматривать компьютер не просто как инструмент визуальной наглядности материала, но средство применения готовых мультимедийных программ и создания собственных разработок с помощью стандартного программного обеспечения.

При внедрении в образовательный процесс технологий оценивания достижений учащихся следует опираться на следующие положения: оценка должна иметь комплексный подход (оценка предметных, метапредметных и личностных результатов); в качестве содержательной и критериальной базы оценки используются планируемые результаты освоения основных образовательных программ; качество образования достигается путем сочетания внешней и внутренней оценки; накопительная система оценивания (портфолио) характеризует динамику индивидуальных образовательных достижений.

Использование интерактивных технологий ставит своей целью активизировать индивидуальные умственные процессы учащихся; стимулировать у них внутренний диалог. При внедрении таких технологий обеспечивается понимание информации, являющейся предметом обмена, происходит индивидуализация педагогического взаимодействия. Немаловажной особенностью интерактивного обучения становится вывод учащегося на позицию субъекта обучения и достижение двусторонней связи при обмене информацией между учащимися.

Предмет, цель и задачи методики. Основные дидактические принципы.

Существуют разные точки зрения на содержание понятия «методика». Одна позиция, признавая методику педагогической наукой, рассматривает ее как частную дидактику с общими для всех предметов принципами обучения. Другие ученые считают методику специальной педагогической наукой, решающей все задачи обучения и развития личности через содержание предмета.

Методика преподавания математики (далее – МПМ) – раздел педагогики, исследующий закономерности обучения математике на определенном уровне ее развития в соответствии с целями обучения подрастающего поколения, поставленными обществом.

Методика обучения математике впервые выделилась как самостоятельная дисциплина в книге швейцарского учёного И.Г. Песталоцци «Наглядное учение о числе». Первым пособием по методике математики в России можно назвать труд Ф.И. Буссе «Руководство к преподаванию арифметики для учителей», опубликованный в 1831 году. Создателем русской методики арифметики для народной школы считается П.С. Гурьев, признававший критерием правильности решения методических проблем опыт и практику.

Целью методики обучения математике является исследование основных компонентов системы обучения математике в школе и связей между ними. К основным компонентам относятся цели, содержание, методы, формы и средства обучения математике.

Предметом методики обучения математике выступает обучение математике, состоящее из целей и содержания математического образования, методов, средств, форм обучения математике.

Таким образом, методика преподавания математики – наука, предметом которой является обучение математике, причём в широком смысле: обучение математике на всех уровнях, начиная с дошкольных учреждений и кончая высшей школой.

МПМ развивается на базе определенной психологической теории обучения, т.е. МПМ представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в МПМ должна отражаться специфика предмета обучения – математики.

Цели и задачи начального обучения математике:

• общеобразовательные (основная задача – овладение учащимися определённого объёма математических ЗУНов и компетенций в соответствии с программой),
• воспитательные (основная задача – формирование мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду),
• развивающие (основная задача – развитие логических структур и математического стиля мышления),
• практические (основная задача – формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач).

Организация и проведение дидактического процесса базируется на использовании определенных законов и закономерностей обучения в соответствии с целями воспитания и образования, которые называются принципами. Их соблюдение обеспечивает эффективное и качественное развитие учебного процесса.

Различают следующие дидактические принципы обучения математике:

Принцип научности.

Принцип заключается в обязательности соответствия содержания и методов преподавания уровню и требованиям математики как науки в ее современном состоянии.

Для реализации принципа научности учитель должен:

- следить за корректностью формулировок при определении математических понятий и построении математических суждений;

- приучать учащихся критически относиться к каждому суждению, не принимать за доказанное то, что не обосновано;

- требовать от учащихся четко различать определения и теоремы.

Принцип воспитания.

Принцип заключается в формировании у учащихся интереса к этому предмету, выработке у них стремления к новым знаниям, к их полному и прочному усвоению, формировании умения пользоваться полученными знаниями и расширять их за счет самостоятельного изучения.

Принцип наглядности.

Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала.

Практикой обучения математике выработаны специальные средства наглядности, способствующие реализации принципа наглядности.

Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил:

- ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;

- обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;

- показать предмет, по возможности, в развитии;

- предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;

- использовать средства наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.

Принцип сознательности, активности и самостоятельности.

Принцип сознательности, активности и самостоятельности заключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмыслении, творческой переработке и применении.

Реализация принципа сознательности, активности и самостоятельности в обучении предполагает выполнение следующих условий:

- соответствие познавательной деятельности учащихся закономерностям процесса учения;

- познавательная активность учащихся в процессе учения;

- осознание школьниками процесса учения;

- владение учащимися методами умственной работы в процессе познания нового.

Принцип прочности знаний.

Принцип прочного усвоения учащимися знаний, умений и навыков обусловливается как задачами школы, так и закономерностями самого обучения.

Для реализации этого принципа учитель должен:

- умело организовать повторение пройденного материала;

- осуществлять своевременный контроль знаний и умений учащихся, предупреждение и устранение пробелов в знаниях учащихся;

- обращать особое внимание на систематический характер предлагаемых учащимся задач и упражнений.

Принцип систематичности и последовательности.

Принцип систематичности и последовательности в обучении обусловливается и логикой самих наук, изучаемых в школе, и особенностями познавательной и практической деятельности учащихся, протекающей в соответствии с закономерностями их умственного и физического развития.

Успешная реализация этого принципа во многом зависит от того, какое значение придается учителем межпредметным связям в обучении, как скоординированы требования к учащимся между преподавателями различных учебных предметов, соблюдается ли преемственность в изучении отдельных тем и учебных предметов.

Принцип доступности.

Принцип доступности в обучении вытекает из требований учета возрастных особенностей учащихся. Он требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащихся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу ЗУН и компетенций.

Реализация принципа доступности предполагает выполнение следующих условий – дидактических правил как следование в обучении:

- от простого к сложному;

- от легкого к трудному;

- от известного к неизвестному.

Принцип индивидуального подхода к учащимся.

Принцип дифференцированного (индивидуального) подхода к учащимся обусловливается особенностями индивидуального развития детей, типов высшей нервной деятельности, а также стремлением наилучшим образом развивать творческие силы и способности учащихся.

Этот принцип предполагает оптимальное приспособление учебного материала и методов обучения к индивидуальным способностям каждого школьника. Основным средством реализации принципа индивидуального подхода являются индивидуальные самостоятельные работы, предназначенные для учащихся.

Развитие математического мышления.

Развитие критического мышления – один из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности, без целенаправленного развития которого нельзя достичь эффективных результатов в обучении, систематизации знаний, умений и навыков.

Общее мнение по вопросу определения понятия «математическое мышление» в психолого-педагогической и методической литературе отсутствует. Одни исследователи считают, что математического мышления в принципе нет. Другие утверждают, что математические структуры – продолжение умственных структур; логика является единственным или хотя бы главным критерием мышления, а развитие логики происходит на основе развития именно математического мышления. Третьи – приверженцы такой позиции, что математическое мышление не должно ограничиваться только алгебраическими, порядковыми и топологическими структурами, а должны включать такие структуры, как комбинаторные, алгоритмические и образно-геометрические.

Еще один подход декларирует, что математическое мышление характеризуется, как абстрактное, логическое, обладающее способностью к формализации, обобщению, пространственным представлением, то есть наделяют качествами, которые фактическую определяют характеристику мышления не только в математическом, но и в любой другой предметной области. На основе этого выделили компоненты, составляющие «ядро» такого мышления.

Пространственный компонент мышления - понимание пространственных фигур, образов и их составляющих, память на пространственные образы, пространственные абстракции.

Логический компонент мышления - образование понятий-абстракций, запоминание и самостоятельное выделение общих понятийных связей, заключений и доказательств по правилам формальной логики, образование числовых представлений, память на числовые решения.

Символический компонент мышления - понимание и запоминание символов, операции с ними.

У большинства учащихся при изучении математики в средней школе формируются следующие характерные черты математического мышления:

1) четкость формирования проблемы, задачи, задания;

2) понимание предлагаемого математического материала;

3) строгость изложения материала;

4) память.

В.А. Крутецкий, исследуя математическое мышление, выделил основную способность в структуре математической одаренности – «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий» – и определил два способа обобщения:

1. Обобщение в результате длительного решения однотипных задач;

2. Обобщение «с места», когда учащийся обобщает способ решения на основе анализа решения одной задачи. Например, при изучении комбинаторных задач, в которых используется дерево возможных вариантов, ученикам, как правило, необходимо усвоить этот способ на примере 4-5 задач. Но также есть ученики, которые после решения 1-2 задач, последующие задачи выполняют самостоятельно. К сожалению, таких учеников очень мало, потому что к концу 5-го класса способность обобщения «с места» почти не развита.

Р.А. Атаханов выделил четыре уровня развития мышления.

1. Эмпирическое мышление (доаналитический уровень) - у школьников с этим мышлением преобладает эмпирический способ ориентации в условиях задачи, имеются зачаточные формы анализа, отсутствует рефлексия, планирование.

2. Аналитический уровень теоретического типа мышления - у школьников присутствует эмпирический способ ориентации в условиях задачи, но уже имеются зачаточные формы рефлексии и планирования, начальные стадии становления анализа.

3. Планирующий уровень теоретического типа мышления - у школьников преобладает теоретический способ ориентации в условиях задачи, имеется относительно развитое действие анализа, наблюдается процесс становления рефлексии и планирования.

4. Рефлексирующий уровень теоретического типа мышления - у школьников присутствует теоретический способ ориентации в условиях задачи, проявляется относительно высокий уровень развития рефлексии, анализа и планирования.

Также при рассмотрении развития математического мышления не следует забывать об уровне математических знаний учащихся. Рассмотрение особенностей выполнения заданий математического содержания показывает, что проявление сравнительно низких возможностей учащихся связано с недостаточностью или с отсутствием математических знаний, которые могли бы служить содержательной основой функционирования мышления.

Важным и решающим моментом в переходе учащихся от одного уровня развития математического мышления к другому является усвоение ими содержания математического знания. В этом смысле развитие математического мышления социально обусловлено: ведущим в нем является развитие математического содержания, усваиваемого учащимися. Последнее, вероятно, и будет определять суть развития математического мышления.

Но каким именно образом должны формироваться основы теоретического мышления в школе? Можно выделить следующие необходимые условия для осуществления этого процесса:

1) длительность процесса развития мышления: осуществление его повседневно и на каждом уроке;

2) недопустимость погрешности в логике изложения учебного материала;

3) вовлечение учеников в постоянную работу по развитию своего мышления, включение в содержание обучения системы определенных теоретических знаний: о сущности логических форм и законов и о способах ориентировки в выполнении умственных действий.

4) организация внеклассной работы по математике, во время которой педагог может максимально развивать математическое мышление;

5) усвоение содержаний математических знаний.

Таким образом, в концепции школьного образования выделены основные цели обучения – это обучение учащихся приемам мышления и методам познания, формирование у них качеств математического мышления, математических мыслительных способностей и умений. Другими словами, одна из основных задач школьного математического образования – это развитие математического мышления. Педагог с помощью эмпирических исследований может иметь в виду, что учащийся, находясь на некотором уровне развития мышления, имеет определенные возможности в самостоятельном решении определенного класса задач, а с помощью учителя – задач и другого класса. Это показывает, что разработка учителем системы учебных задач и их усвоение учащимся создает предпосылки для становления следующего уровня развития интеллекта путем реализации идеи зоны ближайшего развития.

Методика изучения теорем и их доказательств. Методика обучения решению задач.

В методической литературе различают два способа изучения теорем:

1. Конкретно-индуктивный метод, при котором теорема в готовом виде не сообщается, проводится специальная работа по «подведению» учащихся к теореме, обнаружению соответствующей математической закономерности. Итогом этой работы является формулирование изучаемой теоремы.

2. Абстрактно-дедуктивный метод введения теоремы начинается с того, что учитель сам формулирует эту теорему, а затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия и заключения, построению чертежа и т.д.

Основная задача учителя – научить учащихся доказывать теоремы. Под этим обучением доказательству понимают обучение мыслительным процессам в поисках нахождения и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств. Учить доказывать – это, прежде всего, учить рассуждать.

Поиск доказательства направляется исходя из трех основных вопросов:

• Что надо доказать?
• Откуда это следует?
• Как это доказать?

Обучение доказательству будет успешным при соблюдении следующих правил:

1. Повторить и восстановить в памяти учащихся тот материал, который придется использовать в доказательстве теоремы на данном уроке. При этом, в одних случаях в начале урока учитель проводит повторение подготавливаемых формулировок, например, путем опроса учащихся. В других случаях можно включать в задания на дом на предыдущем уроке соответствующий материал на повторение.

2. Перед тем как перейти к доказательству новой теоремы учитель должен убедиться, что учащиеся поняли ее содержание, разграничили в ней условие и заключение.

3. По возможности не давать готовых формулировок теорем, а привлекать к открытию теоремы учащихся.

4. Учитель должен приучать школьников к правильному пониманию роли чертежа и к осознанию того факта, что чертеж ничего не доказывает. Он лишь облегчает понимание доказательства, его проведение и может «натолкнуть» на геометрический факт. Суждение является истинным, если оно содержится либо в условии доказанной теоремы, либо в определении одного из понятий, о котором идет речь в теореме или которое вводится при доказательстве, либо в одной из аксиом, либо в одной из ранее доказанных теорем или следствий. Истинным является также то, что доказано в ходе доказательства этой теоремы.

5. Перед тем как приступить к доказательству теоремы учитель должен попытаться убедить в необходимости этого доказательства, поэтому после установления геометрического факта, о котором говорится в теореме, следует поставить вопрос: «Можно ли считать установленный факт истинным для всех объектов?»

6. При закреплении доказательства на данном уроке, при опросе на следующем уроке и при последующем повторении изменять расположение чертежа в целом и его деталей, обозначений; подробнее, чем в учебнике, обосновать все этапы доказательства; поощрять самостоятельное применение других методов доказательства.

7. Не применять синтетические рассуждения при доказательстве.

8. Тщательно продумывать всю систему упражнений.

Методы доказательства в обучении следует разнообразить, отдавая предпочтения тем из них, которые лучше способствуют обучению школьников самостоятельно доказывать новые математические предложения. Этому требованию, а также ведущему принципу современной дидактики – принципу развивающего обучения – в наибольшей степени отвечают аналитические методы.

Умение решать задачи – один из основных показателей уровня математического развития, а также глубины и полноты понимания и освоения материала. Решение задач используется с разными учебными целями: для формирования мотивации и интереса к учебной деятельности у учащихся, для иллюстрации и конкретизации изученного учебного материала, выработки у учащихся специальных умений и навыков, для развития логического мышления, для контроля и оценки результатов их учебной работы и т. д.

Для овладения такими навыками как, умение решать задачи, и обучению этому искусству, необходимо соблюдать ряд требований и правил.

1. Учащиеся должны иметь представление о том, как возникают задачи, откуда они берутся.

2. С логической точки зрения, в каждой задаче рассматривается один или несколько объектов задачи (числа, фигуры, предметы и т. д.).

3. Каждое элементарное условие имеет определенную структуру.

4. Учащиеся должны уметь классифицировать задачи.

Классификация математических задач.

По характеру объектов:

1) математические, в которых все объекты математические (числа, фигуры, функции, уравнения и т. д.);

2) прикладные, в которых все объекты не математические (предметы, механизмы и т.д.).

По характеру требований:

1) на нахождение искомой характеристики (качественной или количественной) заданного объекта или искомого отношения между объектами;

2) на доказательство;

3) на преобразование некоторого объекта;

4) на построение объекта.

По отношению между элементарными условиями и требованиями задачи:

1) определенные, в которых задано необходимое и достаточное число условий для удовлетворения требования, т. е. для решения задачи;

2) недоопределенные, в которых недостаточно условий для решения;

3) переопределенные, имеющие излишние условия, которые, в свою очередь, делятся на такие виды:

а) лишние условия являются логическими следствиями остальных, а поэтому задача непротиворечивая;

б) лишние условия противоречат другим условиям (противоречивые задачи).

5. Очень важно, чтобы учащиеся уяснили на ряде примеров, в чем состоит сущность решения задач.

6. Процесс решения математических задач состоит из следующих основных этапов:

1) анализ задачи (содержательный и логический);

2) схематическая запись условия (построение высказывательной модели задачи с использованием математической символики, чертежей, графиков и т. д.);

3) поиск способа решения; нахождение теоретической базы решения;

4) осуществление способа (плана) решения;

5) проверка найденного решения;

6) исследование задачи и найденного решения (при каких условиях задача имеет решение, сколько решений, имеется ли другой способ решения и т. д.);

7) формулирование ответа задачи;

8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Далее отражены методы, которые используются при обучении решению задач.

1) Разбиение задачи на подзадачи.

Этот метод состоит в том, что сложную задачу разбивают на несколько более простых, по возможности стандартных, задач, при последовательном решении которых решим и данную задачу. Этот метод имеет три разновидности:

А) разбиение условий задачи на части;

Б) разбиение требования задачи на части;

В) разбиение объекта задачи на части.

2) Преобразование задачи.

Этот метод заключается в том, что с помощью какого-либо приема преобразуется данная задача в более простую, эквивалентную задачу. Наиболее известными являются прием замены неизвестных (метод подстановки), прием (метод) геометрических преобразований и т. д.

3) Кодирование объектов задачи.

Как и в предыдущем методе, данная задача заменяется эквивалентной. Но в отличие от предыдущего метода, где замена происходила в пределах одного, и того же языка задачи, т. е. алгебраическая задача заменялась также алгебраической, геометрическая — геометрической, данный метод предполагает переход от одного языка к другому с помощью кодировки объектов задачи.

4) Введение (построение) вспомогательных элементов.

Этот метод используется для придания задаче определенности, если в ней имеются явно или неявно заданные неопределенные неизвестные, а также тогда, когда связь (отношение, зависимость) между данными и искомым непосредственно из условий задачи не видна (не может быть установлена).

Важнейшая задача образовательной организации – давать будущему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и умения, уметь их практически применить. Знание методики преподавания математики способствует решению этой задачи.