Участие подтверждается официальными документами

Приказ о проведении
Положение
Выписка из Протокола
Диплом победителя
Диплом за инновационную деятельность
Благодарность

Категории конкурсов

Всероссийский профессиональный педагогический конкурс «Мастерство как искусство: Фейерверк педагогических талантов»
Всероссийский профессиональный конкурс для воспитателей и педагогов дошкольного образования «Педагогический опыт: Территория детства»
Всероссийский профессиональный конкурс авторских методик «Новогодний калейдоскоп: сценарии, идеи, решения»
Всероссийский профессиональный конкурсы педагогического мастерства «Уроки о самом родном», посвященный Дню Матери
Всероссийский профессиональный педагогический конкурс ко Дню народного единства «В единстве народа — величие России!»

04.02.2025

Учебно-методическое пособие "Логарифмы"

Рязанцева Елена Анатольевна, Макарова Анна Николаевна

АУ ПО ХМАО-Югры "Сургутский политехнический колледж"

Конкурсная работа

Автономное учреждение

профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«СУРГУТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Учебно-методическое пособие

«Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства»

для обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих (служащих) и специалистов среднего звена

Shape1

Сургут, 2025

Учебно-методическое пособие «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства»

Составители: А.Н.Макарова, преподаватель математики, высшая категория

Е.А.Рязанцева, преподаватель математики, высшая категория

Учебно–методическое пособие «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства» составлено в соответствии с рабочей программой по математике и предназначено для лучшего понимания и усвоения учебного материала.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка	3
Урок 1. Понятие логарифма	4
Урок 2. Свойства логарифмов	6
Урок 3. Практическая работа по теме: «Логарифмы и их свойства»	8
Урок 4. Логарифмическая функция	11
Урок 5-6. Логарифмические уравнения	14
Урок 7. Логарифмические неравенства	18
Урок 8. Системы логарифмических уравнений	22
Урок 9. Контрольная работа по теме: «Корни, степени и логарифмы»	24

Пояснительная записка

Пособие предназначено для оказания помощи студентам при изучении темы «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства». На изучение данной темы отводится 18 часов.

В пособии содержится теоретический материал, приведен разбор решений типичных заданий, предлагаются задания для самостоятельных работ, практическая и контрольная работы по данной теме.

Задания разработаны таким образом, чтобы можно было осуществить проверку знаний.

Урок 1. Понятие логарифма

1. Теоретический материал

Как называются уравнения и какими способами их можно решить?

Решение:

;

???

Для любого уравнения вида, , где существует единственный корень и его условились записывать так: .

Например: ,.

Определение:логарифмом числа b по основанию а называетсяпоказатель степени, в которую нужно возвести числоа, чтобы получить b, где , то есть .

Например:

, так как ;

, так как

Из определения вытекает основное логарифмическое тождество:

Например:

1) ;	4) ;
2) ;	5) ;
3) ;	6)

Простейшие свойства логарифмов:

Например:

, так как ;

, так как .

Виды логарифмов: обыкновенные, десятичные, натуральные.

Обыкновенные логарифмы: логарифмы вида , где .

Например: (читается: логарифм 7 по основанию 2).

Десятичные логарифмы: логарифмы,основания которых равно 10, .

Например: (читается: десятичный логарифм 3).

Натуральные логарифмы: логарифмы,основания которых равно е (е, .

Например: (читается: натуральный логарифм 5).

Задания для письменной самостоятельной работы:

1) Вычислить:
1) ;	8) ;
2) ;	9) ;
3) ;	10) ;
4) ;	11) ;
5) ;	12);
6) ;	13);
7) ;	14) .
2) Найти x:
1) ;	5) ;
2) ;	6) ;
3);	7) ;
4) ;	8).

Урок 2. Свойства логарифмов

1. Теоретический материал

При справедливы следующие равенства:

1	;	6	;
2	;	7	;
3	;	8	;
4	;	9	;
5	;	10	.

Важно! Формулы 4 и 5 применяются к выражению, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями; Формулы 9 и 10 позволяют переходить от одного основания логарифмов к другому.

Примеры применения свойств:
1)	;
2)	;
3)	;
4)	;
5)	;
6)	;
7)	;
8)	;
9)	.

Задания для письменной самостоятельной работы:

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10) ;
5) ;	11) ;
6) ;	12) .

Урок 3. Практическая работа по теме «Логарифмы и их свойства»

Цель: закрепить умение применять определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов при преобразовании выражений.

Теоретический материал

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

- основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

;
.

Практическая работа

1 вариант

1. 1. 1. 1. Вычислите:

а) ;	б) ;	в) ;	г) ;
д) ;	е) ;	ж) ;	з) .

1. 1. 1. 1. Найдите значение выражения, используя основное логарифмическое тождество:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1. 1. 1. 1. Найдите значение выражения:

а) ;	ж) ;
б) ;	з) ;
в) ;	и)
г) ;	к) ;
д) ;	л)^*;
е) ;	м)^*.

Критерии оценивания:

оценка «3» ставится за правильно выполненные задания №1 (а-е), №2 (а,б), №3 (а-г); «4» - за правильно выполненные задания №1, №2, №3(а-з); «5» - за правильно выполненные задания №1, №2, №3 (а-к, на выбор л^* или м^*).

Практическая работа

2 вариант

1. 1. 1. 1. Вычислите:

а) ;	б) ;	в) ;	г) .
д) ;	е) ;	ж) ;	з) .

1. 1. 1. 1. Найдите значение выражения, используя основное логарифмическое тождество:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1. 1. 1. 1. Найдите значение выражения:

а) ;	ж) ;
б) ;	з) ;
в) ;	и) ;
г) ;	к) ;
д) ;	л)^*;
е) ;	м)^*.

Критерии оценивания:

Урок 4. Логарифмическая функция

Теоретический материал

Логарифмической функцией называется функция вида , где заданное число, .

График функции , где

Свойства функции

Область определения:

D(y) = (0; +∞);

Множество значений:

(-∞, +∞);

Возрастает на промежутке

(0; +∞);

Не является ни четной, ни нечетной;
Не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
Непрерывна;
Выпукла вверх;
у>0 при х>1,у<0 при 0<х<1.

График функции , где

Свойства функции

Область определения:

D(y) = (0; +∞);

Множество значений:

E(y) = (-∞, +∞);

Убывает на промежутке x(0; +∞);
Не является ни четной, ни нечетной;
Не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
Непрерывна;
Выпукла вниз;
у>0 при0<х<1, у<0 при х>1.

Основные свойства логарифмической функции

№
1	Область определения функции (0; )
2	Множество значений функции (0; )
3	Возрастает на	Убывает на
4	Не ограничена сверху, не ограничена снизу
5	Не имеет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения
6	Непрерывна
7	Не является ни четной, ни нечетной

Примеры решения заданий:

1. Найти область определения функции .

Решение: область определения функции – это допустимые значения аргумента, то есть это все значения х, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл:

по определению логарифма ;

D(y) = (-7; +∞).

2. Укажите возрастающие и убывающие функции:

а); б) ; в) ; г) .

Решение:логарифмическая функция является:

возрастающей при

убывающей при

б) , так как ;

а) , так как ;

в) , так как

;

г) , так как .

3. Какие точки принадлежат графикам функций:

1) 2) 3)

а); б) ; в) .

Решение: для того, чтобы определить принадлежность точки графику функции, необходимо подставить координаты точки вместо x и y и посмотреть, получается ли верное равенство:

Функция:	Точка:	Решение:
1)	в)
2)	а)
3)	б)	;

4. Сравните числа:

а) и ;

б) и .

Решения:

а) по свойству логарифмической функции , если основание , то функция является возрастающей (при увеличении значения х, значения у увеличивается), при сравнении логарифмов сравниваем числа, стоящие под знаком логарифма с тем же знаком ;

б) по свойству логарифмической функции , если основание , то функция является убывающей (при увеличении значения х, значения у уменьшается), при сравнении логарифмов сравниваем числа, стоящие под знаком логарифма с противоположным знаком .

Задания для самостоятельной работы:

Найти область определения функции:

а); б) ; в) .

2. Какие из функций являются возрастающими:

а); б) ; в) ; г) .

3. Укажите рисунок на котором изображен график функции

а)	в)
б)	г)

4. Какие точки принадлежат графику функции

а); б) ; в) .

5. Сравните числа:

а) и ;

б) и .

Урок 5-6. Логарифмические уравнения

Логарифмическимуравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма.

Имеются три основных метода решения логарифмических уравнений:

Метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду , а затем к виду
По определению логарифма, например , где , уравнение имеет решение
Метод введения новой переменной, например, заменив сводиться к квадратному .

Обращаем ваше внимание! Решив полученное уравнение, применив любой метод решения, следует сделать проверкукорней, так как по определению логарифм отрицательного числа не существует!

логарифмическое уравнение	шаги решения	математическая запись
	Согласно первого метода решения, так как основания логарифмов равны, приравниваем выражения стоящие под его знаком
	После преобразования получаем квадратное уравнение	; a = 1, b= - 1, c = -12; ,D; ;
	Делаем проверку корней, подставляя в выражения стоящие под знаком логарифма	4: - посторонний корень; -3:; корень -3 удовлетворяет условию
	Ответ:	.
	Согласно второго метода решения, запишем уравнение в виде
	Решим получившееся линейное уравнение	; ;
	Делаем проверку
	Ответ:	.
	Согласно третьего метода решения введем новую переменную, заменив . Тогда уравнение примет вид
	Решаем квадратное уравнение
	Делаем обратную замену
	Решаем полученные уравнения по второму методу	; ;	;
	Заметим, что проверка в решении данного уравнения не требуется, так как неизвестное стоящее под знаком логарифма принимает только положительное значение
	Ответ:

Пример 1. Решите уравнение

Решение:

;

Проверка: 24997+3=25000>0.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение

Решение:

a = 1, b= - 2, c = -15;

,D;

;

Проверка:

-3:

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение:

Пусть

;

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

;
;
;
;
;

;
;
;
.

Урок 7. Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств сводится к решению системы неравенств, содержащих область определения функции (ООФ) и решение равносильного неравенства, полученного из логарифмического неравенства, путем его преобразования по известным нам свойствам логарифмических функций.

Важным пунктом при решении логарифмического неравенства является так же монотонность функции:

1. Если <, при этом а >1 (т.е функция возрастающая - ↑)

(знак остается прежним);

2. Если <, при этом 0<a<1 (т.е функция убывающая - ↓)

(знак меняется на противоположный).

Пример:

;

, т.к основание а=10, то функция ↑;

x+1≤100

x≤100-1

x≤99

ООФ: x+1>0 → x>-1

Отметим решение этих двух неравенств на общей числовой оси:

Находим общее решение .

Ответ:.

Схема решения логарифмических неравенств:

Найти ООФ;
Решить логарифмическое неравенство, применяя:

- свойства логарифмов;

- монотонность логарифмической функции (возрастание и убывание функций);

Выбрать общее решение: ООФ + решение неравенства;
Записать ответ.

логарифмическое неравенство	шаги решения	математическая запись
	Прологарифмируем правую часть неравенства по основанию 3 и воспользуемся свойством логарифмов	; ; ;
	Перейдем от логарифмического неравенства к системе неравенств: 1. первое неравенство получено путем потенцирования с учетом монотонности функции (так как функция возрастающая, то при сравнении выражений стоящих под знаком логарифма, знак неравенства не меняется); 2. второе неравенство получено путем нахождения ООФ (выражение, стоящее под знаком логарифма, может принимать только положительное значение) 3. решаем полученную систему неравенств
	Решение системы неравенств показываем на числовой прямой
	Ответ:

	Перейдем от логарифмического неравенства к системе неравенств: 1. первое неравенство получено путем потенцирования с учетом монотонности функции (так как функция убывающая, то при сравнении выражений стоящих под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный); 2. второе и третье неравенства получены путем нахождения ООФ (выражения, стоящие под знаком логарифма, могут принимать только положительное значение)
	Решим полученную систему неравенств и решение покажем на числовой прямой

	Ответ:
	Прологарифмируем в правой части неравенства число 1, затем применим свойство логарифмов	; ; ;
	Перейдем от логарифмического неравенства к системе неравенств: 1. первое неравенство получено путем потенцирования с учетом монотонности функции (так как функция возрастающая, то при сравнении выражений стоящих под знаком логарифма, знак неравенства не меняется); 2. второе неравенство получены путем нахождения ООФ (выражение, стоящее под знаком логарифма, может принимать только положительное значение)
	Решение неравенств покажем на числовой прямой
	Ответ:

Задания для самостоятельной работы:

№	1 вариант	2 вариант
1	;	;
2	;	;
3	.	.
4

Урок 8. Системы логарифмических уравнений

При решении систем логарифмических уравнений используют те же способы, что и при решении алгебраических систем. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите систему логарифмических уравнений

Решение: решим данную систему методом алгебраического сложения:

Сложим и вычтем уравнения системы:

;

Осуществим проверку полученных значений (выражение, стоящее под знаком логарифма, может принимать только положительное значение)

Ответ:,.

Пример 2. Решите систему логарифмических уравнений

Решение:

	Выполним преобразования, применяя свойства логарифмов
	В первом уравнение прологарифмируем число 2 по основанию 4, во втором уравнение прологарифмируем 2 по основанию 3
	Применим свойство логарифмов в первом и втором уравнениях
	Перейдем от системы логарифмических уравнений к системе уравнений путем потенцирования обоих уравнений
; .	Решим систему получившихся уравнений
Осуществим проверку полученных значений (выражение, стоящее под знаком логарифма, может принимать только положительное значение) и
Ответ:; .

Задания для самостоятельного решения:

1. Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений

Урок9. Контрольная работа №4

Тема:«Логарифмы»

Вариант №1

Вычислите:

;
;
.

Решите уравнение:

;
;
;
.

Решите неравенство:

;
;

4. Решите систему уравнений

Вариант №2

Вычислите:

;
;
.

2. Решите уравнение:

;
;
.

3. Решите неравенство:

1);

2);

3).

4. Решите систему уравнений

Критерии оценивания:

оценка «3» ставится за правильно выполненные задания №1 (1-4), №2(1-3) и №3(1); «4» - задания №1(1-6), №2 – любые пять уравнений, №3 – любые два неравенства; «5» - за все правильно выполненные задания.

Свидетельство участника экспертного совета жюри

Свидетельство можно заказать сразу, как Вы оставите не менее 3 объективных комментариев в этом разделе сайта.

Узнать подробнее

Лэпбук "Развитие речи дошкольников с элементами обучения грамоте". Дидактическое пособие по обучению рассказыванию детей старшего дошкольного возраста «Наши помощники – мнемотаблицы»

У вас недостаточно прав для добавления комментариев.

Чтобы оставлять комментарии, вам необходимо авторизоваться на сайте. Если у вас еще нет учетной записи на нашем сайте, предлагаем зарегистрироваться. Это займет не более 5 минут.