Рабочая тетрадь по теме "Тригонометрические функции"

Задание2: Найти градусную меру угла, выраженного в радианах :

Задание3: Заполнить таблицу:

Ф ормула 3:

l=α∙R где l- длина дуги,

R – радиус окружности, которую стягивает дуга

Формула 4:

S =∙α, где l- длина дуги,

R – радиус окружности, которую стягивает дуга

S – площадь кругового сектора

α=α_рад радианная мера угла

Пример: Решить задачу:

Вычислить длину дуги, если радиус окружности R = 4см, дуга стягивает центральный угол α_рад=4,5рад.

Решение: l=α∙R=4,5∙4=18см.

Ответ: l= 18см.

Задание4: Решить задачи:

1)Вычислить радиус окружности, если её дуга, длиной l=7,2см стягивает центральный угол α=3,6рад.

2) Дуга окружности радиуса R=3см стягивает угол α_рад=4,5рад. Найти длину этой дуги l и площадь сектора , ограниченного ею S.

3

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3 .

Задание5: Заполнить таблицу:

Поворот точки вокруг начала координат

Определение: Единичной (тригонометрической) окружностью называется окружность с центром в начале координат, радиуса 1.

I четверть

II четверть

90º( )

т.2 (0;1)

Против

часовой «+»

стрелки

По

часовой «-»

стрелке

т.3 (-1;0)

т.1 (1;0)

0º(0)

180º(π)

360º(2π)

IV четверть

III четверть

т.4 (0;-1)

270º( )

Рисунок 1 Рисунок 2

Пример: Точка 1(1;0) переместилась по окружности на угол 180º против часовой стрелки, а затем на угол 90º по часовой стрелке.

Какие координаты получились? (выполнять по рис/1)

точка .1(1;0)=[влево на 180º]=точка.3(-1;0) )=[вправо на 90º]=точка.2(0;1)

Задание1:Определить координаты точки после перемещения:

• Точка 1(1;0) переместилась по окружности на 270º против часовой стрелки, затем на 180º по часовой стрелке.

точка .1 (1;0)=[влево на 270º]= точка .4 (0;-1) )=[вправо на ….]= точка .….(...;…)

• Точка 1(1;0) переместилась по окружности на π против часовой стрелки, затем на 2π по часовой стрелке.

Задание2: Точка М единичной окружности получена поворотом точки1(1;0) на угол α. Заполнить таблицу (по рис.1):

Задание3: Точка М единичной окружности получена поворотом точки1(1;0) на угол α. Заполнить таблицу (по рис.2):

Тема 2. Определение тригонометрических функций

Определение 1:Синусом числа α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α радиан. (sinα)

Определение 2:Косинусом числа α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α радиан.(cosα)

т.М(cosα,sinα)

Определение 3:Тангенсом числа α называется отношение синуса числа α к его косинусу.(tgα)

tgα=

Определение 4:Котангенсом числа α называется отношение косинуса числа α к его синусу.(ctgα)

ctgα=

Определение: Функции у=sinα, у=cosα, у=tgα, у=сtgα называют тригонометрическими функциями.

П

т.М()

ример

Решение:

сosα= ,sinα= ,tgα=ctgα=

Ответ: сosα= ,sinα= ,tgα=-1, ctgα=-1

Задание1: По рисунку определить, чему равен sinα, cosα , затем найти tgα, сtgα.

т

т.М₁()

сosα= ,sinα=…., сosα=….,sinα=….,

t

т.М₂(-1;0)

ctgα==….. ctgα==не сущес- вует, так как на 0 делить нельзя.

Таблица значений:

Пример: Вычислить:

3sin +2cos -tg =3∙ +2∙ -= -= +-=

Задание2: Закончить решение:

• c os90º-sin90º=0-1=….

• 4cosπ+3ctg=4∙(-1)+3∙1=….

• tg∙cos∙sin= ∙∙(-1)=….

• tg45º∙sin60º∙ctg60º=1∙∙….=……

• 5sin+3tg-5cos-10ctg=5∙…..+3∙……-5∙……-10∙…..=……

Задание3: Найти ошибку:

1. 3cos180º+5ctg270º-2sin360º=3∙1+5∙0=2∙1=3+0-2=1

2. 2sin-2cos-ctg=2∙-2∙- =1-1- =-

З адание4: Вычислить и соединить стрелками те примеры, которые имеют одинаковый ответ, ответ выбрать и указать.

Sin-cos +14tg2π

sin270º

cosπ

а) -1

б) 0

в)

4sin -6cos+tg

3tg

2sin60º+8cos30º-12ctg30º+8tg60º

Тема 3. Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости Oxy лежит луч OM  (рисунки 1, 2, 3).

I четверть

II четверть

90º( )

Против

часовой «+»

стрелки

По

часовой «-»

стрелке

180º(π)

0º(0)

360º(2π)

IV четверть

III четверть

270º( )

Задание1: Заполнить таблицу:

Пример: Определить знак произведения

• sin400º∙cos215º∙tg134º∙ctg140º=sin(Iч.)∙cos(IIIч.)∙tg(IIч.)∙ctg(Iч.)=+ ∙ (-) ∙ (-) ∙ + = +

Задание 2: Найти ошибку:

Cos45º∙sin(-45º)∙tg100º∙ctg(-100º)=cos(Iч.)∙sin(Iч.)∙tg(IIч.)∙ctg(IIч.)=+ ∙ + ∙ (-) ∙ (-) = +

Задание3: Определить знак произведения

1. cos370º∙tg15º∙ctg140º∙sin274º

2. sin(-3º)∙ctg150º∙tg300º∙cos240º

Тема 4. Зависимость между тригонометрическими

функциями одного и того же аргумента

Задание1: Заполнить таблицу:

Формулы:

Пример: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

Sinα=0,6 cosα=0,8

sin²α+cos²α=(0,6)²+(0,8)²=0,36+0,64=1 (выполняется)

Задание2: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства :

Sinα=0,6 cosα=0,8

выполняется

Sinα=-1 cosα=0

Не выполняется

Sinα=cosα=

Пример: Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα= ,

Решение:

Формула 1б)

Формула 2) Формула 3)

tgα=ctgα=

Ответ:cosα=,tgα=- ,ctgα=

Задание 3: Закончить решение:

1) Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα=- ,

Решение:

Формула 1б)

Формула 2) Формула 3)

t gα=ctgα=

Ответ:cosα=,tgα=-…,ctgα=-….

2) Вычислить sinα,tgα,ctgα, если cosα=-0,6,

Решение:

Формула 1а)

Формула 2) Формула 3)

tgα=ctgα=

Ответ:sinα=…,tgα=-…,ctgα=-….

Пример: Вычислить sinα,cosα,tgα, , если ctgα=-3,

Решение:

Формула 4а)

Формула 5а)

Формула 6а)

Ответ:sinα=- ,cosα=,tgα=-

Задание4: Найти остальные тригонометрические функции, если:

1. sinα=0,6

2. cosα=-

3. tgα=4

1. sinα=0,6

1. cosα=-

1. tgα=4

Задание5: Упростить (по аналогии с решённым):

Задание6: Упростить (воспользоваться формулами:( а + в )² = а² + 2ав + в²,

( а - в )² = а² - 2ав + в²)

(sinα-cosα)²+(sinα+cosα)²

Задание7^*: Известно, что tgα=8. Найти

1)

2)

Тема 5.Четность и нечетность тригонометрических функций

Определение: Функция f(х) называется чётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=f(х)

Свойство: График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение: Функция f(х) называется нечётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=-f(х)

С войство: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

      Рассмотрим рисунок

      На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

      откуда вытекают формулы:

Таким образом, косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции.

cos(-α)=cosα

sin(-α)=-sinα

tg(-α)=-tgα

ctg(-α)=-ctgα

Задание1: Заполнить таблицу:

Задание2: Вычислить:

• 2sin(-30º)=-2sin30º=-2∙ =-1

• 3tg(- )=-3tg =-3∙….

• 4cos(- )∙sin(- )+tg(- )=4∙ ∙ )+(-1)=- ∙ -1=…..

• 2sin(- )∙cos(- )+tg(- )+sin²(- )=…..

Задание3: Упростить (по аналогии с решённым):

Периодичность тригонометрических функций

Определение: Функция f(х) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(х-Т)=f(х)=f(х+Т)

Ч исло Т называют периодом функции f(х).

Рассмотрим рисунок 1,       если луч  ,  повернуть по ходу или против хода часовнаполный угол (360 градусов или радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

а также формулы:

      Поворачивая луч   на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( градусов или радиан), получаем следующие формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряютсяв градусах,периодами синуса и косинуса являются углы ,.

 В случае, когда углы измеряются в радианах,периодами синуса и косинуса являются числа ,.

 В случае, когда углы измеряются в градусах,наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол .

В случае, когда углы измеряются в радианах,наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число .

В случае, когда углы измеряются в градусах,периодами тангенса и котангенса являются углы  ,

В случае, когда углы измеряются в радианах,периодами тангенса и котангенса являются числа ,.

В случае, когда углы измеряются в градусах,наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол  .

В случае, когда углы измеряются в радианах,наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число .

Задание1: Упростить по образцу:

370º=360º+10º=2π+10º

170º=180º-10º= π-10º

120º=90º+30º= +30º

400º=360º-…..=2π-…..

140º=180º-…..

220º=….

135º=…..

Тема 6. Формулы сложения

cos(α + β) = cosα∙cosβ - sinα∙sinβcos(α - β) = cosα∙cosβ + sinα∙sinβ

sin(α + β) = sinα∙cosβ + cosα∙sinβsin(α - β) = sinα∙cosβ - cosα∙sinβ

tg(α + β) =

Задание1: Вычислить по аналогии:

Задание2:Упростить:

1 ) cos (60° — α) + cos (60° + α)=

2) cos (α + ^π/₆) — cos (α —^π/₆)=

Задание3:Вычислить :

1) Вычислить cos 15°, представив 15° как разность 60° — 45°.

2) Вычислить cos 75°, представив 75° как сумму 30° + 45°.

3) Вычислить cosl05°, представив 105° как сумму 45° + 60°.

Задание4: Дано: sin α = 0,6; sin β = —0,28; 0° < α < 90° и 180°< β <270°.
Вычислить: 1) cos (α + β);

2) cos (α — β).

Формулы приведения

Таблица приведения:

Пример:Вычислить:

Cos150º=cos(180º-30º)=cos (π-30º)=-cos30º=-

Sin240º=sin(180º+60º)=sin(π+60º)=-sin60º=-

Задание1: Закончить решение:

• s in135º=sin(90º+45º)=sin(+45º)=cos45º=

• cos120º=cos(180º-60º)=cos(π-60º)=….

• ctg240º=ctg(270º-30º)=ctg(-30º)=…..

• sin315º=…..

Задание2: Найти ошибку:

1. Sin(π – α)∙cos( -α)-cos(π – α)∙sin( -α)=sinα∙sinα-(-cosα)∙(-cosα)=

= sin²α+cos²α=1

2)

Задание3: Упростить, из предложенных ответов выбрать верный:

1) 3)

2) 4)

а) –1 б)ctgα в) г)1

Ответ записать в виде таблицы:

=

=

=

=

Тема 7.Тригонометрические функции двойного и

половинного аргумента

sin2α = 2∙sinα∙cosα

cos2α = cos²α - sin²α

tgα=

Задание 1: Выразить функции данного аргумента через функции половинного аргумента. Заполнить таблицу:

Задание2: Заполнить таблицу (задание, обратное заданию1):

З адание3: Упростить по аналогии:

Тема 8.Преобразование суммы и разности

тригонометрических функций в произведение

sinα + sinβ = 2∙sin ∙ cossinα - sinβ = 2∙sin ∙ cos

cosα + cosβ = 2∙cos ∙ cos cosα - cosβ = - 2∙sin ∙ sin

З адание1: Вычислить по аналогии:

З адание2: Упростить:

1) sin (30° + α) + sin (30° — α)=

2 ) sin( ^π/₃ + α)— sin( ^π/₃— α)=

Задание 3: Упростить выражения.

1)sin 12° • cos 18° + sin 18° • cos 12°;
2) sin 65° • sin 55° + cos 65° • cos 55°;
3) sin 4,25 • cos 1,11 — sin 1,11 • cos 4,25;
4) sin^3π/₇ • sin^5π/₂₁— cos^3π/₇ • cos^5π/₂₁

5)sin α — sin (α + β) + cos α • cos (α + β);
6) sin (15° + α) • cos (15° — α) + sin (15° — α) • cos (15° + α).

Задание4: Доказать тождества.

1)sin (α + β) + sin (α — β) = 2 sin α • cos β;
2) sin (α + β) — sin (α — β) = 2cos α • sin β.

3) cos (α — β) + cos (α + β) = 2 cos α • cos β;
4) cos (α — β) — cos (α + β) = 2 sin α • sin β.

5) sin (α + β) • sin (α — β) = sin²α — sin²β;
6) cos (α + β) • cos (α — β) = cos²α — sin²β.

Историческая справка

Т ригонометрические функции (получившие название от греч.trigonon – треугольник и meteo – измеряю) играют огромную роль в математике и ее приложениях.

   Исследованием тригонометрических функций практически занимались ещё древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин в геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках, по своей сути являющиеся тригонометрическими функциями, рассматривались уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония и других ученых.

Ф.ВИЕТ

     В начале XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление – аналитическое. Если до этого учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.

     О свойствах периодичности тригонометрических функций знал ещё Ф. Виет. Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь ввелЛ. Эйлер в 1748 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». В ней он рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента.

     Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа, называя их общим терминомтрансцендентные количества, получающиеся из круга.

     В 19 в. дальнейшее развитие теории тригонометрических функций было продолжено в работах русского математикаН.Л.Лобачевского (1792-1856), а также в трудах других ученых, например в работах профессоров МГУД.Е. Меньшова и Н.К. Бари.

Тема 9.Функция у = sinх, её свойства и график

Основные свойства:

1. Область определения – множество R всех действительных чисел;

2. Множество значений – отрезок[-1;1];

3. Функция у=sinх – периодическая с периодом 2π, т.е. sin(х+2π)=sinх

4. Функция у=sinх - нечётная, т.е.sin(-х)=-sinх

5. Функция у=sinх:

возрастает на отрезках

убывает на отрезках

1. Функция у=sinх принимает

Наибольшее значение, равное 1, при х=

Наименьшее значение, равное –1, при х=-

Значение равное нулю, при х=

Задание 1:Изобразить график функции у=2+sinx

у=2+sinx

Тема 10. Функция у = cosх, её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений – отрезок[-1;1];

3) Функция у=cosх – периодическая с периодом 2π, т.е.cos(х+2π)=cosх

4) Функция у=cosх чётная, т.е.cos(-х)=cosх

5) Функция у=cosх:

возрастает на отрезках

убывает на отрезках

6) Функция у=cosх принимает

Наибольшее значение, равное 1, при х=

Наименьшее значение, равное –1, при х=

Значение равное нулю, при х=

Задание 1:Изобразить график функции у=cos2x

у=cos2x

Тема 10. Функция у = tgх, её свойства и график

О сновные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;

2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;

3) Функция у=tgх – периодическая с периодом π, т.е.tg(х+π)=tgх

4) Функция у=tgх нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх

5) Функция у=tgх возрастает( убывает) на интервалах ,

6) Функция у=tgх принимает значение равное нулю, при х=

Функция у = сtgх, её свойства и график

О сновные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;

2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;

3) Функция у=сtgх – периодическая с периодом π, т.е. сtg(х+π)=tgх

4) Функция у=сtgх нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх

5) Функция у=сtgх возрастает (убывает) на интервалах

,

6) Функция у=сtgх принимает значение равное нулю, при х=

Проверь себя!

Контрольная работа

Уровень А:

1) Найти значение выражения:

а) cos +tg -sin

б) 2cos60º-tg45º

в) 2tg45º+5ctg270º-3sin180º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:

а) sinα= , 0<α<

б) cosα=-0,6, <α<π

3) Упростить:

а) sin²α-tgα∙ctgα+cos²α

б)

Уровень В:

1) Найти значение выражения:

а) 2cos + 4sin-3ctg

б) cos100º+cos80º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:

а) cosα=- , π<α<

б) ctgα=5, <α<π

3) Упростить:

а) (tgα∙ctgα+tg²α)∙sin²α

б) (1-cos²(-α))∙(1+tg²(-α))

Уровень С:

1) Найти значение выражения:

а) sin155º-sin25º

б) sin20º∙cos10º+cos20º∙sin10º

в) cos20º∙cos40º-sin20º∙sin40º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если tgα=-4, <α<π

3) Упростить:

а)

б)

в) sin⁴(-α)+cos²(-α)- cos⁴(-α)

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Прототипы задания В7

Задания по теме «Тригонометрические функции» В ЕГЭ – задачи на преобразование и вычисление тригонометрических выражений. И

1.

2.

Тренировочная работа №1

Задание В7: Найти значение выражения

Тренировочная работа №2

Задание В7: Найти значение выражения

Учебно – методическое обеспечение дисциплины

Учебники:

• «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;

• «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Дополнительные источники:

Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.

Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.

Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2004.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.

Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

Интернет-ресурсы:

www.ege66.ru

www.edu.ru

www.uraledu.ru

www.minobraz.ru

www.mathtest.ru

www.allmatematika.ru

www.ega-math.narod.ru

www1.ege.edu.ru/online-testing/math/

www.mathnet.spb.ru

www.exponenta.ru/

35