Логарифмы и их свойства

Областное государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ангарский техникум строительных технологий»

Логарифмы и их свойства

методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка…………………………………………………4

Введение…………………………………………………………………5

Логарифмы и их свойства……………………………………………..6-7

Логарифмические уравнения…………………………………………7-12

Логарифмические неравенства……………………………………….13-17

Самостоятельная работа……………………………………………….18-20

Литература………………………………………………………………21

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

Изложение материала строится на основе формирования знаний основных свойств логарифмов. Введены определение логарифма, формулы действий с логарифмами, разобраны примеры решений логарифмических уравнений и неравенств. Модификация уравнений, формируются навыки решений с усложненными компонентами. Обучающиеся овладевают умениями решать логарифмические уравненияинеравенстваcиспользованием определения логарифма, свойств логарифмов, метода подстановки. Материал содержит методы и приемы, которые позволяют эффективно решать логарифмические уравнения и неравенства, позволяют использовать их преподавателем на уроках.

Раздел «Логарифмы» является наиболее сложной темой обучающихся. Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания. Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Данная тема имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления обучающихся, расширению сферы математических знаний, общекультурного кругозора. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства».

Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, список используемой литературы. Практическая часть реализуется на знаниях обучающихся, полученных в ходе теоретической подготовки.

Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзаменационной работы.

.Введение

Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны.

На всём протяжении XVI в. быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчётов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчётах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

В результате появилось новое понятие в математике – логарифм. Понятие логарифма помогает установить обратную связь со степенью, построить единую теорию математики.

Историческая справка

В наше время прогресс науки неотделим от достижений талантливых математиков-прикладников. Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета прикладного исследования.

Б. В. Гнеденко

«Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий, - пишут М.В. Чириков и А.П. Юшкевич. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели.

Логарифмы изобрели независимо друг от друга шотландский любитель математики Джон Непер (1550-1617) и также любитель математики – часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И. Бюрги (1552-1632), работавший вычислителем с астрономом И. Кеплером. Их цель была одна – желание дать новое средство арифметических вычислений.

Они занимались вычислением логарифмических таблиц. При их составлении они руководствовались идеей, высказанной Архимедом, а затем более подробно исследованной М. Штифелем в работе «Общая арифметика» (1544 г.).

Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка свыше 350 лет оставались надёжным аппаратом для приближённых, но быстрых вычислений. Они в значительной мере содействовали ускорению научного и технического прогресса. Однако с появлением ЭВМ, а особенно с изобретением портативных микрокалькуляторов логарифмические таблицы практически потеряли своё значение вычислительного аппарата.

Натуральные логарифмы имели и продолжают иметь не только практическое значение, но и чисто теоретическое в математическом анализе.

Учебно-тематический план самостоятельных работ по учебной дисциплине «Математика».

- систематическая проработка конспектов занятий;

- нахождение логарифмов чисел по основанию; выяснение, при каких значениях х существует данный логарифм;

- вычисления и решение уравнений с использованием различных свойств логарифмов; вычисления с применением логарифмических формул;

- нахождение х по данному его логарифму;

- вычисление логарифмов с помощью микрокалькулятора; выражение данного логарифма через десятичный и вычисление его на микрокалькуляторе с точностью до 0,01; выражение данного логарифма через натуральный и вычисление на микрокалькуляторе с точностью до 0,01; выражение данного логарифма через логарифм с другим основанием;

- выяснение, является ли положительным или отрицательным логарифмическое число; сравнение с единицей числа х в логарифмическом уравнении; выяснение, является ли возрастающей или убывающей данная логарифмическая функция;

- установление, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения; решение логарифмических уравнений; решение систем уравнений;

- решение логарифмических неравенств; нахождение целого решения неравенства на данном отрезке.

Логарифмы

Определения:

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов:

Правила действий с логарифмами (a, b, c > 0)

логарифм произведения:

логарифм частного:

логарифм степени:

логарифм степенного основания:

логарифм корня:

переход к новому основанию:

Дополнительные формулы:

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства обычно решаются путем приведения всех выражений, содержащих логарифмические и показательные функции, к одному основанию и последующей замены неизвестной, сводящей задачу к решению алгебраического уравнения или неравенства.

При решении неравенств используют свойства:

Логарифмические уравнения .

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида . (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение: .

Пример 1. Решить уравнения:

a) b)c)

Решение. Используя утверждение 1, получим

a) или x = 8; b) или x = 1/3; c) или x =1

Утверждение 2. Уравнение (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Утверждение 3. Уравнение равносильно одной из систем

f(x) = g(x),f(x) = g(x),

h(x) > 0,h(x) > 0,

h(x) ≠ 1,h(x) ≠ 1,

f(x) > 0,g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и

или

и вообще говоря, неравносильны Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае,проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.

I. Использование определения логарифма

Пример 2. Решить уравнения

a) b)c)d.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

5 +3

или

= 8 - 5, = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

= = .

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a) получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

= 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение - 4x - 5 = 0 с решениями = -1 и= 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

( - 8x + 15) =

или, после элементарных преобразований,

+ 6x-7 = 0,

откуда = -7 и= 1. После проверки остается x = 1.

II. Использование свойств логарифма

Решить уравнения:

a)

b)

с)

d)2

e)

Решение.a) ОДЗ уравнения есть множество xкоторое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения) x> 0,

x(x + 3) = x + 24,

+ 2x - 24 = 0,

= -6,

Ответ: 4

b)

откуда, используя определение логарифма, получим

или

- 4x + 1 = 1/2( - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

- 2x - 3 = 0

с решениями = -1 и= 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x, получим уравнение :

Следовательно, .

d) ОДЗ уравнения - множество х определяется из системы неравенств

Получим равносильное уравнение: ,

или ,

получим равносильное уравнение

(x - 2)|x - 4| = 1.

Поскольку в ОДЗ x - 2 = |x - 2| уравнение можно записать следующим образом

|x - 2||x - 4| = 1 или |- 6x + 8| = 1

последнее уравнение (см. свойства модуля) равносильно совокупности уравнений

- 6x + 8 = 1,

- 6x + 8 = -1,

откуда получим: = 3, = 3 + и = 3 - Ï ОДЗ. Таким образом, корнями исходного уравнения являются = 3 и = 3 + .

е ) ОДЗ данного уравнения 1-2х , х ,

,

Получим равносильное уравнение:

, , решив уравнение второй степени, получим корни:

Учитывая ОДЗ, ответ: -2- .

III. Метод подстановки

В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F( ) = 0, где F(x) - алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки = t сводится к алгебраическому уравнению относительно t, R(t) = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) - 3lgx + 2 = 0,

b)

c)

d)

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Обозначив lgx = t, получим квадратное уравнение

- 3t + 2 = 0,

решения которого = 1 и= 2. Следовательно, lg x = 1,lg x = 2,

откуда = 10 и= 100. Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (1; ). Поскольку подстановкой t =получим квадратное уравнение

4- 3t - 1 = 0 ,

решениями которого являются = -1/4 и= 1. Таким образом,

= -1/4, х-1= , х=1+

= 1, х-1=2, х=3.

c) ОДЗ уравнения - множество (0;+ ). Так как

100x = = = ,

10x = = =

подстановкой t = lgx сведем исходное уравнение к квадратному уравнению

++ t = 14

или

2 + 7t - 9 = 0

откуда = -9/2 и= 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим и = 10.

d) ОДЗ уравнения - множество (0;1) (1;+ ).

Поскольку уравнение примет видили 2·= 50, откуда= 25 или= lgx = 2 x = 100.

IV.Уравнения, содержащие выражения вида

Пример 5. Решить уравнения :

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы

.

В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2, получим равносильное уравнение

или

Обозначив= t, получим квадратное уравнение

- t - 2 = 0

Решениями, которого являются = -1 и= 2.

Следовательно, = -1,

= 2,

откуда x + 2 = 1/2,

x + 2 = 4

или = -3/2, = 2. Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)и(1;+ ). Поскольку

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим

или= 1, откуда x = 2.

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называетсялогарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a> 1, то неравенство log_af(x) > log_ag(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 <a< 1, то неравенство log_af(x) > log_ag(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство log_h(x)f(x) > log_h(x)g(x) равносильно совокупности систем неравенств

Подчеркнем, что в неравенстве log_af(x) > log_ag(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , ≤ .

Пример 1. Решить неравенства

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log_2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак < ).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

|

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/105101-logarifmy-i-ih-svojstva