Способы решения тригонометрических уравнений модуль «Тригонометрические уравнения»

Учебный элемент, хронометраж времени

Учебный материал, задания для студентов

Руководство по усвоению материала занятия

УЭ 0

2 минуты

Задача: подготовка студентов к работе.

Взаимное приветствие, проверка готовности группы к занятию, организация внимания.

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

Сегодня мы повторяем, приводим в систему знания по способам решения тригонометрических уравнений. Ваша задача: показать свои знания и умения по их решению.

Пояснить, что в процессе работы над учебными элементами /модулями/ студенты должны уметь:

1 уровень – решать простейшие тригонометрические уравнения; использовать алгоритмы решения различных тригонометрических уравнений;

2 уровень – решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения;

3 уровень – все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, необходимо применить в нестандартной ситуации

1 уровень – общий, знаниями данного уровня должны овладеть все студенты группы;

2 уровень включает все, что достигнуто на 1 уровне, но более сложного вида;

3 уровень – все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, должно применяться в нестандартных ситуациях.

УЭ 1 – УЭ 4 – соответствует 1 уровню подготовки.

УЭ 5 – обеспечивает 2 уровень подготовки.

УЭ 6 – 3 уровень подготовки.

Вся работа над данным модулем сопровождается оценочным листом.

УЭ 1

10 минут

Тригонометрия традиционно популярна при проведении экзаменов, в том числе ИГА, конкурсов, олимпиад. В связи с этим важно научиться решать тригонометрические уравнения, определять способы решения тригонометрических уравнений.

Устные упражнения:

- какие обратные тригонометрические функции вы знаете? Как их находить с помощью таблицы значений тригонометрических функций?

- назовите формулы корней простейших тригонометрических уравнений,

- вычислите, используя таблицу

;;;

Решить уравнения

Sin x = 1.5 cos x = - 2

Найти ошибку в решении уравнения/карточки/

- Каким способом можно решить следующие уравнения?

*

*

*

*

Учащиеся должны определить вид тригонометрического уравнения и рассказать каким способом его можно решить.

Учащиеся оценивают свои знания самостоятельно от 1 до 3 баллов и вносят оценки в оценочные листы

УЭ 2

10 минут

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Решите самостоятельно:

Вспомнить основные правила решения тригонометрических уравнений, используя учебник.

Выполнить самостоятельную работу.

Проверить правильность решения с преподавателем.

Проставить количество набранных баллов в оценочный лист.

Если набрано не менее 4 баллов переходим к

УЭ 3, если набрано меньшее количество баллов – решаем второй вариант данной работы. Набранные баллы при повторном решении внести в графу «Корректирующие задания» оценочного листа.

УЭ 3

15 минут

Цель: закрепить умения решения уравнений способом сведения к квадратному уравнению.

Алгоритм решения уравнений данного вида:

Заменитьcosx новой переменной, например cosx = y, причем новая переменная имеет ограничение, а именно

Исходное уравнение с новой переменной имеет вид

Решить квадратное уравнение

Вернуться к старой переменной, т.е. перейти к решению простейших тригонометрических уравнений: и . Найти корни простейших тригонометрических уравнений или доказать что корней нет.

Формулы корней простейших уравнений

Записать ответ

Используя основное тригонометрическое тождество заменить

Исходное уравнение принимает вид

Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и привести уравнение к виду

Заменитьcosx новой переменной, например cosx = y, причем новая переменная имеет ограничение, а именно

Исходное уравнение с новой переменной имеет вид

Решить квадратное уравнение

Вернуться к старой переменной, т.е. перейти к решению простейших тригонометрических уравнений: и . Найти корни простейших тригонометрических уравнений или доказать что корней нет.

Формулы корней простейших уравнений

Записать ответ

1 вариант

2 вариант

3sin²x +2sin x – 8 = 0 (2 б)

tg² x – 3tg x – 4 = 0 (3 б)

2cos²x-sinx+1 = 0 (3б)

2cos² x – cos x – 1 = 0 (2 б)

2cos²3x+cos3x– 6 = 0 (3 б)

2sin²(x²) +3 cos ( x²) = 0 (3б)

1 вариант

2 вариант

(2 бал)

(3 балла)

(2 бал)

( 3 балла)

Фамилия

Имя

УЭ

Кол – во баллов за основные задания

Корректирующие

задания

Всего

баллов

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 6

Итоговое количество баллов

Оценка

Простейшие тригонометрические уравнения

Сведение тригонометрического уравнения к квадратному уравнению

Заменитьcosx новой переменной, например cosx = y, причем новая переменная имеет ограничение, а именно

Исходное уравнение с новой переменной имеет вид

Решить квадратное уравнение

Вернуться к старой переменной, т.е. перейти к решению простейших тригонометрических уравнений: и . Найти корни простейших тригонометрических уравнений или доказать что корней нет.

Формулы корней простейших уравнений

Записать ответ

Сведение тригонометрического уравнения к квадратному уравнению

Используя основное тригонометрическое тождество заменить

Исходное уравнение принимает вид

Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и привести уравнение к виду

Заменитьcosx новой переменной, например cosx = y, причем новая переменная имеет ограничение, а именно

Исходное уравнение с новой переменной имеет вид

Решить квадратное уравнение

Вернуться к старой переменной, т.е. перейти к решению простейших тригонометрических уравнений: и . Найти корни простейших тригонометрических уравнений или доказать что корней нет.

Формулы корней простейших уравнений

Записать ответ

Метод введения вспомогательного аргумента

Уравнения вида решаем способом введения вспомогательного аргумента , используя формулу (1)

Выписать коэффициенты и

Вычислить

Разделить коэффициенты уравнения на , после чего уравнение будет выглядеть

Исходное уравнение по формуле (1) представимо в виде

;

(2)

Угол  находим из условия , где угол  - угол первой координатной четверти.

В значении корня уравнения (2) заменим  его величиной.

Однородное уравнение Iстепени

(1)

поделим каждое слагаемое уравнения на cosx ≠ 0, тогда уравнение (1)

корень уравнения находим по формуле простейшего тригонометрического уравнения:

Однородное уравнение II степени

(1)

поделим каждое слагаемое уравнения на cos²x ≠ 0.

Тогда уравнение (1) будет выглядеть, 

Решаем квадратное тригонометрическое уравнение относительно тангенса, заменив tqx = y

Универсальная подстановка

При решении уравнения данным способом произведем замену:

Исходное уравнение после замены содержит переменную х под единственной функциейtq и имеет вид тригонометрического квадратного уравнения.

Равенство одноименных функций

Данный способ помогает решать тригонометрические уравнения, где в обеих частях находятся одинаковые тригонометрические функции, но аргументами являются различные значения.

При решении следует использовать следующие схемы:

2) 3)

Разложение на множители

Данный способ решения приводит уравнение к виду , где итригонометрические функции. Каждая из функций является множителем, произведение которых равно нулю. Так как произведение равно нулю, значит каждый из множителей тоже может быть равен нулю. Поэтому переходим к простейшим тригонометрическим уравнениям, где a = 0 (частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений). При разложении на множители используем формулы сокращенного умножения, вынесения общего множителя, тригонометрические формулы.