Многогранники в природе и технологиях: от кристаллов к геометрическим моделям

Платоновы тела

Ялдыгина Яна, 9класс

Введение

Объектом исследования в моей работе являются Платоновы тела, а предметом исследования многогранники.

Актуальность работы. Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющийся природными многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по кри­сталлам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях и в завод­ских условиях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кри­сталлы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выхо­дим на просторы космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в домашних условиях.

На основе выше сказанного возникла потребность показать, что существует неразрывная связь между монокристаллами и Платоновыми телами и что свойства кристаллов определяются особенностями геометрического строения.

Цель моей работы: показать роль и место многогранников в природе, различные технологические подходы в их изготовлении и сходство монокристаллов с правильными многогранниками, доказать существование непрерывной связи между монокристаллами и Платоновыми телами.

Я поставила перед собой следующие задачи:

совершенствование своих возможностей в области проектной деятельности.

знакомство с историей возникновения вопроса «многогранники», углубление знаний в области геометрии и ее связи с другими науками.

разработка и выполнение творческого проекта.

Использованные методы – сбор материала, его анализ и обобщение .

I.Путешествие в историю многогранников

Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни – и малым ребенком, играющим деревянными кубиками, и зрелым математиком. Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) уходит в глубь веков. Первые упомина­ния о многогранниках известны еще у египтян и вавилонян за 3000 лет до нашей эры. Теория многогранников — современный раздел математики. Она тесно связа­на с другими разделами современной математики: топологией, теорией гра­фов. Имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для практических приложений в других разделах матема­тики. Многогранники имеют красивые формы, например правильные, полуправильные и звезд­чатые многогранники. н. Пять правильных тел изучали Театет, Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Формы многогранников находят ши­рокое применение в конструировании сложных и красивых многогранных по­верхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Пи­рамида — это норма тектоники — внут­реннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой ар­хитектора» — это высказывание принадлежит великому французскому архитектору нашего столетия Ле Корбюзье (1887—1965).Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало,- написал когда-то Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Платоновы тела – это пять правильных многогранников, которые открыл и доказал их существование Платон. Монокристаллы – это кристаллы правильных форм, существующие в природе.

II. Платоновы тела.

2.1 Система кубов.

Школе Пифагора приписывают открытие существования пяти типов правильных выпуклых многогранников, которые использовались для философ­ских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия: огонь, земля, воздух, вода — имеют форму правильных многогранни­ков, соответственно правильного тет­раэдра, куба, октаэдра и икосаэдр. (Рис.1) рис.1.

Интересно отметить, что Пифагор и его последователи считали наиболее удобным излагать свое учение в книгах по системе кубов. Они установили, что куб состоит из 216 строк и что каждое сочинение не должно превышать трех кубов. Если куб бросить на плоскость, то он встанет на плоскость, на одну из граней и будет устойчиво стоять подобно игральной кости на доске стола. Свою систему пифагорейцы назвали системой кубов, по-видимому, потому, что названное выше число сброшенное, словно игральная кость человеческий разум, прочно запечатлеется в памяти. (Заметим, что 216 = 6 _* 6 _* 6)

2.2 Школа Платона

Другой знаменитой философской школой была школа Платона IV вв. до н.э. Ее основатель Платон не был математиком и не получил никаких результатов в науке, но в своих многочисленных произведениях любил говорить о математике. Он изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые стали называться Платоновыми телами. Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихия­ми натурфилософы называли вещества, из которых путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагре­вания образуются все тела.).Пи­фагорейцы считали, что огонь состоит из мельчай­ших частиц, имеющих форму тетраэдра, поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «ос­трыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел. Он настолько прост, что был известен еще древним египтянам, а математики изу­чали геометрические свойства тетраэдра одновремен­но с изучением свойств куба. Тетраэдр обладает ра­циональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий — зем­ле — пифагорейцы ставили в соответствие самый ус­тойчивый многогранник — куб. И. Кеплер (1571-1630) написал этюд «О снежинке», в котором выска­зал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба гра­ней». В математике это свойство куба и октаэдра называется двойственностью (или сопряженностью). Если центры граней куба соединить отрезками, то получится октаэдр, то есть вершины октаэдра станут центрами граней куба. И обратно: центры граней октаэдра являются также икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр двойственен сам себе. С помощью простых и сложных атомов Платон попытался даже отразить взаимоотношение между стихиями: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь. Это «уравнение» надо понимать так: в элементе воды – икосаэдре-20 граней, о бразованных равносторонними треугольниками, которые, в свою очередь, составлены шестью прямоугольными треугольниками.(Рис.3) Рис.3 Платон представлял атомы как плоские тела- прямоугольные треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы.

Сложный атом икосаэдр состоит из 6 _* 20 = 120 простых атомов- треугольников. В элементе воздуха восемь граней, а значит, 6 _* 8=48 треугольников. Но по уравнению взято два элемента воздуха, поэтому общее число треугольников 48 _* 2=96. В элементе огня четыре грани, а значит, 6 _* 4=24 треугольника. Итак, равенство соблюдено – 20 граней и 120 треугольников: (8 _* 2+4) граней и (48 _* 2+24) треугольников.

2.3 Правильные многогранники в природе

Пчелы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет, видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Стало быть, пчелы экономят воск и время для постройки сот. Площадь поверхности многогранника – ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой «математической» работе пчелы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остается просветов. Создания природы красивы и симметричны. Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов и их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под т еми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник даёт точно такую же тень-икосаэдр.( рис.4). Геометрические свойства икосаэдра позволяют экономить генетическую информацию.

2.4 Кристаллы рис.4

Рассмотрим формы некоторых кристаллов. Поваренную соль хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму вещества правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяются сурьмянистый сернокислый натрий его кристалл имеет форму тетраэдра, бор(B) - икосаэдра. В кристаллографии (науке о кристаллах) существует раздел, который называется «геометрическая кристаллография». Одним из основных фактов является закон пространства углов. Он гласит: углы между соответственными гранями (и ребрами) во всех кристаллах одного и того же вещества постоянны. Закон был открыт датским врачом и геологом Николаем Стено (1638-1687). Он провел измерения на ряде кристаллов, в частности на ромбододекаэдрах граната, которые считаются одной из самых простых кристаллических форм, наряду с кубами и правильными октаэдрами. Многогранник состоит из граней одного и того же типа. Все двугранные углы ромбододекаэдра равны. Причем многогранные углы ромбододекаэдра не равны (у него имеются вершины двух типов, в которых сходится по три и по четыре ребра). Ромбододекаэдр подтверждает, что из равенства всех двугранных углов многогранника вовсе не следует равенство всех многогранных углов этого многогранника. Идеи Пифагора, Платона, И. Клеппера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В.Макаров и В.Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных п роцессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обуславливают икосаэдро - додекаэдрическую структуру Земли (рис.5), проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. рис.5 Их 62 вершины и середины ребер, называемых узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро – додекаэдрической сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох–Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли определят отношение к этой красивой гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.

Кристаллы делятся на поликристаллы и монокристаллы. При искусственном выращивании можно полу­чить кристаллы крупнее и чище, чем в природе. Монокристалл можно получить и в домашних условиях, используя воду, медный купорос, марганец и соль.

III. Взаимосвязь правильных многогранников

Центры граней любого правильного многогранника служат вершинами также правильного многогранника. Так, центры граней куба служат вершинами правильного октаэдра, и, наоборот, центры граней правильного октаэдра служат вершинами куба. Также многогранники называются взаимными т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Взаимны куб и правильный октаэдр, правильный икосаэдр и додекаэдр (Приложение 5.14). Тетраэдр взаимен себе. Середины ребер правильного тетраэдра – вершины правильного октаэдра. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники.

Взаимосвязь правильных многогранников

Взаимные многогранники имеют один и тот же центр симметрии, у правильных гексаэдра и октаэдра 9 осей и 9 плоскостей симметрии, у додекаэдра и икосаэдра – 15 осей и 15 плоскостей симметрии (Приложение 5.15).

Заключение

Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.

Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) – Платоновы тела. В работе описаны их свойства, показано, где они встречаются в природе.

Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, ставить эксперименты, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы. Я узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру правильных многогранников свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас. В соответствии с поставленными задачами данного исследования были получены следующие результаты:

На основе проведённого анализа научной, учебной литературы выявлены основные проблемы изучения свойств многогранников.

Выявлены некоторые свойства многогранников, представляющие ценность с точки зрения использования их как материал для факультативных занятий, для развития познавательной деятельности.

По итогам исследовательской деятельности в домашних условиях выращены монокристаллы, имеющие форму многогранников.

Полученные в ходе работы результаты можно использовать в практике преподавания курса геометрии в классе с углубленным изучением математики, химии, биологии, физики на уроках и на факультативах.

Список использованных источников

Афонькин С.Ю. Октаэдр и другие фигуры // Афонькин С.Ю. волшебные шары: Оригами.- М., 2001.- с. 178-180.

Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 классов.- М.: Просвещение, 1996

Гегузин Я. Пузырьковая модель кристалла. Моделирование многогранников // Квант.- 1978.- №3.- с. 19-25.

Книга для чтения по неорганической химии / Сост. В.А Крицман.- М.: Просвещение, 1993.

Матиясевич Ю. Модели многогранников //Квант.- 1978.- №1.- с. 8-18.

Михайлов О. Одиннадцать правильных паркетов // Квант.- 1997.- №2.- с. 9-15

Оригами: модель октаэдра //Квант.- 1989.- №8.- с. 4 (обл.)

Оригами: модель куба // Квант.- 1989.- №9.- с. 4 (обл.)

Платон: [ Статья ] // Большая советская энциклопедия. т. 20.- 1975.- с. 14-15.

Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников // Математика в школе.- 1994.- №4.- с. 41-47.

Смирнова И.М. Познакомьтесь: ромбододекаэдр // Математика в школе.- 1996.- №1.- с. 47.

Содержание

Введение…...…………………………………………………………………………1

Путешествие в историю многогранников………………………………………….2

Платоновы тела.……...……………………………………………………………....3

2.1 Система кубов....................................………………………….………………...3

2.2 Школа Платона …………………………………………………………………..3

2.3 Правильные многогранники в природе………………………………………...4

2.4 Кристаллы………………………………………………………………………..5

3. Исследовательская работа……………………………………………………………7

4.Заключение…………………………………………………………………………….8

5.Список литературы…………………………………………………………………...9

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/1124-gavrilova-natalja-leonovna