Трудности при изучении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе

Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе. Традиционные ошибки, допускаемые учащимися при изучении этой темы.

Акулова О.Н., учитель математики высшей категории МАОУ «СОШ №7» г. Гая Оренбургской области

Прежде, чем приступить к изучению данной темы, мы должны знать трудности изучения темы и те традиционные ошибки, которые допускают учащиеся при изучении данной темы.

Во первых, ученики часто применяют нерациональные приемы решения и излишне подробно записывают процесс преобразования данного уравнения к простейшему виду. Выучив формулу решения полного квадратного уравнения, учащиеся, нередко, применяют ее и в случае решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при неизвестном в первой степени. Таким образом, большее внимание в процессе обучения следует уделять рациональным способам вычисления корней.

Наиболее часто встречающиеся ошибки в работах учеников 8-го класса при решении квадратных уравнений, относятся к операциям с буквенными коэффициентами. На вопрос, что называется коэффициентом, получаем один ответ: числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением. Этот факт подтверждает, что при оперировании с буквами ученики 8-го класса не всегда видят их конкретный смысл. Если бы ученики были приучены контролировать свою работу, они придавали (хотя бы мысленно) численные значения буквам и сами вскрывали свои ошибки. Следовательно, при обучении большее внимание следует обращать на нахождение числовых значений алгебраических выражений и на аналогию в выполнении алгебраических и арифметических действий; тем самым, учащиеся будут привыкать смотреть на буквенное выражение не только как на объект для тождественных преобразований, но и как на функцию входящих в него букв.

Теорема Виета при изучении квадратных урав­нений является наиболее сложной темой. Нередкоее смысл учащиеся усваивают формально и не мо­гут применить теорему на практике. Для проверки понимания теоремы и знаний по данной теме, ре­комендуется предлагать следующие обучающие-воп­росы.

Известно, что сумма двух искомых чисел и ихпроизведение — целые числа. Могут ли эти искомыечисла быть дробными? Объясните на примерах.

Известно, что сумма и произведение корнейквадратного уравнения — целые числа. Могут ли корни этого уравнения быть дробными числами?
Объясните на примерах.

Известно, что сумма корней квадратного уравнения (или сумма двух чисел) — число дробное, а произведение этих чисел — число целое. Могут ли
корни этого уравнения быть целыми числами?

Известно, что сумма корней и их произведение — числа дробные. Могут ли корни данного урав­нения быть целыми числами. Приведите примеры для различных случаев.

Дано полное квадратное уравнение неприведенного вида, свободный член и коэффициенты которого не имеют общего множителя. Какими числами мо­жет выражаться сумма и произведение его корней? Приведите примеры неприведенных полных квадрат­ных уравнений для случая:

а)когда и сумма, и произведение их корней выра­жаются дробными числами;

б)когда только сумма или только произведениевыражается дробным числом.

Могут ли в указанных случаях оба корня бытьцелыми?

Изучая ошибки по рассматриваемой теме, мы пришли к выводу, что теорему Виета целесообразно изучать индуктивным путем, исходя из рассмотрения приведен­ного квадратного уравнения вида x²+рх+q=0. Затем перейти к рассмотрению этого вопроса для неприведенного квадратного уравнения вида ах² + bх + с = 0 и установить соотношение (-b/a)=p и (c/a)=q

Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам, исследование вопроса, будут ли корни данного квадратного уравне­ния действительными, различными или равными или среди действительных чисел нет корня данного урав­нения, не затрудняет учащихся. Обычно, допускае­мая ошибка состоит в том, что за дискриминант при­нимают не подкоренное выражение, а квадратныйкорень из дискриминанта, то есть считают, чтоD=√(b²-4ac) или D₁=√((b/2)²-q)при исследовании корнейуравнения школьники часто применяют не­рациональный прием, который состоит в том, что дляответа на вопросы: будут ли корни данного квадратного уравнения действительными числами, будут ли они различны или равны, учащиеся вычисляют дис­криминант, хотя достаточно только установить его
знак. Заметим еще, что не всегда учащиеся умеют самостоятельно указать квадратное уравнение, заве­домо имеющее действительные корни без нахождения числовой величины его дискриминанта. Только после приведения нескольких аналогичных примеров квадратных уравнений с отрицательным свободным членом и наводящего вопроса, учащиеся могут сделать вывод, что в этих случаях всегда D > 0 (сказыва­ется недостаточный навык вычитания отрицательного числа). При определении знаков корней квадратного уравнения не всегда можно получить полное, последова­тельное, доведенное до логического конца объясне­ние процесса исследования без наводящих (и даже подсказывающих) вопросов учителя.

Четкость речи, как известно, связана с осознанно­стью соответствующей мысли. Поэтому при объясне­нии данного вопроса учитель должен дать четкий об­разец рассуждений. Прежде всего надо указать, что о знаках корней можно говорить лишь тогда, когда они существуют (во множестве действительных чисел).

Надо убедиться в неотрицательности дискриминан­та, причем для этого не следует доводить до конца вычисления, достаточно убедиться, что он не отрица­телен (в случае, когда свободный член квадратного уравнения отрицателен, а коэффициент при х²поло­жителен, не надо вычислять дискриминант — он по­ложителен). Затем рассмотреть на примерах все че­тыре возможных случая: оба корня уравнения отри­цательные, положительные, один из корней отрица­тельный, положительный. Выводы следует оформитьтаблицей.

Вопрос об оперировании с абсолютными величи­нами остается слабым местом в знаниях учащихся8-го класса. Особое внимание надо обратить на тот факт, что сравнение абсолютных величин корней не легко усваивается школьниками. Следует лишний раз подчеркнуть, что, например, число может быть запи­сано в виде | + 6 |; + 6; | - 6 |; 6. Для достижения хо­роших результатов можно рекомендовать систему уп­ражнений с использованием наглядности.

Расположите в порядке возрастания (убывания) ряд чисел, среди которых имеются положительные,отрицательные числа и нуль. Покажите на числовой прямой числа : - 2,5; 4; - 3; + 2; - 0,1; 1/2; -3/4; - 1/3.

Расположите в порядке возрастания или убы­вания абсолютные величины тех же чисел. Сделайте выводы.

Найдите сумму, разность, произведение, частное абсолютных величин двух чисел, если компонен­тами действий служат различные действительныечисла в различных комбинациях, не исключая и нуля.

Составление квадратного уравнения по формуле(х-х₁)(х-х₂)=0 подготавливает учеников к даль­нейшему изучению теории алгебраических уравнений.Уже первые примеры на квадратные уравнения- уча­щиеся решают разложением левой его части на ли­нейные множители, делают необходимые выводы и устанавливают связи между различными вопросами одной и той же темы.

К изучению данного учебного материала учащихся следует готовить, начиная с 5-го класса:

При изучении квадрата числа, натуральной степени учащиеся выполняли такие задания: Найти значение выраженияD=b²-4ac, если a=2, b=5, c =4. При изучении десятичных дробей, обыкновенных дробей, отрицательных чисел – a,b,c меняются.

Знание квадратов натуральных чисел от 1 до 20 нужно проверять на протяжении всех лет обучения математики.

К работе по схеме учащиеся готовятся, начиная с устного счета, по цепочке, с указанием порядка действий, с помощью стрелок, по элементарным программам при работе с микрокалькулятором, при прохождении многих тем учащиеся учатся выполнять те, или другие преобразования по алгоритму. У учащихся должны быть отработаны навыки решения линейных уравнений.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/120609-trudnosti-pri-izuchenii-temykvadratnye-uravn