Решение планиметрических задач методом площадей

Муниципальное общеобразовательное учреждение – гимназия № 1

Урок геометрии в 11 классе

Тема: «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ»

Автор: Дацко Елена Владимировна

учитель математики

г. Клин, 2014 год

Содержание

Стр.

1. Цель и задачи урока………………………………………………………………………...…3

2. План урока……………………………………………………………………………..…3 – 11

2.1. Актуализация знаний……………………………………………………………………3 – 4

2.2. Устная работа………………………………...………………………………………….5 – 7

2.3. Работа на уроке по вариантам с различной сложностью……………………………..7 – 9

2.4. Самостоятельная работа контролирующего характера……………………………10 – 11

2.5. Итог урока. Домашнее задание с подробным разбором задач....……………….…11 – 17

3. Литература……………………………………………………………………………………18

Слайд 2

Цель урока: повторение и обобщение знаний о методе площадей в решении задач.

Задачи:

– обучающие: обобщить и систематизировать знания о методе площадей, отработать умения применить формулы в решении задач.

– развивающие:развить познавательные умения,

– воспитательные:развить положительное отношение к знаниям.

Тип урока: урок повторения.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

Слайд 3

Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны соответствующие этим высотам.

Рисунок 1

Слайд 4

Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты.

Рисунок 2

Слайд 5

Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащий этот угол.

Рисунок 3

Слайд 6

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Рисунок 4

Слайд 7

Рисунок 5

II. Устная работа.

Слайд 8 Случай, когда треугольники имеют общую высоту.

Рисунок 6

Дано:

Найти:

Решение:

имеют общую высоту

Ответ:

Слайд 9

Рисунок 7

Дано:

Найти:

Решение: имеют общую высоту

т. к. то

Ответ: 20.

Вывод:

1)Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту равно отношению сторон, к которым проведена высота.

2) Если же стороны, к которым проводится высота равны, то и площади треугольников также равны.

3) Во сколько раз отношение сторон треугольников, к которым проводится высота больше (меньше), во столько раз и площади больше (меньше).

Слайд 10

Случай, когда треугольник и параллелограмм имеют общую высоту.

Рисунок 8

Дано:

параллелограмм,

Найти:

Решение:

Ответ: 8.

Вывод:В этом случае отношение площадей треугольника и параллелограмма равно отношению их высот. Высота параллелограмма есть высота треугольника. Но в нахождении площади треугольника присутствует коэффициент , а, значит, составляя и решая данную пропорцию, получаем 8.

Слайд 11

Рисунок 9

Дано:

Найти:

(Отношение площадей, имеющих общий угол равно отношению произведения сторон, заключающих данный угол).

– общая,

Ответ:

Слайд 12

Рисунок 10

Дано:

– параллелограмм,

– медиана

– медиана

– середина

Найти:

Решение:

Ответ: 10.

III. Работа на уроке.

1 ряд. Работа в парах (сидят слабый ученик и ученик средних способностей).

Решает I вариант – уровень «4»,

2,3 ряды – II вариант – уровень «4 – 5».

I вариант

Рисунок 11

Дано:

– параллелограмм,

Найти:

Решение:

1) Найдём какую часть составляет от

Проведём диагональ

(общий угол ),

2)

3)

Ответ:

II вариант

Рисунок 12

Дано:

– медианы,

Найти:

Решение:

1) (сторона – общая),

2) Дополнительное построение

По теореме Фалеса – средняя линия,

3) подобен (по двум углам),

– коэффициент подобия.

4) по свойству медиан

подставим в получим

Ответ:

IV. Самостоятельная работа контролирующего характера (дифференцированная).

1 ряд

I вариант

Рисунок 13

Дано:

– параллелограмм,

– диагональ,

Найти:

Решение:

Параллелограмм и имеют общую сторону

Ответ:

II вариант

Рисунок 14

Дано:

– параллелограмм,

– медиана,

Найти:

Решение:

– медианы,

(свойство диагоналей),

– общий,

имеют общую высоту, значит их площади

Ответ: 24.

V. Итог урока.

Домашнее задание. Ученику следует выбрать для решения две любые задачи. При желании можно выполнить всё задание.

Задача 1. В треугольнике со сторонами вписан параллелограмм причём точки лежат на сторонах соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет площади треугольника Найдите стороны параллелограмма.

Рисунок 15

Решение:

Пусть

1)

2)

3)

4)подобенпо двум углам.

как накрест лежащие,

соответственные углы.

.

Составляем систему:

или

Ответ: 12 и 4 или 6 и 8.

Другой способ решения данной задачи:

1)

Пусть

2)

Ответ: 6 и 8 или 12 и 4.

_Задача2.В треугольнике _{на прямой выбрана точка так, что Точка середина стороны Прямая пересекает отрезок в точке Найдите площадь треугольника если площадь треугольника равна 120.}

_{1 случай.}

Рисунок 16

Решение:

( медиана).

Пусть

1)

2) и

Ответ: 12.

2 случай.

Рисунок 17

Решение:

1)медиана,

медиана;

Пусть,

медиана,

2) общая высота,общая высота.

Ответ: 20.

Задача 3. Через точку лежащую в треугольнике проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1;2,25и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов.

Рисунок 18

Найти:

Решение:

1) Рассмотрим

2) Рассмотрим

3) Рассмотрим

4)

Ответ: 13.

Задача 4. Площадь трапеции равна 810. Диагонали пересекаются в точке

Отрезки, соединяющие середину основания с вершинами ипересекаются с диагоналями трапеции в точках и Найдите площадь треугольника если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

1 случай.

Рисунок 19

Решение:

1) Рассмотрим четырёхугольник основания трапеции. параллелограмм.

2) по двум сторонам и углу между ними. Аналогично,Значит,

3) диагонали параллелограмма делят его на четыре равных по площади треугольника.

4) Т. к. то средняя линия треугольника

5)трапеция,

Пусть тогда

Ответ: 22,5.

2 случай.

Рисунок 20

Решение:

Пусть высота трапеции.

Положим Тогда

Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом а треугольник подобен треугольнику с коэффициентом Тогда

Значит,Аналогично,

Следовательно,

Ответ: 14,4.

Литература:

1. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255с.

2. Геометрия в таблицах. 7 – 11 кл.: Справочное пособие / Авт.-сост. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000. – 128 с.

3. http://www.fipi.ru (Официальный сайт Федерального института педагогических измерений)

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/125640-reshenie-planimetricheskih-zadach-metodom-plo