Программа элективного курса «Дополнительные вопросы математики курса основной школы»

Муниципальное образовательное учреждение

Старочирковская основная общеобразовательная школа

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по элективному курсу

Дополнительные вопросы курса математики основной школы

Автор: Васильева Е.М., учитель математики

1 кв. категория

МОУ Старочирковской ООШ

село Старое Чирково

2013г

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение…………………………………………………………………………………………..3

Методика разработки содержания элективного курса «Дополнительные вопросы математики курса основной школы»……………………………………………………………5

Общая характеристика элективного курса………………………………………….………6

Содержание тем курса………………………………………………………….………….....6

2.1. Введение. Текстовая задача и процесс её решения………………………..…………..6

2.2. Решение задач на «движение»………………………………………………....………..7

2.3. Решение задач «на работу»…………………………………………………..………...12

2.4. Что такое процент…………………………………………………………….…………15

2.5. Проценты и уравнения………………………………………...…………….………….15

2.6. Правило начисления «сложных процентов»………………………………..…………15

2.7. Задачи на смеси, сплавы, растворы…………………………………………..………...16

2.8. Процентные расчёты в различных сферах деятельности………….………………….17

2.9. Практикум по элементарной математике……………………………………………...19

2.10 Уравнения и неравенства с параметром………………………………………………22

3. Учебно-тематический план…………………………………………………………………….26

4. Организация проведения аттестации учащихся……………………………………………...27

Заключение……………………………………………………………………………………….29

Литература ……………………………………………………………………………………….30

Приложения ……………………………………………………………………………………...31

Введение.

Согласно Концепции модернизации российского образования, должна быть создана «система специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированная на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся…»

А потому всё актуальнее становится вопрос о качестве образования, особенно в условиях основной школы, в особенности сельской. Введение предпрофильной подготовки требует от учителя постоянного повышения квалификации, непрерывной самообразовательной работы, без которых невозможно преподавание новых курсов. Время вносит свои коррективы в образовательный процесс, то что, ещё вчера могло показаться нереальным, сегодня активно используется в преподавательской деятельности. Многие из методик остаются актуальными, и по сей день, проходят проверку временем, но от них творчески работающий учитель не отказывается и сегодня. Иные оказываются популярными год-два, и на смену им приходят новые технологии, методики, схемы преподавания. Так получается, что педагогика не является точной наукой, а потому нет в ней каких-то универсальных шаблонов, схем, карт, что называется, на любой случай жизни. Именно спецкурсы способны сегодня решить проблему качества образования.

В современных условиях постоянного реформирования школьного математического образования, при уменьшении часов, отводимых на изучение математики, растет уровень требований, предъявляемых к математической подготовке учащихся. Недостаток времени приводит к формальному изучению многих важнейших тем школьной математики. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач.

Поэтому данный спецкурс может оказаться очень полезен, не только для ученика, но и для учителя. Ведь это замечательная возможность сэкономить драгоценное учебное время, разобрав сложные вопросы именно с тем контингентом учащихся, которые не только « могут», но и заинтересованы в конечных результатах своего труда, а высвободившееся время, за счёт исключения из уроков сложных вопросов, потратить на повторение и закрепление уже изученного материала, просто подольше задержаться на изучении материала какой-нибудь важной темы школьного курса со «слабыми» учениками ( в общем, было бы свободное время, а куда его потратить, творчески работающий учитель, всегда найдёт).

Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем «задачами». Это могут быть общегосударственные задачи, задачи определённых коллективов и групп, а также задачи, которые стоят перед определёнными личностями. Проблема решения задач как чисто математических, так и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках.

Решение математических задач способствует развитию логического мышления, умения рассуждать и делать выводы.

Материал данной разработки так же хорошо вписывается и в единый государственный экзамен (ЕГЭ), ставший обязательным экзаменом за курс средней школы.

Работа учителей по предложенной методике, а в особенности начинающих, сблизит преподавателя с учениками, позволит значительно сэкономить время на компоновке материала и подборе задач, даст прочные знания по математике учащимся.

Текстовые задачи, в частности задачи на движение, встречаются на разных этапах обучения. Они далеко не всегда требуют составления уравнения, хотя традиционно их решают с помощью уравнений или их систем.

Задачи на проценты прочно вошли в школьный курс математики, как пример задач, демонстрирующих применение математических знаний на практике и даже в повседневной жизни. Задачи на проценты неизменно присутствуют в контрольно-измерительных материалах (КИМ) единого государственного экзамена (ЕГЭ) .

В наши дни, когда результатом обучения математике должны являться сформированные в различных видах учебной деятельности ключевые компетентности и основы естественнонаучного мировоззрения, роль таких задач возрастает. Ибо в основе такого рода, задач лежат универсальное понятие и универсальная идея, воплощающие себя и в механике, и в термодинамике, и в геометрии, и др.

Между тем результаты итоговых аттестаций школьников, включая ЕГЭ, показывают, что по прежнему процентная тема остаётся проблемной. Дело здесь скорее не в сложности, а в :

Отсутствии должной мотивации школьников, воспринимающих материал как скучный, «бухгалтерский», лишённый творческого элемента;

Оторванности, изолированности процентной темы от остального математического материала, тем более от других предметов ( кроме химии);

Небагатом арсенале видов деятельности учащегося при решении таких задач, почти всецело сводящемся к составлению и решению систем уравнений.

Методика разработки содержания элективного курса

«Дополнительные вопросы математики курса основной школы»

Программа элективного курса «Дополнительные вопросы математики курса основной школы» составлена в соответствии с федеральным компонентом Государственного образовательного стандарта основного общего образования и на основе авторской программы по алгебре Н.Г. Миндюк «Алгебра, 7-9 классы», М. Просвещение, 2011. Планирование ориентировано на учебники Алгебра 7-9 классы под редакцией С.А.Теляковского, авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.

Цель курса:

1.определить уровень способностей учащихся и уровень их готовности к профильному обучению в школе;

2.формирование устойчивых знаний по темам, представляющих ядро школьной математики, систематизация, углубление и обобщение полученных знаний в процессе изучения курса,

3.овладение элементами исследовательской и проектной деятельности, развитие у учащихся логического мышления, познавательной и творческой активности.

Образовательные задачи:

Демонстрация возможностей математики в решении реальных задач экономики, экологии, надежности устройств и т.п., которые не требуют значительных материальных и финансовых затрат, расширить знания методов и приемов к решению задач с параметрами

Овладение математическими знаниями, научной терминологией, эффективное её использование;

Применение знаний в нестандартных и проблемных ситуациях, привитие навыков работы с научно-популярной литературой, подготовки докладов, рефератов, публичных выступлений,

Развивающие задачи:

1.Интеллектуальное развитие учащихся , формирование логических навыков выделения главного, сравнения, анализа, синтеза, обобщения, систематизации;

2. Формирование представлений об идеях и методах математики;

3. Овладение рациональными приёмами работы с навыками самоконтроля.

Воспитательные задачи:

1.Обеспечение гарантированного качества подготовки выпускников для продолжения образования, а так же к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры;

2.вырабатывать умения аргументированных суждений по различным вопросам программы, приобретать опыт в анализе конкретных ситуаций и формировать практические навыки принятия решений, аналитически проверенных средствами математики.

3.Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Общая характеристика элективного курса.

Спецкурс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов общеобразовательной школы, расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая её целостности. Программа курса применима для различных групп школьников, независимо от выбранного ими профиля в старшей школе. В основной школе представление о процентах учащиеся получают, но решать задачи, как правило, не умеют. Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету и формированию умений решать практические задачи.

Важной особенностью предлагаемого курса является его междисциплинарный характер, что позволяет объединять учащихся по группам интересов, осуществлять эвристические пробы и вести дискуссии по разным отраслям знаний и практической деятельности.

Содержание курса является эффективным приложением для изучения математики в старших классах, необходимым для повышения результативности учебного процесса. Этот курс позволит не только ознакомить учащихся с эффективными методами решения задач, но и отработать их на практике. Программа курса учитывает общие и локальные цели углубленного изучения математики в целом и на каждом его этапе, располагает к самостоятельному поиску и самоопределению в выборе профиля обучения.

Данный курс состоит из трёх частей. В первой части изучается сущность понятия «текстовая задача», различные классификации текстовых задач, способы и методы их решения, а так же этапы работы над задачей и приемы, помогающие их осуществлению. Во второй части рассматривается решение задач на проценты. Третья часть посвящена решению задач с параметром.

Программа элективного курса «Дополнительные вопросы математики курса основной школы» рассчитана на 34 часа.

Формы работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная.

Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.

Виды деятельности на занятиях:лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

Содержание тем курса.

Тема 1. Введение. Текстовая задача и процесс её решения.(1 ч).

Основные цели:

1.Систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;

2. Познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и различными способами её решения;

3. Реализовать межпредметные связи.

Задачи:

Стимулирование постоянного анализа учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

Сформировать у учащихся умение моделировать в процессе решения текстовых задач.

Способствовать развитию интереса к решению текстовых задач; воспитанию ответственного отношения к труду.

Основное содержание: Понятие «текстовая задача». Структура задачи. Классификация задач. Методы решения задач (арифметический, алгебраический, геометрический, логический и практический). Этапы решения задач и приёмы их выполнения. Моделирование в процессе решения текстовых задач.

Тема 2. Решение задач «на движение»

К задачам «на движение» обычно относят те, фабулы которых содержат такие параметры движения, как пройденное расстояние( S), скорость движущихся тел (v), время движения (t).

Допущения, которые обычно принимаются при решении таких задач, следующие:

Движение на отдельных участках равномерное, при этом пройденный путь определяется по формуле S=vt;

Повороты движущихся тел мгновенные, то есть происходят без затрат времени.

В задачах, связанных с движением, весьма полезно составить иллюстративный чертёж, отразив на нём всю динамику движения, все повороты, остановки, встречи. Хорошо составленный чертёж позволяет понять содержание задачи, не заглядывая в её текст.

При решении задач «на движение» встречаются следующие 3 элемента:

Движение навстречу друг другу;

Движение в одном направлении;

Движение с изменением в режиме движения;

Рассмотрим каждый элемент в отдельности.

1.Движение навстречу друг другу.

Если первоначальное расстояние между двумя объектами, движущимися навстречу друг другу со скоростями xиy, равно S, то время t, через которое они встречаются, можно найти из уравнения

x t+ yt = S, т.е. t = S/(x+y) .

а)Задачи, приводящие к линейным уравнениям.

Задача . От пристани А отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани В навстречу ему отошёл второй теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся, если расстояние между пристанями А и В равно 162 км.

Решение.

Пустьx ч – время до встречи первого теплохода, тогда (162-45x0км – расстояние, которое пройдёт второй теплоход до встречи ;

(162-45)x/36ч– время в пути до встречи второго теплохода.

По условию задачи известно, что второй теплоход был в пути на 45 мин меньше, т.е.

(162-45)x/36<х на 3/4 , поэтому составляем уравнение (162-45)x/36=х - 3/4

Решаем уравнение при условии, что х≠0: 162-45x = 36x – 27, 81x = 189, х =

итак, через часа после отправления первого теплохода они встретились.

Ответ:

б) Задачи, приводящие к квадратным уравнениям.

Задача.Из пункта А в пункт В расстояние между которыми равно 24 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого, который выехал на 20 мин раньше второго, на 6км/ч меньше скорости второго. Встретились велосипедисты на середине пути. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение.

Пустьх км/ч скорость второго велосипедиста, тогда (х – 6) км/ч - скорость первоговелосипедиста; 12/ х ч время в пути второго велосипедиста, 12/(х-6) ч – время в пути первого велосипедиста.

По условию задачи известно, что первый велосипедист находится в пути до встречи на 20 мин больше второго т.е. 12/(х-6)>12/х на 1/3 , поэтому составляем уравнение: 12/(х-6)-12/х=1/3

Решаем уравнение при условии, что х≠0, х≠6. Находим: х=18 или х= -12

По смыслу задачи х > 0, -12 >0 – неверно, 18 >0 – верно. Итак, 18 км/ч – скорость второго велосипедиста, 18 – 6 = 12 км/ч – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 12 км/ч, 18 км/ч.

в) Задачи, приводящие к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задача.Два пешехода отправляются одновременно из пунктов М и N, расстояние между которыми 38 км, навстречу друг другу. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 2 км, а ещё через 3 часа первому осталось до пункта N на 7 км меньше, чем второму до М. найдите скорость каждого пешехода.

Решение.

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода, у км/ч- скорость второго пешехода, тогда 4 х км – расстояние, которое прошёл первый пешеход за 4 часа, 4 у км – расстояние, которое прошёл второй за это же время.

По условию задачи известно, что через4 часа расстояние между пешеходами равно 2км, поэтому составляем уравнение: 4 х+4 у+2=38.

Далее, 7 хкм – расстояние, которое прошёл первый пешеход за 7 часов, 7 у км – расстояние, которое прошёл второй пешеход за 7 часов.

Найдём: ( 38-7 х) км – осталось пройти первому до М, ( 38-7 у) км – осталось пройти второму до N. По условию известно, что первому до М осталось пройти на 7км меньше, чем второму до N, поэтому составляем уравнение 38-7 у = 38-7 х+7;

Решаем систему уравнений: 4х+4у+2=38 х+у=9 х=5

38-7у=38-7х+7 х-у=1 у=4

Ответ: 5 км/ч, 4 км/ч.

г) Задачи, приводящие к системе линейного и дробно-рационального уравнений.

Задача.Два поезда одновременно из М и N, расстояние между которыми 45 км, и встречаются через 20 мин. Поезд, вышедший из М, прибывает на станцию на 9 мин раньше, чем другой поезд в М. какова скорость каждого поезда?

Решение.Пустьхкм/ч – скорость первого поезда, укм/ч – скорость второго поезда. По условию задачи известно, что поезда встречаются через 20 мин, поэтому составляем уравнение:

(1/3)*х+(1/3),*у = 45

По условию задачи известно, что первый поезд был в пути на 9мин меньше, чем второй, т.е. 45/у>45/х на 9/60 поэтому составляем уравнение: 45/у-45/х = 9/60

Решаем систему уравнений: (1/3)*х+(1/3),*у = 45 у=135-х у=60 или у=675

45/у-45/х = 9/60 х²+465х-40500 х=75 х=-540

По смыслу задачи х > 0, у > 0, -540>0 – неверно, 75>0 – верно, 60>0 – верно.

Ответ: 75 км/ч, 60 км/ч.

2. Движение в одном направлении.

Если первоначально расстояние между двумя объектами, один из которых догоняет другой, равно S, то время t, через которое второй объект ( скорость у) догонит первый ( скорость х ), можно найти из уравнения t у- t х= S, т.е. t=S/(y-x)

Если один объект ( скорость х ) догоняет другой ( скорость у), выходя из того же пункта спустя время t, то расстояние S, на котором произойдёт встреча, можно найти

из уравнения S/y-S/x=t , т.е. S=(txy)/(x-y)

а) Задачи , приводящие к квадратным уравнениям.

Задача. Два автобуса отправились одновременно из города в пионерлагерь, расстояние до которого 72км. Первый автобус двигался со скоростью, превышающий скорость второго автобуса на 4 км/ч, и прибыл в пионерлагерь на 15 мин раньше, чем второй автобус. Найдите скорость каждого автобуса.

Решение.

Пусть х км/ч- скорость второго автобуса, тогда (х+4) (км/ч)-скорость первого автобуса, 72/(х+4) (ч)- время в пути первого автобуса, 72/х (ч)-время в пути второго автобуса. По условию задачи второй автобус был в пути на 15 мин больше, чем первый, т. е. 72/х > 72/(х+4) на ¼ , поэтому составляем уравнение: 72/х > 72/(х+4) на 1/4

Решаем уравнение при условии, что х≠0, х+4≠0, получим х= 32

По смыслу задачи х>0, -36>0- неверно, 32>0-верно. Итак, 32 км /ч – скорость второго автобуса, тогда 36 км/ч- скорость первого автобуса.

Ответ: 36 км /ч, 32 км/ч .

б) Задачи, приводящие к системе двух уравнений с двумя неизвестными.

Задача.Из города в село выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал автомобиль. На половине пути автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в село, велосипедисту оставалось проехать ещё треть пути. За какое время велосипедист проехал путь от города до села?

Решение.

Пусть х мин – время, за которое велосипедист проехал весь путь, у мин – время, за которое автомобиль проехал весь путь, тогда х/2 мин – время , за которое велосипедист проехал половину пути, у/2 мин - за которое автомобиль проехал половину пути .

По условию задачи половину пути автомобиль проходит быстрее велосипедиста на 15 мин, поэтому составляем уравнение: х/2-у/2=15

По условию задачи, время затраченное велосипедистом на прохождение 2/3 пути, больше, чем время затраченное автомобилем на весь путь, на 15 мин, поэтому составляем уравнение:

(2/3)*х-15=у

Решаем систему уравнений: х/2-у/2=15 у=х-30 у=15

(2/3)*х-15=у (2/3)*х=х-15 х=45

Ответ: 45 мин.

3.Движение с изменением в режиме движения.

Если на перегоне S произошла задержка движения ( скоростьv) на время t,

То скорость х, с которой объект должен продолжать движение, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, находится из уравнения: S/v-S/x=t

Увеличение скорости х объекта до величины х+ а позволяет экономить время t его движения на участке длиной S;

Аименно: S/x-S/(x+a)=t

Движение с задержкой в пути.

а) Задачи, приводящие к уравнениям с переменной в знаменателе.

Задача:Поезд вышел со станции А по направлению к станции В. Пройдя 450 км, что составляло 75% всего пути, он был задержан на полчаса, и машинист, увеличив скорость на 15 км/ч, привёл его на станцию В без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение.

Пусть х км/ч – первоначальная скорость поезда, (х + 15) км/ч – скорость поезда после остановки, 150/ х (ч) – время, затрачиваемое поездом на прохождение остатка пути по расписанию,

150/ (х+15) ч – время, затраченное поездом на самом деле.

По условию задачи поезд затратил на прохождение остатка пути на 30 мин меньше, чем планировалось по расписанию, т.е. 150/ х>150/ (х+15)на ½, поэтому составляем уравнение:

150/ х>150/ (х+15)на ½, откуда х= 60 или х=-75

По смыслу задачи х>0, y>0; -75>0 – неверно, 60>0 – верно. Итак, 60 км/ч – первоначальная скорость первого поезда.

Ответ: 60 км/ч

б) Задачи, приводящие к уравнению с переменной в числителе и знаменателе.

Задача.Расстояние между городами А и В 260 км. Через 2 ч после выхода автобуса из А в В он был задержан на 30 мин, поэтому, чтобы прийти в В по расписанию, должен был увеличить скорость на 5км/ч. Найти первоначальную скорость автобуса.

Решение.

Пусть х км/ч – первоначальная скорость автобуса, тогда (х+5) км/ч – сеорость автобуса после задержки; 2 х км – расстояние, пройденное до остановки;

(260-2 х) км – остаток пути. Находим (260-2х)/х ч- время , которое должен был затратить автобус на остаток пути по расписанию, (260-2х)/(х +5) ч – время, которое затратил автобус на остаток пути. По условию остаток пути автобус проехал на 30 мин быстрее, чем по расписанию, т.е.

(260-2х)/х >(260-2х)/(х +5) на ½, поэтому составляем уравнение: (260-2х)/х -(260-2х)/(х +5) = ½,

Решаем его и находим х=40 или х=-65

По смыслу задачи х>0, -65>0 –неверно, 40>0 –верно. Итак, 40 км/ч – первоначальная скорость .

Ответ:40 км/ч

Другие изменения в режиме движения

а) Задачи, приводящие к линейным уравнениям.

Задача. Пройдя путь из М в К , равный 360 км, автомобиль повернул назад и через час после выхода из К увеличил скорость на 1/3 первоначальной. В результате на обратный путь он затратил на 1ч 15 мин меньше, чем на путь их М в К. какова первоначальная скорость автомобиля?

Решение.

Пусть х км/ч – первоначальная скорость, тогда 360/х ч – время, затраченное на путь из М в К. Находим (4/3)*х км/ч – увеличенная скорость автомобиля, (360-х)/ (4/3)*х ч – время в пути с увеличенной скоростью, ( 1+ (360-х)/ (4/3)*х ) ч –затратил автомобиль на обратный путь из К в М.

по условию задачи на путь из М в К автомобиль затратил на 1,25 ч больше, поэтому составляем уравнение: 1+ (360-х)/ (4/3)*х + 1,25 =360/х

решаем уравнение и получаем х=60

итак, 60 км/ч – первоначальная скорость автомобиля.

Ответ: 60 км/ч

б) Задачи, приводящие к уравнениям с переменной в знаменателе.

Задача. Повысив скорость поезда на 10 км/ч, удалось сократить на 1 ч время, затрачиваемое поездом на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение.

Уравнение: 720/х-720/(х+10)=1

После преобразований: х²+10х-7200=0

Х(х+10)≠0, откуда х= 80 или х=-90

По смыслу задачи х>0; 80>0 – верно, -90>0 – неверно.

Ответ: 80 км/ч

Тема 3. Решение задач «на работу»

К этому типу обычно относят задачи, фабулы которых содержат понятия «производительность труда», «время», «объём работы», «пропускная способность трубы», «количество перемещаемого вещества». Эти величины однотипны по математической зависимости межу ними.

Для краткости можно обозначить производительность труда буквой р, время – буквой t, объём работы – буквой А, тогда рассматриваемые величины связываются зависимостью: А=рt, откуда находят: p=A/t или t=A/p

1.Задачи на совместную работу при неизвестном объёме работы.

а) Задачи, приводящие к уравнениям с переменной в знаменателе.

Задача. Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2ч 55мин. Вторая труба может наполнить его на 2ч скорее, чем первая. За какое время наполнит бак каждая труба, работая отдельно?

Решение. Принимаем всю работу за 1. Пусть х ч – время наполнения бака первой трубой, тогда (х-2) ч – время наполнения бака второй трубой. Находим: 1/х – производительность первой трубы,

1/(х-2) - производительность второй трубы, 1/х + 1/(х-2)- производительность обеих труб.

По условию задачи известно, что обе трубы наполняют бак за 2ч 55мин

(или 211/12 ч), поэтому составляем уравнение: (1/х + 1/(х-2))*(35/12)=1

Преобразуем уравнение, умножив обе части на 12. Получим уравнение: 35/х+35/(х-2)= 12

или 6х ²-47х+35=0, корни которого х=7 или х=10/12.

По смыслу задачи х>0, х-2>0, 7>0 – верно, 7-2>0 – верно, 10/12>0 – верно, 10/12-2>0 – неверно.

Итак, 7ч. Потребуется первой трубе, 7-2=5 (ч) – потребуется второй.

Ответ: 7ч, 5ч.

б) Задачи, приводящие к системе двух уравнений с двумя неизвестными.

Задача. Двое рабочих получили одинаковые задания изготовить определённое число деталей за определённый срок. Первый выполнил задание в срок, а второй выполнил в срок только 90% задания, не додав столько деталей, сколько первый делал за 40 мин. Если бы второй рабочий делал в час на 3 детали больше, то он выполнил бы задание на 95%. Сколько деталей должен был изготовить каждый рабочий?

Решение.

40 мин= 2/3ч.

Находим: х-0,9=0,1х (дет) – не доделал второй рабочий, (х/у)*(2/3) (дет) – сделал первый за 40 мин. По условию задачи второй рабочий не сделал столько деталей, сколько первый сделал за 40 мин., поэтому составим уравнение:0,1у=(х/у)*(2/3)

Находим: новую производительность труда второго рабочего (0,9х)/у+3;

Количество деталей, произведённые им за у часов: ((0,9х)/у+3)*у

По условию задачи он сделал 0,95х деталей, поэтому составим уравнение:

((0,9х)/у+3)*у=0,95х

Решим систему уравнений: 0,1у=(х/у)*(2/3)

((0,9х)/у+3)*у=0,95х, откуда х=400

Ответ: 400 деталей.

2. Задачи с известным объёмом работы.

Задача.Одна тракторная бригада должна была вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Вспахивая ежедневно на 3га меньше второй бригады, первая всё же закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Решение.

Уравнение: 324/(х+3)

-240/х=2

После преобразований:

х²+39х+360=0

х(х+3)≠0, получим х= 21 или х= -65

По смыслу задачи х>0; 21>0 – верно, -65>0 – неверно.

Итак, 21 га вспахивала в день первая бригада, тогда 21+3=24 (га) – вспахивала вторая бригада.

Ответ: 21 га, 24 га.

3.Задачи, связанные с изменением режима работы.

Задача.По плану колхозная бригада должна была к определённому сроку прополоть овощные культуры. Начав работать на 2 дня позже, чем было намечено первоначально, бригада перевыполняла дневную норму на 2 га и уже за 1 день до срока прополола 49 га, что составляло 98% задания. Какой срок был установлен бригаде для выполнения задания?

Решение. Пусть х га – в день должна пропалывать бригада по плану, тогда (х+2) га – пропалывала бригада в день на самом деле; 50/х дней – должна была работать бригада по плану; 49/(х+2) дней – работала бригада на самом деле.

По условию бригада работала на 3 дня меньше, чем планировалось, поэтому составляем уравнение: 50/х- 49/(х+2)=3

Решаем его, получим х= 5 или х=-20/3:

По смыслу задачи х > 0, 5 > 0 – верно, - 20/3> 0 – неверно.

Итак, 5 га в день должна пропалывать бригада по плану, тогда 50:5=10 дней – срок, который был установлен бригаде.

Ответ: 10 дней.

Требования к уровню достижений учащихся.

Учащиеся должны знать:

Классификации задач;

Методы решения задач;

Этапы решения задачи и приёмы их выполнения;

Учащиеся должны уметь:

Выполнять моделирование в процессе решения текстовых задач.

Применять различные методы для решения задач.

Решать задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.

Решать задачи на пропорциональное деление.

Решать задачи «на движение», «на работу»,

Тема 4. Что такое «Процент»

Основные цели:

1.сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни;

2.способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи:

1.сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

2.решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

3. привить учащимся основы экономической грамотности.

Начать занятие следует с краткого изложения содержания этого блока курса. Акцентировать внимание на том, что учащимся предстоит изучить проценты более глубоко, чем это было на уроках, указать на практическую направленность курса.

Так как на занятиях по данной теме могут быть учащиеся из разных классов и школ, с разным уровнем подготовки, то начать нужно с повторения основных соотношений, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного соотношения и т.д.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятии могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Хотя при изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов курса несомненно появится прогресс в подготовке учащихся.

Тема 5. Проценты и уравнения.

Текстовые задачи осознаннее решаются учащимися, если их решению предпослать ряд задач на числа с постепенным обобщением решения и постановкой вопросов, ответы на которые проверяются расчётами.

Тема 6. Правило начисления «сложных процентов»

Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезно решить несколько задач, аналогичных следующей:

Задача. В сберкассу положили 200р., на которые начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения?

Решение полезно провести на конкретных числах и в общем виде:

В итоге получилась формула зависимости к=а*(1+р/100), дающая возможность решить три типа задач на денежные расчёты: на нахождение одного из параметров, зная два других.

Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?

Отвечая на него, получим: к=а*(1+р/100) .

А третьего? А п-го? В итоге получается формула

к=а*(1+р/100) , (1)

где а –начальный капитал, р-процент прибыли за один промежуток времени; п- число промежутков.

Эта формула называется формулой «сложных процентов».

Полученная формула показывает , что значение величины к растёт как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии 1+ р/100. Формула к=а*(1+р/100) является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять формулу простого процентного роста: к=а*(1+р*п /100) , (2)

гдеа, р, и п имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста ( отличие состоит в том, что в этом случае процент каждый раз берётся от одного и того же числа а ).

Следует уделять больше внимания решению задач, в которых используется формулы (1) и (2). Тема 7. Задачи на смеси, сплавы, растворы.

Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идёт о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:

- все получающиеся сплавы или смеси однородны;

-при слиянии двух растворов, имеющих объёмыV и V , получается смесь, объём которой равен

V=V +V ;

-при слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих её компонентов.

Объёмной концентрацией компонента А называется отношение объёма чистого компонента (V ) в растворе ко всему объёму смеси (V )^

Объёмным процентным содержанием компонента Аназывается величина Р =С *100%, то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяется массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава, то есть весовая концентрация.

Для решения задач на смеси и сплавы удобно ввести в рассмотрение объём или массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонентов. С помощью концентрации нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), в затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко посчитать, какой объём 9масса) каждого компонента входит в получившуюся смесь, а так же полный объём ( массу) этой смеси. После этого определяют концентрации компонентов в новой смеси.

В большинстве случаев рассматриваемые задачи вызывают затруднения у школьников, потому что они не могут установить функциональную зависимость, например, между массой растворимого вещества, массой смеси и концентрацией (крепостью) раствора.

Концентрация– это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса m кг, масса растворимого вещества a кг, концентрация р%, то между этими величинами существует зависимость:

р/100=а/m.

Работу с этой формулой можно оформить в виде таблицы:

Иногда в задачах на сплавы необходимо, чтобы учащиеся знали понятие пробы.

Проба –это число, показывающее сколько граммов чистого драгоценного металла содержится в 1 кг сплава.

Введённые понятия закрепляются при решении задач.

Тема 8. Процентные расчёты в различных сферах деятельности.

Объявляя учащимся цель занятия, полезно подчеркнуть, что сюжеты задач взяты из реальной жизни – из газет, объявлений, документов и т.д. иногда задачи могут быть решены разными способами. Важно, чтобы каждый ученик самостоятельно выбрал свой способ решения, наиболее удобный ему и понятный. Подчеркну так же , что при решении задач предполагается использование калькулятора – всюду, где это целесообразно. Применение калькулятора снимает непринципиальные технические трудности, позволяет разобрать больше задач. Однако отмечу, что в ряде случаев необходимо считать устно. Для этого полезно знать следующие некоторые факты, например: чтобы вычислить величину на 50%, достаточно прибавить её половину; чтобы найти 20% величины, надо найти её пятую часть; что 40% некоторой величины в 4 раза больше, чем её 10%; что треть величины это примерно 33% и т.д.

Распродажи.

Задача.Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – ещё на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 р., то есть 360*0,85=306 (р). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 360 р., то есть 306*0,9=275,4(р).

Ответ:275 р. 40к.

Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение. Найдём отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5%.

Тарифы.

Задача. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14, 5%?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., а её отношение к старому тарифу равно 0,14545. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%.

Ответ: да, соответствует.

Дополнительный вопрос.сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 р. 50 к.?

Ответ: 6 р. 30 к.

Штрафы.

Задача. Занятия ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производится до 15 –го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение. Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придётся заплатить 250+10=260 (р.), на неделю – 250+10*7=320 (р.).

Ответ: 320 р.

Банковские операции.

Задача . За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счёте вкладчика через год? Через два года? Через пять лет?

Решение .

Способ 1. Так как 8% от 5000 р. составляют 400 р., то через один год на счёте окажется 5000+400=5400(р.). в конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8% от 5400 р. составляют 432 р., то через два года на счёте окажется 5400+432=5832 (р.). вычисляя последовательно, найдём , что через пять лет н счёте вкладчика будет 7346 р. 64 к.

Способ 2. Через год начальная сумма вклада увеличивается на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108% . таким образом, через год вклад увеличится в 108/100=1,08 раза и составит 5000*1,08 (р.). ещё через год образовавшаяся на счету сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через два года на счете будет

(5000*1,08)*1,08=5000*1,08 (р.).

Аналогично, через три года 5000*1,08 (р.). и т.д.

Теперь видно, что вклад растёт в геометрической прогрессии, и через пять лет сумма на счёте вкладчика составит 5000*1,08 (р.)., то есть 7346,64 р.

Следует обратить внимание учащихся, что в рассмотренной ситуации начислялись так называемые сложные проценты, то есть здесь можно воспользоваться формулой (1) из темы 6.

2.4.2 Требования к уровню подготовки при изучении данной темы

Учащиеся должны знать:

Что такое процент;

Алгоритм решения задач на проценты составлением уравнения;

Формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;

Что такое концентрация, процентная концентрация.

Учащиеся должны уметь:

Решать типовые задачи на проценты;

Применять алгоритмы решения задач составлением уравнений к решению более сложных задач;

Использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста при решении задач;

Решать задачи на сплавы, смеси, растворы.

Тема 9. Практикум по элементарной математике.

Основные цели:

1. Систематизация, углубление и обобщение полученных знаний в процессе изучения курса,

2.Ознакомление учащихся с современными методами решения уравнений и

неравенств, направленных на развитие логического мышления и

математических способностей учащихся,

3.Формирование уменияточно и грамотно формулировать изученные

теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении

задач;

Задачи:

1. Обучение учащихся современным методам решения уравнений и неравенств.

2. Выявление и развитие творческих способностей и логического мышления учащихся.

3.Формирование умения правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

Основные методы решения уравнений и неравенств.

Все уравнения школьного курса, изучаемые в курсе алгебры 7-9-х классов, можно разбить на несколько больших групп:

Линейные;

Квадратные;

Дробно-рациональные;

Уравнения высших степеней.

При решении линейных уравнений слагаемые с неизвестным обычно переносят в левую часть уравнения, а остальные слагаемые – в правую часть. При этом переносе надо изменить знак всех слагаемых на противоположный.

При решении квадратных уравнений используют формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета.

Решение дробно-рациональных уравнений основано на следующем утверждении: дробь а/в равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Уравнения, степень которых выше второй, обычно решаются двумя основными методами: введением новой переменной и разложением на множители. А так же при решении таких уравнений используются следующие приёмы преобразования уравнений:

перенос слагаемых из одной части в другую;

приведение подобных слагаемых;

умножение обоих частей уравнения на одну и ту же функцию;

возведение обеих частей уравнения в натуральную степень.

Решение большинства неравенств сводится к решению соответствующих уравнений.

Свойства числовых неравенств:

а,в, с – действительные числа.

Если а> в и в> с, то а> с.

Если а> в, то а+ с> в+ с.

Если а> в и с – положительное число, то а с> в с/

Если а> в ис – отрицательное число, тот а с< в с.

Решение квадратных неравенств ах + вх+ с>0 ( >0, <0, <0)состоит из 5 этапов:

Вводим соответствующую функцию у= ах + вх+ с.

2.Определяем направление ветвей параболы у= ах + вх+ с.

3.Находим нули функции, т.е решаем уравнение ах + вх+ с=0.

4. Отмечаем корни на координатной прямой и схематически рисуем параболу

5. Находим решение неравенства с учётом смысла знака неравенства.

Значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называют

допустимыми значениями переменной. Множество всех допустимых значений переменной называютобластью определения выражения.

При решении более сложных неравенств используют метод интервалов. Для этого сначала находят нули функции, отмечают их на координатной прямой, затем проверяют знаки функции на каждом промежутке и находят ответ.

Уравнения и неравенства, содержащие модуль.

Определение модуля. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа хназывается само это число, если х> 0,и противоположное ему число–х, если х < 0.

Модуль х обозначается |х|. Итак,

2. Основные свойства модуля. Для любых действительных хи у:

|x|> 0, |-x| = |x|.

|x²| = x², -|x| < x < |x|.

|x·y| = |x|·|y|, |x/y| = |x|/|y|, y 0.

При решении задач нужно помнить геометрический смысл модуля: |x-a| - это расстояние между точками х и а числовой оси. В частности, |x| - расстояние между точками х и 0.

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

1) раскрытие модуля по определению;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3) метод разбиения на промежутки.

Условно все уравнения и неравенства, содержащие модуль можно разделить на 5 групп:

Уравнения и неравенства с модулем вида f(x) = b, f(x) < b, f(x) > b, где f(x) -некоторая функция, а b-положительное число;

Уравнения и неравенства с модулем вида f(x) =g(x), f(x) < g(x),

f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции.

Уравнения и неравенства с модулем вида f(x) = g(x) , f(x) < g(x)

Уравнения, содержащие несколько модулей.

Уравнения и неравенства , в которых под знаком модуля находится выражение, в записи которого содержится один или несколько модулей.

Первые два вида уравнений и неравенств решаются с использованием определения модуля, для решения уравнений и неравенств третьего вида применяется способ возведения обеих частей уравнения или неравенства в квадрат.

Свойства модуля используют и при решении иррациональных уравнений.

Решение уравнений и неравенств первых трёх видов рассмотрены в приложении №3

Требования к уровню подготовки учащихся

Учащиеся должны знать:

определение уравнения, неравенства,модуля;

основные свойства неравенств и правила действий над неравенствами;

основные методы решения уравнений и неравенств;

проводить обоснования в ходе рассуждений при решении задач, используя для этого изученные в курсе теоретические сведения и практические умения;

Учащиеся должны уметь:

проводить детальный анализ условий задачи, приводимый к быстрому выбору наиболее рационального метода решения,

применять изученные методы для решения задач различных типов и уровней сложности.

проводить полное обоснование в ходе теоретических рассуждений при решении поставленной задачи, используя полученные знания.

Тема 10. Уравнения и неравенства с параметром.

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентоваиb.Линейныенеравенства с параметрами.Решение линейных неравенств с параметрами.

Основные цели:

Углубить и расширить знания методов и приемов к решению задач с параметрами

Продолжить работу по интеллектуальному развитию учащихся, формированию определенного уровня абстрактного и логического мышления

Сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как о задачах исследовательского характера , показать их многообразие

Задачи:

Обеспечение прочного и осознанного овладения учащимися системой математических знаний и умений при решении задач с параметрами;

Формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной математической деятельности;

Обеспечение математической подготовки для сдачи ЕГЭ и изучения содержания математического образования в технических вузах .

На начальной стадии знакомства с указанной темой у школьников возникает естественный вопрос о толковании термина «параметр».

Определение.Параметром называется независимая переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным.

Решить уравнение (неравенство) с параметром – этот значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответсвующее множество решений уравнения (неравенства).

Смысл содержания термина «параметр» легко обнаруживается на следующем примере.

Пример. Решить уравнение .

х = р. (1)

Независимость переменной р состоит в том, что её значение не обязано быть неотрицательным числом в силу равенства неотрицательной величины х .

А «управляемость уравнением переменнойрсостоит в том, что мы обязаны ей «подчиниться», каждый раз указывая ответ задачи в зависимости от значения этой переменной. Поэтому ответ уравнения (1) записывается , например, следующим образом:

Еслир<0,то решений нет;

Еслиp>0, то х = р .

Определение. Допустимым значением параметра называется такое его значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество.

Например, для уравнения (1) множество допустимых значений параметра есть вся числовая ось, как и для уравнения р - х = р. А для уравнения р = х-р множество допустимых значений параметра есть луч [ 0; ).

Основной класс задач с параметром составляют уравнения, неравенства, системы относительно одной неизвестной и с одним параметром либо задачи, к ним сводимые ( что далеко не всегда очевидно).

Метод интервалов в задачах с параметром.

Цель первого занятия – познакомиться с техникой решения указанных задач.

Для каждого значения параметра ррешить неравенство (р-х² )( р+х-2)<0.

Решение. При наличии нелинейных множителей рекомендуется, если это возможно, разложить их на множители. Поэтому если р<0,то при всех х множитель р-х отрицательный. Разделив в этом случае обе части неравенства на р-х , получаем

р+х-2>0 2 – р,

Откуда имеем первую часть ответа:

х >2-р при р<0. (2)

Если р>0,то исходное неравенство представимо в виде

( р –х)( р+х)( р+х-2)<0,

Которое после умножения обеих частей на -1 приводит к стандартному для метода интервалов виду

(х-х )(х-х )(х-х )>0, (3)

где х = - р, х = р и х =2-р.

далее рекомендуется расположить величины х , х , х по возрастанию. В зависимости от параметра величины х , х и х различным образом располагаются по возрастанию.

Первый шаг. Находим значения р,при которых указанные величины попарно равны:

х =х при р=0, х = х при р=4, х =х при р=1.

Второй шаг. Для остальных значений параметра (р>0, х , х и х есть различные числа, которые надо располдожить строго по возрастанию. Очевидно, что при р>0, - р< р, то есть х < х при всех р>0.

Выясним, где на оси переменной х относительно величин х и х располагается х . Для этой цели можно рассмотреть все возможные случаи (р>0, р=1, р=4): случай 1: х <х < х х < х ;

случай 2:x < х < х ;

случай 3: х < х < х х< х .

то есть относительно р необходимо решить неравенства 2- р< - р (случай 1),

р<2- р (случай 3), и систему неравенств

(случай 2).

Все неравенства квадратные относительно р, что позволяет быстро установить:

х <х < х при р>4;

х <х < х при 1< р<4;

х <х < х при 0<p<1

полученную информацию можно свести в единую таблицу, которая позволит сразу объявить ответ задачи.

Ответ: при р<0 х ( 2- р; + ); при р=0 х (2;+ ); при 0<р<1 x (- р; р) (2-p; + );

при р=1 x ( -1;1) (1; + ); при 1<р<4 x (- р; 2-p) ( p;+ ); при р=4

x (2;+ ); при р>4 x (2-p; - p) ( p; + )/

Требования к уровню подготовки при изучении данной темы

Изучение данной темы предоставляет возможность учащимся научиться:

1. проводить детальный анализ условий задачи, приводимый к быстрому выбору наиболее рационального метода решения,

2. применять изученные методы для решения задач различных типов и уровней сложности.

3. проводить полное обоснование в ходе теоретических рассуждений при решении поставленной задачи, используя полученные знания.

В результате изучения данной темы учащиеся должны

Знать:

Определение уравнения, содержащего параметр;

принципы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр;

аналитические и графические методы решения задач с параметрами:

Уметь:

Решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами, используя метод интервалов;

Проводить исследование квадратичной функции;

Решать задачи на определение расположения корней квадратного трёхчлена.

Главная задача, которую должны усвоить учащиеся, что уравнения и неравенства с параметром – это семейство уравнений или неравенств определяемых параметром . Отсюда вытекает способ решения : в зависимости от структуры уравнения или неравенства выделяются подмножества , множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения или множество решений неравенства. Этот смысл доводиться до сознания учащихся путем рассмотрения конкретных примеров уравнений и неравенств с параметрами.

Учебно-тематический план:

Организация проведения аттестации учащихся.

Контролировать уровень достижений учащихся можно такими способа­ми, как наблюдение активности на занятии, беседа с учащимися, родите­лями, экспертные оценки педагогов по другим предметам (особенно по курсам, которые направлены преимущественно на личный рост учащих­ся, развитие общеучебных компетентностей), анализ творческих, исследо­вательских работ, результатов выполнения диагностических заданий учеб­ного пособия или рабочей тетради, анкетирование, тестирование. Важно использовать оценку промежуточных достижений в качестве инструмента положительной мотивации, а также своевременной коррекции работы уча­щихся и учителя.

Констатировать уровень достижений учащихся возможно также качест­венной оценкой самостоятельно выполненных проектов, которые могут быть индивидуальными и коллективными. Обсуждение результатов выполнения проекта желательно проводить во время публичной защиты, куда могут быть приглашены и не изучавшие данный курс учащиеся. Это может иметь не только познавательный, но и мотивационный эффект.

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материа­ла и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объектив­ную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его оценке. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками ее применения поможет ему внести определенные кор­рективы в учебный процесс (изменить темп и стиль проведения занятий, вернуться к ранее изученному материалу и повторить его, внести измене­ния в ранее данное индивидуальное задание ученику или группе учащихся для домашнего выполнения).

Шкала оценок может быть традиционной.

Возможные критерии оценок:

Оценка "отлично" (5) - учащийся блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач, имеющих прикладной характер; в процессе написа­ния и защиты рефератов, выполнения стендовых докладов, работы над ин­дивидуальными домашними заданиями ученик продемонстрировал умение ра­ботать с литературными источниками; он отличался активным участием в диспутах и обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном кур­се; кроме того, ученик отличился творческим подходом и большей заинте­ресованностью как при освоении курса в целом, так и при выполнении по­рученных ему учителем заданий. Он научился работать в малых группах, находить и использовать информацию в рекомендованных бумажных и элек­тронных изданиях, очевиден и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.

Оценка "хорошо" (4) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием; ученик справился с написанием рефератов, выполнил (но без проявления явных творческих способностей) домашнее задание; можно сказать, что оценка "хорошо" - это оценка за усердие и прилежание, которые привели к опре­деленным положительным результатам, свидетельствующим и об интеллекту­альном росте, и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка "удовлетворительно" (3) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнить такие задания, как написание рефератов, в итоговой контрольной самого простого состава задач ученик справился на 2/3 части от общего объема знаний.

Оценка "неудовлетворительно" (2) - ученик не проявил ни прилежа­ния, ни заинтересованности в освоении курса (скорее всего, выбор им этого элективного курса оказался ошибкой), он халатно отнеся к написа­нию рефератов и выполнению индивидуальных домашних заданий; дискуссии были для ученика неинтересны, и он уклонялся от участия в них, с ито­говой контрольной работой простого состава задач не справился.

Проводить итоговую аттестацию по результатам изучения курса можно как с помощью специальной зачетной работы (экзамен, тест), так и с учетом портфолио ученика, то есть совокупности самостоятельно выпол­ненных работ (схемы, чертежи, макеты, рефераты, отчеты об исследовани­ях, эссе) и документально подтвержденных достижений (грамоты, дипло­мы). Итоговая оценка может быть накопительной, когда результаты выпол­нения всех предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммиру­ются по окончании курса. При этом случае конкретные рамки по количест­ву баллов для получения той или иной оценки заранее не задаются, а оценка определяется по завершении изучения курса в зависимости от ак­туального уровня подготовки учащихся.

Литература.

Литература для учителя.

1. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование; 2004 г.

2.Программы для общеобразовательных учреждений: Алгебра. 7-9 кл. / сост. Т.А.Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008.

3.Маркова В. И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения. Учебно-методическое пособие. Киров – 2006.

4.Элективные курсы в профильном обучении: образовательная область «Математика»/ Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. М.:Вита-Пресс, 2004

5.Есина И.Г., Салихина И.А. Экономика на уроках математики: Методические рекомендации.- Ульяновск: ИПК ПРО, 2001.-40стр

6.Дорофеев Г.В., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Мищенко Т.М., Росолова Л.О., Суворова С.Б. Курс по выбору для IX класса. «Избранные вопросы математики» // Математика в школе №10-2003, стр 2-36

7.Мухаметзянова Ф.С. Учебно-методический комплект по элективному курсу. Ульяновск: ИПК ПРО, 2005.

8.Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.

9.Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 [Текст] / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспекти­ва, 1990.-с. 2-38.

10.Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметра­ми [Текст]: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31

11. Демонстрационные версии экзаменационной работы по алгебре в 2013 году, в 2014 году. – М.: Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки, 2013, 2014. – Режим доступа: http://wwwfipi.ru.

Литература для учащихся:

1.Есина И.Г., Салихина И.А. Экономика на уроках математики: Методические рекомендации.-Ульяновск: ИПК ПРО, 2001.-40стр

2.Мордкович А. Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра. 9 класс. Задачник. М.: Мнемозина, 2004.

4. Ященко И.В., Шестаков С.А, Трепалин А.С., Семёнов А.В. ОГЭ (ГИА-9) 2015 Математика. 3 модуля. Основной государственный экзамен. 50 вариантов типовых тестовых заданий.М.: «Экзамен», издательство МЦНМО, 2015.

5. Математика 9-й класс. Подготовка к ГИА-2015: учебно-методическое пособие /Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на –Дону: Легион, 2014

Приложение № 3.

Тема: “Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля”

Тип урока: урок обобщения и систематизации учебного материала.

Форма урока: урок-практикум

Цели:

Актуализировать знания: модуль числа и свойства модуля; совершенствовать умение при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применять методы: раскрытие модуля по определению; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки.

Развивать интеллектуально-логические умения и математические способности;

Воспитывать адаптивность к современным условиям обучения, воспитывать личность, интегрированную в современное общество.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Мотивация деятельности учащихся.

Сообщение целей и задач урока. Принятие учащимися целей урока.

III. Актуализация опорных знаний.

1. Определение модуля. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа хназывается само это число, если х> 0,и противоположное ему число–х, если х < 0.

Модуль х обозначается |х|. Итак,

2. Основные свойства модуля. (Запишите основные свойства модуля).

Для любых действительных хи у:

|x|> 0, |-x| = |x|.

|x²| = x², -|x| < x < |x|.

|x·y| = |x|·|y|, |x/y| = |x|/|y|, y 0.

При решении задач нужно помнить геометрический смысл модуля: |x-a| - это расстояние между точками х и а числовой оси. В частности, |x| - расстояние между точками х и 0.

IV. Совершенствование практических умений применять известные методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Устная работа

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

1) раскрытие модуля по определению;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3) метод разбиения на промежутки.

Решите уравнения:

|x| = 3; |x – 5| = 1; |x + 2| = 7; |x – 3| = |x + 1|.

Обменяйтесь тетрадями.

Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком –.

Какой метод применяли при решении данных уравнений?

Алгоритм решения уравнения

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо:

Освободиться от знака модуля, используя его определение;

Найти критические точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

Разбить область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

На каждом из найденных промежутков решить уравнение без знака модуля.

Объединение решений указанных промежутков и составляет все решения данного уравнения.

Решить уравнения, используя алгоритм решения уравнения и свойства модуля.

Уравнение вида |f(x)| = g(x).

|x – 7| = x³ – 15x² + x + 7.

Решение

По определению модуля

Уравнение |x – 7| = x³ – 15x² + x + 7 равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:

Ответ: 0;

Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.

|x⁵-6x²+9x-6| = |x⁵-2x³+6x²-13x+6|.

Решение

|x⁵-6x²+9x-6| > 0 и |x⁵-2x³+6x²-13x+6| > 0.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решив каждое из уравнений, получим:

х = 0; х = ± .

х = 1; х = 2; х = 3.

Ответ: 0; ± ; 1; 2; 3.

Найти сумму корней уравнения

|2x + 1| + |5 - 3x| + 1 - 4x = 0.

Решение

1. По определению модуля

2. Hайдём критические точки:

2х + 1 = 0;         5 - 3х = 0.

х = -?;                 х = 5/3.

3. Hули функции разбивают числовую ось на промежутки.

4. Решим уравнение на каждом из промежутков:

Уравнение, записанное без знака модуля на промежутках х, равносильно совокупности смешанных систем:

Ответ:; 3.

Программированный контроль

Решение уравнений.

Ученик может выбрать любой из трёх уровней примеров. Первый уровень оценивается оценкой “3”, второй “4”, третий “5”. Решение в тетрадях с последующим объяснением своего решения в группах. Наиболее сложные задания решаются у доски. Решения проверяются и записываются в тетрадях. Оставшиеся задания выполняются дома.

V. Самостоятельная работа.

Самостоятельная письменная работа по вариантам
на отдельных листах с последующей сдачей учителю вместе с диагностическими листами

VI. Итог урока.

Определение модуля.

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Алгоритм решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

VII. Домашнее задание.

Решить три уравнения различного уровня.

Индивидуальные задания.

1. х² = | 2 - х| ;

2. | | 3х + 2| - 5х| = 14;

3. | 2 - | 3х - 1| | = х² + 1;

4. | 3х – 1| + | 2х - 4| = | х² - 1| + 4;

Конспект урока математики по теме

"Решение квадратных уравнений, содержащих параметр"

Тип урока: Повторение, обобщение и систематизация знаний, подготовка а государственной итоговой аттестации.

Цели урока:

Образовательная: обобщить, систематизировать изучение на предыдущих уроках.

Воспитательная: показать, что понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи; формировать эстетические навыки при оформлении записей; умение выслушивать других и умению общаться.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность; умение анализировать, обобщать, продолжить формирование математической речи.

Организационный этап.

Постановка цели .

Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Устная работа.

- Какое уравнение называется квадратным?

- Сформулируйте теорему Виета для корней квадратного уравнения.

- Что значит решить уравнение с параметром?

(Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.)

- Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней.

а) х² – 10х + 21 = 0 (один корень – положительный, второй – отрицательный).

б) х² + 9х + 14 = 0 (два корня отрицательные).

в) х² – 7х – 18 = 0 (один корень – положительный, второй – отрицательный).

г) 2х² – 5х + 7 = 0 (корней нет).

Закрепление. Решение заданий.

При каких значениях k,уравнение 3х² + kx+1 = 0 не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.

Решение: Уравнение не имеет корней, если Д < 0.

Д = k² – 12 < 0

(k -)(k +) < 0

k(-; ).

Ответ: (-; ), 1.

Найдите все целые значения k, при которых уравнение kx² - 6x +k= 0 имеет два корня.

Решение:Уравнение имеет два корня, если Д > 0, k≠ 0.

Д = 36 - 4k² > 0

36 - 4k² > 0

9 - k² > 0

(3 - k)(3 + k) > 0

(k - 3)(3 + k) <0

-3< k < 3

Ответ: -2; -1; 1; 2

При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² + (2 - m)x - m – 3 = 0 минимальна?

Решение:Найдём х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ = (m- 2)² - 2(-m - 3) = m² – 4m + 4 + 2m+ 6 =

= m² - 2m +10 = m² - 2m+ 1 + 9.

Наименьшее значение трёхчлена m² - 2m +10 достигается при m =1.

Ответ: 1.

При каких значениях m оба корня уравнения (m² - 4)x² + (2m - 1)x + 1 = 0 отрицательные?

Решение:При m = 2 уравнение обращается в линейное и иметь двух корней не может.

Д = 4m² - 4m + 1 - 4m² + 16 = - 4m + 17 > 0, m < 4,25 и m2.

Так как х₁ + х₂ = и х₁∙ х₂ = , а х₁< 0, x₂ < 0, то

m > 2

m² - 4 > 0; (m - 2)(m + 2) > 0; m > 2;

Учитывая, что m < 4,25 и m2, приходим к выводу, что m(2; 4,25).

Ответ: (2; 4,25).

Самостоятельная работа с самопроверкой ( решения проецируются на интерактивную доску)

1. При каких значениях bуравнение х² + 2(b + 1)x+ 9 = 0 имеет два различных положительных корня?

Решение: х₁ > 0, x₂ > 0, Д > 0.

Д = 4(b + 1)² - 36 > 0

(b + 1)² - 9 > 0

b₁ = 2

b₂= - 4

b > 2 или b< -4

b< -4

2(b+ 1) < 0; b < -1.

- решений нет.

2(b + 1) < 0.

Ответ:b< -4.

2. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² + 2mx+m - 1 = 0 минимальна?

Решение: Найдём х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂

х₁² + х₂² = 4m² - 2(m- 1) = 4m² - 2m + 2 = 4=

= .

Трёхчлен 4m² - 2m+ 1 достигает минимального значения при m = .

Ответ:.

Домашее задание.

Используя дополнительную литературу (Математика 9-й класс. Подготовка к ГИА-2015: учебно-методическое пособие /Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на –Дону: Легион, 2014)

подобрать 2–3 квадратных уравнения, содержащих параметр (рассмотреть различные случаи содержания параметра в коэффициентах квадратного трехчлена) и уметь их решать.

Использованная литература

1. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование; 2004 г.

2.Программы для общеобразовательных учреждений: Алгебра. 7-9 кл. / сост. Т.А.Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2008.

3.Маркова В. И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения. Учебно-методическое пособие. Киров – 2006.

4.Элективные курсы в профильном обучении: образовательная область «Математика»/ Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. М.:Вита-Пресс, 2004

5.Есина И.Г., Салихина И.А. Экономика на уроках математики: Методические рекомендации.- Ульяновск: ИПК ПРО, 2001.-40стр

6.Дорофеев Г.В., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Мищенко Т.М., Росолова Л.О., Суворова С.Б. Курс по выбору для IX класса. «Избранные вопросы математики» // Математика в школе №10-2003, стр 2-36

7.Мухаметзянова Ф.С. Учебно-методический комплект по элективному курсу. Ульяновск: ИПК ПРО, 2005.

8.Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.

9.Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 [Текст] / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспекти­ва, 1990.-с. 2-38.

10.Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметра­ми [Текст]: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31

11. Демонстрационные версии экзаменационной работы по алгебре в 2013 году, в 2014 году. – М.: Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки, 2013, 2014. – Режим доступа: http://wwwfipi.ru.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/131162-programma-jelektivnogo-kursa-dopolnitelnye-vo