Методическая разработка «Преподавание теории вероятностей»

Преподавание

теории вероятностей

В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественно – научных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях. В связи с этим элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Начиная с 2003г. издаются специальные дополнения к учебни­кам математики для 7-9 классов, в которых изложен теоретический материал и приводится большое количество задач и упражнений по элементам статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Затем материал по данному курсу включается в некоторые учебники математики. Но в каждом из них отражён авторский подход к отбору материала и последовательности изложения тем.

При разработке общего подхода к преподаванию статистики и теории вероятностей в школе большинство авторов рекомендуют руководствоваться следующими положениями:

дать законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистики и их тесной взаимосвязи;

подчёркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов;

избегать излишнего формализма;

избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач, в том числе задач из азартных игр;

иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.

Следует отметить, что элементарные понятия можно вводить уже в 5 классе при решении несложных комбинаторных задач, встречающихся в учебнике «Математика 5 класс» авторов Виленкина Н. Я., Жохова А. С. и др., например:

В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Президентом фирмы можно выбрать одного из 5 человек, после этого вице-президентом можно выбрать любого из 4 оставшихся членов правления. Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбора равно 5*4 = 20. Решение можно изобразить с помощью графов:

1

2

3

4

5

2

3

4

5

1

3

4

5

1

2

4

5

1

2

3

5

1

2

3

4

В методической литературе предлагается несколько вариантов календарно-тематического планирования, а также разное количество часов, отводимых на изучение данных тем в общем курсе алгебры, кроме того, существуют авторские 34-х часовые спецкурсы, в которых теория вероятностей рассматривается как самостоятельная дисциплина, наряду с алгеброй и геометрией.

Приведем один из вариантов планирования, рассчитанный на 22 часа для 7-9 классов, а также варианты самостоятельных и контрольных работ.

7, 8 классы.

Самостоятельная работа по теме «Таблицы» 1. В таблице представлен объем экспорта естественного газа из России в некоторые страны мира в 2001 г.

По данным таблицы укажите: а) наиболее крупных потребителей российского газа (более 10 млрд. куб. м); б) государства, которые в 2001 г. получили менее 1 млрд. куб. м.; в) общий объем газа, экспортированного в 2001 г. в указанные страны. 2. Участники Интернет-форума указали города, где они проживают. Полу­чился следующий список: Москва, Смоленск, Москва, Москва, С.-Петербург, Челябинск, Назрань, Москва, Норильск, Уфа, Москва, Волгоград, С.-Петербург, Ногинск, Москва, Москва, Челябинск, Москва, С.-Петербург, С.-Петербург, Москва, Челябинск, Дмитров, Москва, Ижевск, Мурманск, Волгоград, Москва, Ярославль. Составьте таблицу подсчета и таблицу распределения участников форума по городам.

Самостоятельная работа по теме «Диаграммы»

1. В таблице даны денежные вклады граждан России в Сбербанке РФ в каж­дом месяце 1995 г.

Постройте столбиковую диаграмму, отражающую данные таблицы. 2. На круговой диаграмме показан объем поставок российского газа в три страны СНГ в январе-августе 1995 г.

а) В какую из этих трех стран было поставлено больше всего газа в 1995 г.? В какую меньше всего? б) С помощью транспортира и калькулятора найдите приближенно объем поставок в Беларусь, если суммарная поставка во все три страны равна 57 168,1 млрд. куб. м газа.

Самостоятельная работа по теме «Случайная изменчивость, среднее значение»

1. В сосуд с теплой водой погрузили 10 термометров. Термометры показали следующие результаты: 34,5°; 35,1°; 34,4°; 34,2°; 34,7°; 34,6°; 35,0°; 34,2°; 34,5°; 34,8°. а) Чем может объясняться изменчивость в показаниях термометров? Назо­вите хотя бы две возможные причины. б) Расположите полученные значения по возрастанию. в) Найдите среднее значение температуры и размах полученного набора.

2. Пользуясь результатами задачи 1, составьте таблицу отклонений пока­заний термометров от среднего значения. Сколько показаний меньше, чем среднее? Сколько показаний больше, чем среднее?

3. Пользуясь результатами задачи 1. найдите медиану показаний термомет­ров. Сколько показаний больше и сколько показаний меньше медианы?

Самостоятельная работа по теме «Разброс и дисперсия»

1. Дан набор чисел 3: 1: 5: 2; — 1; 0; 3; 4. а) Найдите размах этого набора. б) Найдите среднее значение, составьте таблицу квадратов отклонений от среднего. в) Найдите дисперсию набора. 2. Даны два набора чисел: 7; 4; 9; 8 и 2; —1; 4; 3. а) Отметьте числа обоих наборов на числовой прямой. б) Вычислите дисперсию каждого из наборов. в) У какого набора дисперсия больше?

Примерная контрольная работа

Вариант 1

1. В таблице представлена смета расходов при покупке продуктов питания. Заполните столбец «Стоимость».

2. За диктант по русскому языку учительница поставила 7 пятерок, 9 четве­рок, 8 троек и 2 двойки. Постройте столбиковую диаграмму по этим данным. Вычислите среднюю оценку.

3. Дан набор чисел 1; 3; —4; 2; 7; 5. Найдите среднее значение и медиану этого набора.

4. В таблице представлено производство автомобилей на некотором автоза­воде по годам.

Составьте таблицу изменения производства автомобилей по сравнению с 1997 г. в процентах.

5*. В таблице представлены среднемесячные температуры за первые 6 ме­сяцев года в Волшебной стране.

Вычислите дисперсию температуры за эти полгода. Результат округлите до десятых.

Вариант 2

1. В таблице представлена смета расходов при покупке электротоваров. Заполните столбец «Стоимость».

2. В понедельник и во вторник магазин продал по 5 автомобилей, в сре­ду—6, в четверг —4, в пятницу —8, а в субботу— 12 автомобилей. Вычислите среднее число автомобилей, проданных за день. Постройте по этим данным столбиковую диаграмму «число проданных автомобилей по дням».

3. Дан набор чисел 3; 6; 4; —2; 5; 8. Найдите среднее значение и медиану этого набора.

4. Таблица показывает, сколько пассажиров перевезла некоторая авиаком­пания в каждом году.

Составьте таблицу изменения для числа пассажиров авиакомпании по срав­нению с 1997 г. в процентах.

5*. В таблице представлены среднемесячные температуры за 6 последних месяцев года в Тридесятом королевстве.

Вычислите дисперсию температуры за эти полгода. Результат округлите до сотых.

9 класс

Самостоятельная работа по теме «Элементарные события»

1. Бросают одну игральную кость. Перечислите элементарные события, бла­гоприятствующие событию «выпало нечетное число очков» 2. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Выделите в этой таблице цветными карандашами элемен­тарные события, благоприятствующие событиям: а) на обеих костях выпало число очков меньшее, чем 3; б) сумма очков на двух костях равна 7; в) произведение выпавших очков равно 12. 3. В случайном опыте всего три элементарных события a,bис.Вероят­ности элементарных событий аиbсоответственно равны 0,4 и 0,1. Найдите вероятность события, которому: а) благоприятствует элементарное событие с; б) благоприятствуют элементарные события аи с. 4. В шахматной коробке лежит 5 черных и 6 белых пешек. Игрок, не глядя, вынимает одну пешку. Найдите вероятность того, что пешка окажется белой.

Самостоятельная работа по теме «Вероятности событий»

1. В случайном эксперименте 17 элементарных событий. Событию Абла­гоприятствуют 8 из них. Сколько элементарных событий благоприятствует событию Ă? Найдите вероятность события Ă, если вероятность события А равна 0,32.

2. Бросают одну игральную кость. Событие А— выпало четное число очков. Событие Всостоит в том, что выпало число очков, большее 3. Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию AUB.Найдите Р(АUB).

3. Бросают две игральные кости. Событие A — на первой кости выпало мень­ше 3 очков. Событие В—на второй кости выпало больше 4 очков. Выпишите элементарные события, благоприятствующие событию А∩В.Опишите словами это событие и найдите его вероятность. 4. События UиVнесовместны. Найдите вероятность их объединения, если P(U)=0,3, Р(V) = 0,5.

Самостоятельная работа по теме «Независимые события»

1. События U иVнезависимы. Найдите вероятность наступления событияU∩V,еслиP(U) = 0,3,P(V) = 0,5. 2. События К иLнезависимы. Найдите вероятность события К,еслиP(L) = 0,9, Р(К∩L) = 0,72. 3. Монету бросают два раза. Выпишите все элементарные события этого эксперимента. Событие А— первый раз выпал орел. Событие В — второй раз выпала решка. Найдите вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения. Являются ли эти события независимыми?

4. Из ящика, где хранятся 5 желтых и 7 красных карандашей, продавец, не глядя, вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что: а) все карандаши окажутся желтыми; б) первые два карандаша — желтые, а третий — красный. 5*. Случайным образом выбирается натуральное число от 1 до 50. Событие С— выбрано четное число. Являются ли событияСиDнезависимыми, если событие Dсостоит в том, что: а) выбранное число делится на 7; б) выбранное число делится на 5.

Самостоятельная работа по теме «Перестановки и факториал числа»

1. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: «Анчар», «Буря» и «Вьюга». Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать? 2. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»? 3. Вычислите значение выражения: а) 5!; б) ; в) 4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбран­ного телефонного номера — это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке.

Самостоятельная работа по теме «Сочетания»

1. Вычислите: а) ;б) . 2. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки? 3. Найдите вероятность того, что все буквы «а» окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова «ка­рандаш». 4. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.

Примерная контрольная работа

Вариант 1

1. В барабане лотереи 20 одинаковых шаров. Шары пронумерованы от 1 до 20. Барабан вращается, и из него выпадает один шар. Найдите вероятность того, что номер шара — четное число.

2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0,63 может наступить со­бытиеA, с вероятностью 0,59 —событие В и с вероятностью 0,22 —событие

А ∩ В.Найдите вероятность события AU В.Является ли событие AU Вдосто­верным?

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в пер­вый раз выпадет четное число, а во второй — число, большее чем 3.

4. В экзамене 6 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик правильно ответит хотя бы на один вопрос.

5. В кармане у Буратино 5 золотых и 6 серебряных монет. Все монеты одинаковы по форме и размеру. Буратино, не глядя, вынимает из кармана 5 монет. Найдите вероятность того, что все эти монеты — золотые.

Вариант 2

1. Слово «Математика» написали на картонке и разрезали картонку на бук­вы. Буквы перемешали. Найдите вероятность вытащить наудачу картонку с гласной буквой.

2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0,78 может наступить событие А, с вероятностью 0,34 —событие В и с вероятностью 0,11 —собы­тие A∩B. Найдите вероятность события AUB? Верно ли, что событие AUB достоверное?

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в пер­вый раз выпадет нечетное число, а во второй — число, меньшее чем 3.

4. В экзамене 5 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик даст хотя бы один неверный ответ.

5. В вазочке на шкафу 4 конфеты с фруктовой начинкой и 5— с молочной. Все конфеты одинаковы по форме и размеру. Маша дотянулась рукой до вазочки и, не глядя, выбирает 5 конфет. Найдите вероятность того, что все выбранные конфеты имеют молочную начинку.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/137682-metodicheskaja-razrabotka-prepodavanie-teorii