Открытый урок по теме «Применение показательной функции»

Тема «Применение показательной функции»

Цели:

повышение мотивации учащихся к обучению, расширить представление учащихся о применении свойств показательной функции в различных областях естествознания, определить прочность знаний, умений и навыков при построении показательной функции и определения ее свойств.

развивать логическое мышление, умение анализировать, оперировать полученными знаниями и навыками, выделять главное, обобщать. Развивать интерес к математике.

воспитание познавательной активности, формирование навыков самостоятельной работы с учебной литературой.

Тип урока: интегрированный

Форма урока: фронтальная и индивидуальная.

Техническое оснащение урока:

4 компьютера, проектор, экран, DVD-проигрыватель, колонки.

Учащиеся сидят по группам «Географы», «Физики», «Биологи, экологи» , «Экономисты» (выбор учащихся группы соответствует их интересам и желанию).

Эпиграф урока:

«Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления»

Колмогоров. А.Н

Ход урока

1. Начало урока:

- Добрый день, дамы и господа!

Я очень рада, что сегодня мне выпала честь быть председателем нашего Научного общества. Я приветствую своих коллег-ученых:

-физиков
- биологов, экологов
- географов
- экономистов.

Заседание нашего Научного общества считаю открытым.

Демонстрация фильма «Математика в жизни» (заголовок фильма учащиеся не видят)

- Предлагаю вашему вниманию фильм.

Учитель: Внимательно слушайте диктора, уловите главную идею фильма. Ответьте на вопрос: что объединяет сюжеты этого фильма?

Ученики: Здесь идет речь о зависимостях в жизни, значение математики в жизни.

- Уважаемые коллеги, посовещайтесь в группах и определитесь с тем, какое название можно дать этому фильму.

Ученики: Все в мире взаимосвязано.

Взаимосвязи в жизни…

Учитель: С помощью чего описываются явления, зависимости в математике?

Ученики: С помощью функций.

Учитель: Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. На предыдущем уроке мы с вами познакомились с понятием показательной функции. Как вы думаете какая будет тема нашего исследования?

-И поэтому тему нашего с вами исследования я обозначила так: «Применение показательной функции».

Учитель: Уважаемые коллеги! Посовещайтесь и сформулируйте проблемные вопросы по данной теме.

Ученики:

- что такое показательная функция

- какими свойствами обладают эти функции
- где применяются показательные функции
- значение функций в жизни

Учитель: Согласна с проблемным вопросом на наш урок - «Где применяются показательные?»

- Обратите внимание на проблемный вопрос. Мы с вами ученые. Для нас важна доказательность, поиск истины.

Как мы сможем ответить на этот вопрос доказательно?

Ученики: Решая практические задачи.

Учитель: Вы поставили вопросы: Что такое показательная функция. Давайте с вами ответим на них.

Ученики: (дают определение функции)

Учитель: какими свойствами они обладают?

Область определения и область значения

Возрастание и убывание

Точки пересечения с осями координат

Ученики:отвечают на вопросы

Учитель: Молодцы! Вы успешно справились с заданием.

Я предлагаю вам, коллеги, ответить на наш проблемный вопрос, выполняя реальные практические задания. Каждой группе ученых предложено свое задание, план выступления. Определитесь с ролями в группе и начните работу.

3. Работа в группе.

Задание для географов

«Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как учёные изучают природные и социальные явления».
Колмогоров А.Н.

Для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Покажем, как в таких расчетах применяются логарифмы.

ЗадачаНаселение города Барнаула оценивается 648 тыс. человек (2009). Население примерно увеличивается на 0,4% в год. Причем женское населения составляет 55% (увеличивается на 0,25%), а мужское 45% (увеличивается на 0,15%). Постройте графики прироста населения, прироста женского и мужского населения. Проанализируйте.

Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: A=a(1+p/100)^x . Где а - количество населения в начальный период времени, р – процент прироста населения.

План:

Посчитайте начальное количество женщин и мужчин

Запишите формулы, подставив начальные значения (три формулы: женщины, мужчины, общее)

Составьте таблицы для построения графиков (расчеты вести с помощью калькулятора, округлять до десятых)

Постройте графики функций.

Проанализируйте: как увеличивается население, чему равно население через 2 года, кого будет больше мужчин или женщин?

Задание для «биологов-экологов»

«В нашу современную жизнь вторгается математика с её особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога».
Гнеденко Б.В.

Здадача. Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Построить график функции изменения численности особей и проанализировать его.

Применим для вычисления времени формулу сложных процентов:

 где
у – численность животных по истечению искомого времени;
5 тыс. – численность животных в начальный момент времени;
p = 8 - % сокращения численности животных.
х – прошедшие годы.

План:

Запишите формулы, подставив начальные значения

Составьте таблицы для построения графиков (расчеты вести с помощью калькулятора, округлять до десятых)

Постройте график функции.

Проанализируйте: что происходит с графиком?Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?

Задание для «Физиков»

«Математические методы становятся не только методами, которые используются в механике, физике, но общими методами для всей науки в целом»
Соболев С.Л.

Для урана-238 Т = 4,56 млрд. лет; для радия-226 Т = 1590 лет; для цезия-137 Т = 31 год; для йода-131 Т = 8 суток; для радона-222 Т = 3,81 суток.

Пусть Т – период полураспада радиоактивного вещества, а t – время, прошедшее с начала наблюдения.. Тогда ,  гдеm₀– масса вещества в начальный моментt = 0, а m – масса вещества по прошествии времени t. Если взять t=T , то получим , т.е. остающаяся в результате распада масса составляет половину исходной массы. Так и должно быть по определению  самого понятия периода полураспада.

Задача. Построить графики функций изменения массы йода-131, урана-238, радона-222, если в начальный момент их масса составляла 1г?

План:

Запишите формулы, подставив начальные значения (известно m₀иT)

Составьте таблицы для построения графиков (расчеты вести с помощью калькулятора, округлять до десятых)

Постройте графики функций.

Проанализируйте: как изменялась масса веществ, какое вещество распадается быстрее? Чему равна масса веществ через 4 суток?

Задание для «Экономистов»

Задача. Три вкладчика решили вложить свои заработанные деньги в банк, но не как не могли выбрать в какой именно. Они договорись положить свои деньги в разные банки, чтобы сравнить их. Постройте графики функций роста их доходов, если 1 вкладчик положил в банк 10000 под 10% годовых, 2 – 15000 под 8%, 3 – 5000 под 25%. Проанализируйте.

Если в банк внесена сумма S_º руб. и банк выплачивает p% в год, то через n лет на счете вкладчика окажется сумма: S=S_начº(1+p/100)ⁿ- формула сложных процентов.

План:

Запишите формулы, подставив начальные значения (известно S_начир)

Составьте таблицы для построения графиков (расчеты вести с помощью калькулятора, округлять до десятых) S=S_начº(1+p/100)ⁿ

Постройте графики функций.

Проанализируйте: как увеличиваются вклады? В какой момент времени у них на вкладах окажется одинаковая сумма? Через сколько лет вклады удвоятся?

4. Выступления групп:

Учитель. С изучением функции произошло мощное развитие в математике. Математика – область очень прикладная, она используется как инструмент для решения вполне земных задач.

Биологи: Представляют решение своей задачи.

Учитель:Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8  . 1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомство пары мух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

Мы заслушали выступления ученых различных областей деятельности.

Получили ли мы ответ на поставленный вопрос?

Учащиеся: Да.

Учитель: Посовещайтесь в группах, сформулируйте общий вывод, результат нашего исследования.

Учащиеся: Функции окружают нас повсюду: в жизни, на уроках физики, биологии, химии многие процессы и явления описываются с помощью графиков функций.

5. Итог урока.

 Учитель: Показательная функция находит самое широкое применение при обработке результатов тестирования в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды и даже в музыке (представляя собой ступени темперированной 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний), а также других областях науки и техники.

Главное мы достигли поставленной цели и поняли, как широко применяются знания показательной функции.

Любоваться природой можно и не зная математики. Но понять ее, увидеть ее, то, что скрыто за внешними образами явлений можно лишь с помощью точной науки. Только она позволяет заметить, что в явлениях природы есть формы и ритмы, недоступные глазу созерцателя, но открытые глазу аналитика.

- Сейчас, я предлагаю каждому построить график, который показывает ваше эмоциональное состояние на протяжении нашего заседания, в зависимости от его этапов.

(построение графиков)

- Есть ли желающие показать свой график и объяснить его построение?

6. Домашнее задание

- Дома я предлагаю продолжить работу по данной тематике и предлагаю на выбор следующие задания:

- составить практическую задачу, решение которой можно иллюстрировать с помощью графика функций;

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/140399-otkrytyj-urok-po-teme-primenenie-pokazatelnoj