Модульная программа по теме: «Прогрессии» 9 класс

Технологическая карта.

Научиться решать задачи на прогрессии.

15-16

Контрольная работа №1

МК

МА – модуль актуализации

13 – 14

Геометрическая прогрессия

○

Пм 7

Тест 1

Приложение 1

ПМ - практический модуль

11 – 12

Геометрическая прогрессия

∆ Блок 4

■ с/р-20

Пм 6

№7495а, в)-498(а, в),501-504(а,в)

МК - модуль коррекции

9 – 10

Геометрическая прогрессия.

▲

Блок 3

∆ Блок 4

Пм 5

476(а, в), 479 (а, в)484а, в-486(а, в),

488(а, в),489(а), 490-493(а).

Блок 1,2,3

●контрольная работа

7 – 8

Арифметическая прогрессия.

∆Блок 3

■ с/р-19

Пм 4

438(а, в),442(а, в), 444(а, в), 445(а, в),447(а, в),449(а,в),450(а,в).

Блок 1,2, 3

○- контрольная работа тренировочный вариант

5 – 6

Арифметическая прогрессия.

▲Блок 1,2

∆Блок 3

■ср 18

Пм 3

№420(а, в)- 424(а, в) 425(а, в),429(а,в),435

(а,в0,434(а,в)

Блок 3

▲- проверка теоретического модуля

3 – 4

Арифметическая прогрессия.

∆Блок 1,2

■ с/р-17

Пм 2

409(а, в), 411(а, в),413,(а, в)416(а, в),417(а, в) ,419(а, б)

Блок 1,2

∆-теоретический модуль

1 – 2

Числовые последовательности.

Блок 1

□ ср 16

Ма

Пм 1

№367(а, в), 377(а, в), 382(а, в) 384(а, в) 386(а),390(а,в),395(а,в)

Блок 1

■- проверочная самостоятельная работа (оценка в журнал)

Тема модуля

Цель

Уроки

Темы уроков

Работа в классе

Домашнее задание

□- обучающая самостоятельная работа оценка по желанию

Историческая справка

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression , что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Блок 1

Числовые последовательности.

Определение 1.

Функцию вида

y =f(x),гдеx N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=f(n) или

y,y,y,…,y, … .

Значенияy,y,y называют соответственно первым, вторым, третьим членами последовательности.

В символе y число n называют индексом, который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности.

Обозначение последовательности: (y).

Членy предшествует члену y, а y следует за y.

Виды последовательностей:

- конечные;

- бесконечные;

- колеблющиеся: -10,10,-10,10,…(-1) ∙10… .

- постоянные: 5,5,5,…

Способы задания последовательности.

Аналитически (с помощью формулы n – члена последовательности).

Словесно.

Графически.

Реккурентный способ ( от латинского слова recurrere- возвращаться): есть 1- ый член последовательности и правило, по которому находятся следующие члены последовательности.

Например:y=3,y=y+ 4, если m = 2,3,4,… .

Получим: y=3

y=y+4=3+4=7

y=y+4=7+4=11 и т.д.

Ответ: последовательность 3,7,11,… .

Монотонные последовательности.

Последовательность(y)называют возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего:yyy…y… .

Последовательность(y)называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего:

yyy…y… .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1: 1,3,5,7,…2n-1,… .- возрастающая последовательность.

Пример 2: 1, , ,…, ,… .- убывающая последовательность.

Пример 3: 1,- , ,- ,…,(-1) , ,… .- не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность)

Блок 2

Арифметическая прогрессия.

Определение арифметической прогрессии.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предшествующего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией.

d – Разность арифметической прогрессии.

Формула n- члена арифметической

прогрессии.

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Блок 3

Геометрическая прогрессия.

Определение геометрической прогрессии.

Числовую последовательность. Все члены которой отличны от 0 и каждый член, которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же числоg, называют геометрической прогрессией.

Числоgназывают знаменателем геометрической прогрессии.

- геометрическая прогрессия

,,

Формула n- члена геометрической

прогрессии.

…

Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Характеристическое свойство геометрической

прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

№ учебного элемента и микроцель

Содержание

Управление

Историческая справка.

№1.Знать определение числовой последовательности.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. Сведения о прогрессиях впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

В 18 в. Английских и французских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Например, Лриабхатта (5 в.) знал формулы для общего члена и суммы арифметической прогрессии.

Слово «прогрессия» означает «движение вперед», как и слово «прогресс». Оно впервые встречается у римского автора Боэция.

Первоначально под прогрессией понимали всякую последовательность, например, последовательность натуральных чисел, их квадратов, кубов. В конце средних веков этот термин перестал быть общеупотребительным. В 17 веке Джои Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», другой английский математик Джон Валлис применяет для бесконечных рядов термин «бесконечная прогрессия».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии, как частные случаи числовых последовательностей.

Учитель:

Закончился 20 век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря
Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет
Известный лозунг «Прогрессио - движение вперед!»

Задание №1.Постройте графики функций на области определения.

у = х², х [0;1];

у = х², х [0;+∞);

у = х²;

у = х², х N.

Задание №2.

а) 2;4;6;8;10;…,2n,… .

б) , , , ,…, , ….

1.а) Постройте графики данных функций в тетради;

б) ответьте на вопрос: надо ли изучать функции, заданные на множестве натуральных чисел;

в)придумайте ситуацию, математические модели которых представляют собой функции с областью определения N.

2. Попробуй дать определение числовой последовательности, назовите первый, второй, n-ый члены последовательности.

№2.Знать способы задания последовательности

Задание №3. Последовательность задана аналитически: у =m.Найдите первый, второй, десятый, двадцать пятый член последовательности?

Запиши этот числовой ряд в тетрадь.

Задание №4.а) Последовательность задана аналитически: у = 2 m-1(последовательность нечётных чисел). Найдите первый, второй, десятый, двадцать пятый член последовательности?

Запиши этот числовой ряд в тетрадь.

б) Последовательность задана аналитически:

у = 2 n(последовательность чётных чисел). Найдите первый, второй, десятый, двадцать пятый член последовательности?

Запиши этот числовой ряд в тетрадь

в) 7;11;15;19,23,… .

Угадайте формулу n-го члена?

Задание №5.Последовательность простых чисел»,3,5,7,11,… .-это словесный способ задания.

Задание №6. y=3; у + 4, если n = 2,3,4.Найдите члены последовательности - это реккурентный способ задания последовательности.

3.а) Что значит: последовательность задана аналитическим способом?

б) запомни формулу чётных и нечётных чисел.

в) научись угадывать формулу n-го члена;

г) Что значит: последовательность

задана реккурентным способом?

№3.Знать определение возрастающей и убывающей последовательности (монотонные последовательности)

Задание №6 а) 1,3,5,7,….б)1, , ,… .Определите о возрастающей или убывающей последовательности идёт речь?

Обучающая самостоятельная работа О.С.Р.:(проверяет учитель, оценка по желанию)

О.С.Р.

Задание №1. По заданной формуле n-го члена последовательности(a), где a=-3n+1, вычислите a,a,a,a.

Задание №2.Составьте возможную формулуn-го члена последовательности 1, , , , , .

Задание №3.Вычислите первые 4 члена последовательности (у ), заданной рекуррентно:

у =-2, у =3у +2.

4) Опробуйте сформулировать определение возрастающей и убывающей числовой последовательности.

Контролирующая самостоятельная работа С/Р. (оценка в журнал)

С/Р-16, страница 42-43 «Алгебра самостоятельные работы 9 класс»

Выполни свой вариант работы.

Сдай тетрадь на проверку учителю!

Дополнительное задание.

Докажите, что последовательность возрастает:a= /

Докажите, что последовательность: убывает:a= .

№ учебного элемента и микроцель

Содержание

Управление

№1.Знать определение числовой последовательности, способы задания последовательностей.

Задание №1.Устная работа:

1. Последовательность (x)задана формулой

x=6n-1.

Найдите х , х ,х ,х ,х .

2. Назвать пять первых членов последовательности (с ), если: с =8, с = с -1

3. Привести пример последовательности, заданной:

а) формулой n-го члена;

б) рекуррентной формулой;

в) найти пять первых членов этой последовательности.

№2. Знать определение арифметической прогрессии;

№3. Знать разность арифметической прогрессии – число

d=a-a

№4. Знать способ задания арифметической прогрессии.

Задание №2. Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада в июне?

Задание №3. Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией:

а) 2,4,6,8,10,…

б) 5,5,5,5,5,…

в) -7,-5,-3,-1,1,…

Задание №4. .Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:

а) 3,-1,-5,-9,…

б) 7,4,1,-2,…

в) -1;-0,9; -0,8; -0,7;…

Задание №5 .Запишите конечную арифметическую прогрессию (с ), заданную следующими условиями:

а) с = -2, d=4,n=5.

б) с = 1, d= -0,5, n=7.

1.а) Сформулируйте определение арифметической прогрессии

б) что означает число d.

в) научись находить число d.

г) обрати внимание, на то, как арифметическая прогрессия задаётся рекуррентным способом?

№5.Знать вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии;

№6. Знать, что арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию.

Задание №6. Найдите разность и десятый член арифметической прогрессии: 1,3,5,7,…

Задание №7.Дана арифметическая прогрессия (а ). Вычислите: а , если, а =4,d=3.

Задание №8.Зная формулуn-го члена арифметической прогрессии (а ), найдите аи d:

а) а =3n – 2;

б) а =-1 – ;

в) а =-0,1n +3;

г) а =5 -2 n.

Обучающая самостоятельная работа О.С.Р.: (проверяет учитель, оценка по желанию)

О.С.Р.

Задание №1. Дана арифметическая прогрессия (a). Вычислите а , если a=-7,.d:=3.

Задание №2.Найдите первый членарифметической прогрессии (a), если, а =18,d = - 3.

Задание №3.Найдитеa,.d, а для арифметической прогрессии (а ): 10,4,-2,…

2) Выучить формулу n-го члена арифметической прогрессии

a =a +d(n-1) и

y= dх +m, где d, m- числа, хN.

Контролирующая самостоятельная работа С/Р. (оценка в журнал)

С/Р-17, страница 44-45 «Алгебра самостоятельные работы 9 класс»

Выполни свой вариант работы.

Сдай тетрадь на проверку учителю!

№7.Уметь применять формулу n-го члена арифметической прогрессии (а ) для нахождения n, и решения аналогичных задач.

Задание №9. Число 29 является членом арифметической прогрессии 9, 11, 13,… . Найдите номер этого числа.

Задание №10.Проверьте: является ли число 41 членом арифметической прогрессии (a), у которой

a=-7,d=4.

Задание №11.Дана конечная арифметическая прогрессия (a). Найдите n, если известно:a=1,

d = ,a=67.

Обучающая самостоятельная работа О.С.Р.(проверяет учитель, оценка по желанию)

О.С.Р.

Задание №1. Дана конечная арифметическая прогрессия (a). Найдите n , если. a=-5,

d=3,a=16.

Задание №2.Являются ли числа А = -125 и В = 203 членами арифметической прогрессии (а ), если

а =3 – 2n?

Задание №3.В арифметической прогрессии

,-,…Укажите номера тех членов, значения которых отрицательны.

3) Запиши формулуn-го члена арифметической прогрессии (а )a =a +d(n-1) и вырази из неё n

Контролирующая самостоятельная работа С/Р. (оценка в журнал)

С/Р-18, страница 46-47 «Алгебра самостоятельные работы 9 класс»

Выполни свой вариант работы.

Сдай тетрадь на проверку учителю!

№ учебного элемента и микроцель

Содержание

Управление

№1. Уметь анализировать, наблюдать, устанавливать закономерности, видеть новое в нестандартных ситуациях.

Задание №1.Устная работа:

1. Вычислить: 1+2+3+4+…+99+100.

2. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 100.

3. Найти количество всех двузначных натуральных чисел, делящихся на 7.

1. Найти историческую справку о К.Ф. Гауссе.

№2. Знать формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Задание №2.Дано: с =4n+2.

Найти:S,S,S.

Задание №3. Найдите сумму Sчленов конечной арифметической прогрессии (а ), если известны первый и последний её члены: а = -1, а =86.

Задание №4. .Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии (а ), если известны первый и последний её члены: а = -12, d =2.

Задание №5 . Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (а ), заданной формулой, а =4n +3.

22.а) уметь выводить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

б) уметь находить неизвестные компоненты из формул S=

S=

№3. Знать характеристическое свойство арифметической прогрессии

№4. Уметь решать задачи, применяя формулу

а =

Пусть дана арифметическая прогрессия (а ). Рассмотрим три её члена, следующие друг за другом, а ; а ; а . Известно, что а -d = а ; а +d=а .

Сложив эти равенства, получим, а =при любом m>1.

Задание №6. Для арифметической прогрессии(а ).

Зная, что а + а =122, найдите а .

Задание №7. Для арифметической прогрессии(а ). Найдите а +а , если известно, что а +а =-20 и а +а =40.

Обучающая самостоятельная работа О.С.Р.: (проверяет учитель, оценка по желанию)

О.С.Р.

Задание №1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а ), если а +а =70,

а -а =15.

Задание №2.Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии (a), заданной формулой, а =7 – 3n?

Задание №3.В арифметической прогрессии (а ): а =-1,5, а = . Найдите а + а .

2) выучить формулу, которая выражает характеристическое свойство арифметической прогрессии а =

Контролирующая самостоятельная работа С.Р. (оценка в журнал)

С/Р-19, страница 48-49 «Алгебра самостоятельные работы 9 класс»

Выполни свой вариант работы.

Сдай тетрадь на проверку учителю!

№ учебного элемента и микроцель

Содержание

Управление

№1.Знать определение числовой последовательности, способы задания последовательностей.

Задание №1.Устная работа:

1. Последовательность (x)задана формулой

x=6n.

Найдите х , х ,х ,х ,х .

2. Назвать пять первых членов последовательности (с ), если: с =8, с = 3с

№2. Знать определение геометрической прогрессии;

№3. Знать знаменатель геометрической прогрессии – число q =a:a

№4. Знать способ задания геометрической прогрессии.

Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно (т.е.b:b=b:b=b:b=…), то перед вами – геометрическая прогрессия.

Задание №1. 1,3,9,27,81,… . Определить, является ли данная прогрессия геометрической?

Задание №2. Определите, является ли заданная последовательность геометрической прогрессией:

а) 2,-2,2,-2,2,…

б) 5,5,5,5,5,…

в) 3, , , , ,…

Если последовательность b,b,b,b, … является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. b,b,b,…является геометрической прогрессией (гдеb-первый член прогрессии, а знаменатель равенq).

Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b, то получится конечная геометрическая прогрессия b,b,b,b,…,b.

Задание №3. .Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии (b):

b= -1, q = 3.

Задание №5. Какие из приведённых ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?

а) 3,9,27,81,243,..;

б) 3,6,9,12,15,…

1)

а)сформулируйте определение геометрической прогрессии

б) что означает число q .

в) научись находить число q .

г) обрати внимание, на то, что для задания геометрической прогрессии достаточно указать её первый член и знаменатель.

№5. Знать вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии;

Задание №6. Найдите b и q для геометрической прогрессии (b), заданной следующими условиями:

b= 8, b= - 32.

Задание №7. найдите указанный член геометрической прогрессии (b) по заданным условиям: b= -2, q=-1 ,b= ?

Задание №8.Зная формулуn-го члена геометрической прогрессии (b ), найдите b и q:

b= 5

Обучающая самостоятельная работа О.С.Р.: (проверяет учитель, оценка по желанию)

О.С.Р.

Задание №1. Найдите b и q для геометрической прогрессии (b), заданной следующими условиями:

b= 4, b= 2.

Задание №2. Найдите пятый член геометрической прогрессии (b), если b=,q=3.

Задание №3.Является ли число А = 64 членом геометрической прогрессии 0,5; 1;…? Если да, то укажите номер.

2) выучить формулу n-го члена геометрической прогрессии

a =a ·q.

Контролирующая самостоятельная работа (оценка в журнал)

С/Р-20, страница 50-51 «Алгебра самостоятельные работы 9 класс»

Выполни свой вариант работы.

Сдай тетрадь на проверку учителю!

№7.уметь применять формулу n-го члена геометрической прогрессии (b) для нахождения n, и решения аналогичных задач.

Задание №9. Дана конечная геометрическая прогрессия (b). Найдите n, если известныb=,q= ,b=.

Задание №10.Последовательность(b) – геометрическая прогрессия. Найдите:b, если b=128,q=- .

Задание №11. Укажите номера тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа А:

1, 3, 9, 27, .., А = 729.

Задание №12. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии (b), если:

b=192,b = 48 (q>0).

3) запиши формулуn-го члена геометрической прогрессии (а )b=b ·q .

№ учебного элемента и микроцель

Содержание

Управление

№1 – уметь анализировать, наблюдать, устанавливать закономерности, видеть новое в нестандартных ситуациях.

Задание №1 Устная работа.

1. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально,  если после шестикратного деления их стало 320.

2. Туристы запланировали пройти по реке 140 км. Сколько дней туристы будут в походе, если в первый день прошли 5 км, а в каждый последующий день  они будут проходить расстояние на 2 км больше, чем в предыдущий.

3. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток.

4.  При хранении брёвен строевого леса их укладывает так, как показано на рисунке 1. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в её основание положено 10 брёвен.

5. Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев, каждый из которых. Если посеять зерно, даёт 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна»

Решение: 7+ 7²+7³+7 +7 .

Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала»

.

№2. Знать формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

S=,

гдеq1 (1)

S =,

гдеq1 (2)

Задание №2.Дано: (b)- геометрическая прогрессия,b=1,q=2.

Найти:S=?

Задание №3. Дано: (b)- геометрическая прогрессия,b=5,q=2, n=6.

Найти:S=?

Задание №4. .Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, …

Задание №5 . Найти Sдля геометрической прогрессии (b), если: b=160,b=320

Задание №6. Дано: (b)- геометрическая прогрессия,b=3,q= ,S=4 .

Найти: n =?

22.а) уметь выводить формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии

б) уметь находить неизвестные компоненты из формул S=,

S =,

№3. Знать характеристическое свойство геометрической прогрессии

b=b·b

№4 Уметь решать задачи, применяя формулу

b=b·b

Задание №6.. Дана геометрическая прогрессия (b ),

b=4,b=16.

Найтиb(b>0).

Задание №7.

Найти те значения переменной х, при которых числа х-1, ,6х образуют конечную геометрическую прогрессию.

Обучающая самостоятельная работа О.С.Р.: (проверяет учитель, оценка по желанию)

О.С.Р.

Задание №1. Дана геометрическая прогрессия (b).

Найдитеb,q, S, если b= .

Задание №2.Найдите сумму четвёртого, пятого, шестого и седьмого членов геометрической прогрессии 32, 16,… .

Задание №3.Найдите такие значения переменной х, при которых числа -20,2х,-5 образуют геометрическую прогрессию.

2) выучить формулу, которая выражает характеристическое свойство геометрической прогрессии

b=b·b

3) знать, что модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов:

=

Контролирующая самостоятельная работа С.Р. (оценка в журнал)

С-21. страница 52-53 «Алгебра самостоятельные работы 9 класс»

Выполни свой вариант работы.

Сдай тетрадь на проверку учителю!

С/р-16

1.По заданной формуле n –ого члена последовательности (а ) , где а =n- 2 , вычислите а , а , а .

2. Составьте возможную формулу n-ого члена последовательности 0; 1; 4; 9; 16;….

3. Вычислите первые 4 члена последовательности (у ), заданной реккурентно: у =3, у = .

С/р-18

1.Дана конечная арифметическая прогрессия (а ).Найдитеn, если а= - ,d = , а = 34,5.

2. Являются ли числа А = 99 и В = -10 членами арифметической прогрессии (а ), если а =0,5n – 1?

3. В арифметической прогрессии ;; … укажите

номер того члена, начиная с которого все члены прогрессии будут меньше -1.

С/р-17

1.Дана арифметическая прогрессия (а ). Вычислите а , если а = -3, d = 2,5.

2.Найдите первый член арифметической прогрессии (а ), если а = - 60, d = 2,5.

3.Найдите а ,d, адля арифметической прогрессии

(а ):1;;; … .

С/р-19

1.Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а ), если а - а = -5, а +а = -46.

2.Найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, заданной формулой а= .

3.В арифметической прогрессии (а ):а = -7, а =-1.

Найдите а .

С/р-20.

1.Найдите b и g для геометрической прогрессии (b), у которой b= 1, b=-2.

2.Найдите девятый член геометрической прогрессии (b), если b= ,g =-2.

3.Является ли число А = 243 членом геометрической прогрессии ; 1;…? Если да, то укажите его номер.

С/р-21.

1.Дана геометрическая прогрессия (b). Найдите b , g , S , если b=.

2.Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии (b) равна 5, знаменатель прогрессии равна 2. Найдите b и сумму членов прогрессии с третьего по восьмой включительно.

3.Найдите такие значения переменнойt, при которых числа t – 5, 2 ,t + 5 образуют геометрическую прогрессию.