Сборник задач «Элементы комбинаторики и теория вероятности»

Рассмотрено на заседании ПЦК Согласовано:

Информационных дисциплин и Зам. директора по УМР

математики _______Т.А. Архипова

Протокол №___ от ________

Председатель ПЦК

____________ М.А. Федорищева

Составитель:

И.А. Бородина, преподаватель общеобразовательных дисциплин

Пояснительная записка

В сборнике представлены задачи с решениями по темам математики: комбинаторика, статистика и теория вероятностей для студентов 1 курса.

Данные задачи используются для выполнения практических занятий через обязательные результаты обучения в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика».

Все задачи имеют прикладную (профессиональную) направленность с целью усвоения знаний и освоения умений по комбинаторике, теории вероятностей и математической статистики.

Задача №1.

В денежно – вещевой лотерее на серию 300 000 билетов приходитсяa -денежных ,b- вещевых и с- золотых выигрышей.

Какова вероятность получить:

денежный выигрыш;

вещевой выигрыш;

золотой выигрыш;

выигрыш вообще;

ничего не выиграть.

Ответ выразить в процентах.

Указание:1).Числаa , b и с выбираются по формулам:

a = 1000 k-3m,b = 1500 n + 23, c = 4000 m – 20k, где k,n и m-порядковые номера в русском алфавите буквы, с которой начинаются соответственно фамилия , имя и отчество студента.

2).В последующих задачах №1-4 выбор чисел через k,m,n осуществляется таким же образом. Пусть к=2 (Божко), n=10 (Ирина), m=19 (Сергеевна).

Решение.

а=1000*2-3*19=2000-57=1943

b=1500*10+23=15023

с=4000*19-20*2=76000-40=75960

1. А – событие получить денежный выигрыш

2. В – событие получить вещевой выигрыш

3. С – событие получить золотой выигрыш

4. D – событие получить выигрыш вообще

5. Е – событие ничего не выиграть или событие противоположное событию D является

Р(D) =100-30,65=69,35%.

Ответ: 0,65 %; 5%; 25%; 30,65%; 69,35%.

Задача №2.

Ежемесячно в течение 5 месяцев велся учёт качества обучения студентов техникума. Распределение случайной величины Х по закону следующее:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Изобразить графически статистические данные.

Решение.

D х =MХ²-M²Х

M(Х)²= *22²+ *4²+ *25²+ *33²+ *14²= (484+625+196)+ (16+1089)= =464,4

P_i

Полигон частот

Х_i

Ответ: 19,9; 68,39; 8,3.

Задача №3.

Ежедневно в течение 30 дней велся учет Х посетителей нотариальной конторы. Количество посетителей по дням следующее:

Событие А заключается в том, что ежедневное количество посетителей является нечетным числом.

Событие В заключается в том, что ежедневное количество посетителей заключено между числами 68 и 102.

Определить:

1. а) вероятностиp(A) и p(B) событий А и В; вероятности пересечения и

объединения событий А и В; условные вероятностиp(A/B) и p(B/A).

b) Зависит ли событие А от события В?

c) Зависит ли событие В от события Ā?

d) Совместимы события А и В? А и В?

2. Для случайной величины Х определить

Множество значений принимаемых х_i;

Вероятностиp(X=х_i) = p_i.

Математическое ожидание М(Х).

Дисперсию D(X).

Решение.

С учетом данных k,m,n .

Всего посещений:

92;96;5;23;44;69;147;50;91;84;29;3;12;96;84;111;313;78;88;44;90;94;392;260;150;6;14;40;

69; 101.

События:

A={5;23;69;147;91;29;3;111;313;69;101},

B={92;96;69;91;84;96;84;78;88;90;94;69;101}.

1. а.

Вероятности Р(А) и Р(В) событий А и В

где = 11 и n = 30

где = 13 и n =30

Вероятности пересечения событий А и В

где А∩В ={общие элементы для событий А и В}

Общие элементы для А и В = {69; 91; 69; 101}=4 эл.

Р (А∩В)= 2/15

Вероятности объединения событий А и В

где А∪В={элементы из множества А и недостающие элементы из множества В} А∪В={5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69; 101; 92; 96; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94} =20

Условные вероятности Р (А/В) и Р (В/А)

P(B/A)=

P(B/A)= *=.

1b. Зависит ли событие А от события В.

События зависимы, если Р (А/В)Р(А)

1.с. Зависит ли событие В от события

P(B/)=

А = {5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69;101} = 11эл.

эл.

В = {92; 96; 69; 91; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94; 69; 101} =13эл.

m(B∩ ) ={92; 96; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94} = 9 эл.

1.d. Совместимы ли события А и В?

События А и В совместимы, если А∩В 0

А∩В=4 эл.; 4совместны

Совместимы ли события А и ?

События А и совместны, если

А ={5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69; 101} = 11эл.

В = {92; 96; 69; 91; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94; 69; 101} = 13эл.

= {5; 23; 44; 147; 50; 29; 3; 12; 111; 313; 44; 392; 260; 150; 6; 14; 40} = 17 эл.

A∩= {5; 23; 147; 29; 3; 111; 313} = 7 эл. Значит, 7 ⇒события А и В совместны.

2. а.

Множество значений принимаемых Х_i – количество дней в задаче, т.к. в условии 30 дней, то Хi=30.

2.b. Вероятности Р(Х=Хi)=Pi

т.к. количество элементов в задаче 30 (30 дней), а благоприятных исходов 1 (исход по дням - равновероятен).

2.с. Математическое ожидание М (х)

Mх = (92+96+5+23+44+69+147+50+91+84+29+3+12+96+84+111+313+78+88+44+90+94+

+392+260+150+6+14+40+69+101 ) =

2.d. Дисперсия D(х)

Dх = Mх²-M²х

M(Х)=Mх = (92²+96²+5²+23²+44²+69²+147²+50²+91²+84²+29²+3²+12²+96²+84²+111²+

+313² +78²+88²+44²+90²++94²+392²+260²+150²+6²+14²+40²+69²+101²)=

Dx=16155,03-8556,25=7598,78.

Ответ: Мх=92,5;Dх=7598,78.

Задача № 4.

Среди 90k+3n-2m юристов составляют 4n+1 кандидаты юридических наук. Какова вероятность того, что выбранные три юриста для избрания в депутаты Государственной Думы, будут кандидатами юридических наук? Ответ выразить в процентах.

Решение.

90k+3n-2m=90*2+3*10-2*19=172

4n+1=4*10+1=41

А – событие, которое определяет, что выбранные три юриста для избрания в депутаты Государственной Думы, будут кандидатами юридических наук.

где m – благоприятный исход;

n – всего исходов.

n - ?

Сочетание без повторений

m -?

Сочетание без повторений

Ответ: 1,3 %.

Задача № 5.

Замок имеет семизначный цифровой шифр. Наугад выбираются семь цифр. Какова вероятность открыть при этом замок, если известно, что в коде все цифры различны.

Ответ выразить в процентах.

Решение.

А – событие открыть замок

где m – благоприятный исход

n – всего исходов

n - ?

10 цифр (0, 1, 2, 3,…,9)

Размещение без повторений

m=1, т.к. замок откроется только при одном наборе цифр.

Ответ: 0,00016%.

Задача № 6.

Вероятность встретить реку, загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и обоими факторами Р(А В), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05.

Найти:

а) вероятность того, что река загрязняемая временным фактором будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. Р (А/В)?

б) вероятность того, что загрязняемая постоянным фактором, будет загрязнена и временным фактором, т.е. Р(В/А)?

Решение.

Р(А/В)

Р (В/А)

Ответ: 0,5; 0,125.

Задача № 7.

Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут равна 0,7.

В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями

находятся только что родившиеся два организма. Какова вероятность того, что через

20 минут они будут живы?

Решение.

Обозначим:

А – событие, чтоI организм жив через 20 минут;

В – событие, чтоII организм жив через 20 минут.

События А и В – независимы, считаем, что между ними нет внутривидовой конкуренции.

Событие, что оба организма живы, есть событие А, то по правилу вероятности умножения независимых событий Р(А)

Ответ: 0,49.

Задача № 8.

Партия деталей изготовляется тремя рабочими:1рабочий – 60% всех деталей,

2рабочий– 30% всех деталей,

3рабочий– 10% всех деталей.

Из них, бракованных 1 рабочим допускаются 10%,

2 рабочим – 7%,

3 рабочим – 1%.

Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь является бракованной.

Решение.

Обозначим:

А – наудачу взятая деталь является бракованной.

Н₁,Н₂, Н₃ – полная группа несовместимых событий соответственно для 1 рабочего, 2 рабочего, 3 рабочего.

Р(А) = (А/Н_i) Р(Н_i) = Р(А/Н₁) Р(Н₁) + Р(А/Н₂) Р(Н₂) + Р(А/Н₃) Р(Н₃), где Р(А/Н₁) = Р(А/Н₂) = Р(А/Н₃) =

Р(Н₁) = 0,6; Р(Н₂) = 0,3; Р(Н₃) = 0,1.

Р(А) = 0,10,6 + 0,3 0,07 + 0,1 0,01 = 0,06 + 0,021 + 0,001 = 0,082 (0,82%).

Ответ: 0,082 (0,82%).

Задача № 9.

В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое больше чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95%, для второго цеха – 90%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие.

Найти вероятность того, что оно окажется изделием высшего качества.

Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества?

Решение.

Обозначим:

А – выбранное изделие является изделием высшего качества;

Н₁и Н₂– 2 гипотезы, соответственно: выбранное изделие изготовлено в первом

цехе; выбранное изделие изготовлено во втором цехе.

Р(Н₁) = и Р(Н₂) = (по условию задачи: производительность в 2^ое в 1 цехе, чем во 2 цехе).

Р(А/Н₁) = 0,95 = , P(А/Н₂) = .

По формуле полной вероятности:

Р(А) = (А/Н_i) Р(Н_i) = (А/Н_i) Р(Н_i) = Р(А/Н₁) Р(Н₁) + Р(А/Н₂) Р(Н₂) = =0,95.

По формуле Байеса:

Р(Н₂/А)=.

Ответ:0,321.

Задача № 10.

Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно – сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно: 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно – сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Решение.

Обозначим:

А – случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно – сосудистое заболевание;

Н₁– человек придерживался специальной диеты;

Н₂– человек принадлежал к контрольной группе.

Р(Н₁) = Р(Н₂) = т.к. вероятные события этих групп – равновероятны

Р(А/Н₁) = Р(А/Н₂) =

По формуле полной вероятности:

Р(А) = (А/Н_i) Р(Н₁) = (А/Н_i)Р(Н_i) = Р(А/Н₁)Р(Н₁) + Р(А/Н₂)Р(Н₂) = 0,31

Искомая вероятность (по формуле Байеса):

Р(Н₂/А) =

Ответ:0,6076(60,76%).

Задача № 11.

В некоторый день на фабрике из 1000 изготовленных спичек 8 бракованных.

Найти относительную частоту события «выпущена бракованная спичка».

Решение.

Пусть А – событие «выпущена бракованная спичка, то относительная частота

Ответ:0,008 (0,8%).

Задача № 12.

Для оценки числа рыб в озере отловили 100 рыб, пометили их и выпустили назад

в озеро. Через несколько часов поймали 120 рыб, среди них оказалось 3 меченных.

Что можно сказать о числе рыб в озере?

Решение.

1. Пусть в озере n рыб. Тогда вероятность поймать наудачу меченную рыбу:

2. Относительная частота меченных рыб среди 120 отловленных равна: .

При большом количестве опытов, проведенных в одинаковых условиях,

вероятность событияP(A) примерно равна его относительной частоте, т.е. , n=4000.

Ответ:4000.

Задача № 13.

Из ящика, содержащего 20 годных и 5 бракованных деталей, наудачу извлекают 2 детали. Чему равна вероятность того, что обе детали годны?

Решение.

1.Порядок выбора деталей неважен.

выборка неупорядоченная,

без повторений

сочетание

2. неупорядоченная выборка, без повторений, из 20 по2

Ответ:0,633(63,3%).

Задача №14.

Из 1000 произвольно выбранных деталей 4 бракуются. Сколько бракованных

окажется среди 2400 деталей? Вычислить приближенно.

Решение.

Пусть А - событие бракованных деталей.

;деталей

Ответ:10 деталей.

Задача № 15.

В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают 2

растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?

Решение.

Всего событий – 2:

А – выбирают первое растение здоровое;

В – выбирают второе растение здоровое.

События А и В – совместные, т.к. одно не исключает появление другого.

, где;

Ответ:0,9975(≈100%).

Задача № 16.

Из партии изделий, ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди изделий бракованных не более одной. Какова вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой две бракованных, будет признана годной?

Решение.

Пусть A - событие, что среди проверяемых изделий бракованных не окажется.

B – событие, что среди отобранных для проверки изделий одно бракованное.

A иB – несовместимы

Ответ: .

Задача № 17.

Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение.

Пусть A – событие выбора детали отличного качества

H₁,H_2,H₃ – (события) гипотезы заключаются в том, что выбранная деталь изготовлена в соответствии в I, во II, и в III цехах.

; ; .

Условные вероятности события A при условии, что имеют место гипотезыH₁,H_2,H₃ заданы, причем

A,H₁,H_2,H₃-независимые события

Ответ:0,78.

Задача № 18.

Что вероятнее: выиграть у равносильного партнера три партии из четырех или пять партий из восьми? (Ничья исключается).

Решение.

Всего 100% - все партии

1.Три партии из четырех – 75% очков;

2.Пять партий из восьми –

×5=62,5% очков.

Одерживать верх в борьбе с равносильным партнером в более продолжительном турнире сложнее, чем в менее продолжительном.

Следовательно:

Р₄(3) Р₈(5).

Ответ: Вероятность выиграть у равносильного партнера три партии из четырех , чем вероятность выиграть у него пять партий из восьми.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/174972-sbornik-zadach-jelementy-kombinatoriki-i-teor