Функции и их производные на заданиях ЕГЭ

Баданай Кузелмаа Мешпек-ооловна,

учитель физики и математики

МБОУ Баян-Колской СОШ Кызылского района

Разработка повторительно-обобщающего урока по теме

«Функции и их производные на заданиях ЕГЭ»

Цели:

Образовательная – формировать навыков свободного чтения графиков функций и графиков их производных;

Развивающая – формировать способности анализировать, обобщать полученные ранее знания; формирование логического мышления;

Воспитательная – активизировать интерес к получению новых умений, воспитание графической культуры

Оснащение урока:

мультимедийный проектор, экран;

операционная система MicrosoftWindows 2000/XP;

программа Microsoft office 2007: Microsoft word, ms powerpoint.

I. Оргмомент. Создание психологического комфорта, рабочего настроя учащихся.

II. Актуализация опорных знаний.

Вступительное слово учителя.

- Варианты ЕГЭ обычно содержат два задания по теме "Начала математического анализа". Мы с вами рассмотрим заданий первого типа (задание7) - это ставшая традиционной в ЕГЭ по математике задача на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств производной этой функции , либо на чтение графика производной функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции. Для их решения не обязательно владеть техникой вычисления производных, знать правила дифференцирования, таблицу производных элементарных функций, которых тоже вспомним на уроке. Достаточно иметь представления о том, что такое касательная к графику функции, и как знак углового коэффициента связан возрастанием, убыванием и точками экстремума функции.

1. Экскурс в тему «Производная. Производная как угловой

коэффициент касательной». Слайды 1-3.

2. Эксперимент.

– Возьмите параболу y = x², проведите секущую OP, где O – вершина параболы, P – произвольная точка параболы. Возьмите точку P₁ поближе к O, проведите вторую секущую. Возьмите точку P₂ еще ближе к O, проведите третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что предельным положением для построенных секущих будет ось x – это и есть касательная к параболе в ее вершине.

- Теперь, используя наше почти интуитивное понимание касательной к графику гладкой функции в некоторой точке этой функции, попытаемся выяснить, как знак углового коэффициента касательной связан с возрастанием, убыванием такой функции и наличием у нее точек экстремума.

- Если рассмотреть график гладкой возрастающей функции и провести к нему касательные в разных точках, заметим, что все они образуют с положительным направлением оси абсцисс острые углы, а значит, угловой коэффициент любой такой касательной положителен (рис. 1). Если же проводить касательные к графику гладкой убывающей функции, то угол, который с положительным направлением оси абсцисс образует любая из них, будет тупым (рис. 2).

рис. 1 рис. 2

Разумеется, эти рассуждения являются лишь иллюстрацией, но не доказательством (которое выходит за рамки школьной программы). Еще важнее обратное утверждение (доказательство которого, разумеется, также опускаем): если для каждой точки из данного промежутка области определения гладкой функции угловой коэффициент касательной, проведенной к графику в этой точке, положителен (отрицателен), то функция возрастает (убывает) на данном промежутке.

Остается заметить, что касательные к графику гладкой функции, проведенные в точках максимума (точки x₁ и x₃на рисунке 3) или минимума (точки x₂ и x₄ на рисунке 3) этой функции, параллельны оси ординат, и, следовательно, угловой коэффициент любой из них равен нулю.

х₁ х₂ х₃

х₄

у = f(x)

Это, вообще говоря, вполне естественно, поскольку именно в точках экстремума меняется характер монотонности функции, а значит, и знак угловых коэффициентов касательных к ее графику.

А вот обратное утверждение в данном случае неверно. Из того, что угловой коэффициент касательной к графику гладкой функции в некоторой точке равен нулю, еще не следует, что эта точка будет точкой экстремума, ведь характер монотонности функции может в такой точке и не поменяться (рис. 4). Для того чтобы такая точка была точкой экстремума, в ней обязательно должен меняться знак углового коэффициента касательной.

х₀

у = f(x)

III-IV. Выполнение учащимися индивидуально и коллективно устных и письменных заданий обобщающего и систематизирующего характера. Проверка выполнения работ, корректировка (при необходимости).

1. Чтение свойств производной функции по графику этой функции.

а)Тест 648. Гладкость функции. В.И. Рыжик. КИМ профильного уровня 10-11 классы. Просвещение, 2009. Слайд 4.

Производная функции f всегда положительна, если:

1) f(x)= -2x; 2) f(x)=x² ; 3) f(x)=2^x ; 4) f(x) =ln(1-x); 5)f(x)=Sin2х

б) На рисунке изображен график функцииf(х)=ах²+bх+с и четыре прямые. Одна из этих прямых - график производной данной функции. Укажите номер этой прямой. Слайд 5.

в) Рассмотреть, какую информацию о свойствах производной функции можно извлечь из данного графика функции. Слайд 6.

Пользуясь графиком заданной функции, дайте характеристики ее производной.

г) Построить в одной системе координат график функции у=х³ и график ее производной у=3х². Прочитать свойства функции и ее производной по графикам.

2. Чтение свойств графика функции по графику производной этой функции.

а) Функция у=f(х) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у=f(х), которые наклонены под углом (-60°) к положительному направлению оси абсцисс.

Решение.

Рисунок.Слайд 7.

у=-

Геометрический смысл производной yʹ=fʹ(x) в точке с абсциссой x₀ заключается в том, что ее численное значение равно тангенсу угла наклона касательной к графику y=f(x) при x=x₀ относительно оси x. Тангенс угла (-60⁰) равен -

Данное значение производная принимает в трех точках графика– при x, лежащих на участках [-2;-1]; [0;1]; и [3;4]. Следовательно, число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом в (-60⁰) к положительному направлению оси абсцисс, равно 3. Ответ: 3.

б) Практическая индивидуальная работа по заданиям «ЕГЭ-4000 задач с ответами» под ред. И.В. Ященко М.: Просвещение, 2016.

Задание 7стр. 209-305.

№ 1600-1626. На рисунке изображен график производной функции f(х), определенной на интервале (-1;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 18.

№1627-1658. На рисунке изображен график производной функции f(х), определенной на интервале (-3;8). В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

№ 1659-1689. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2;18). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [0;15].

№ 1690-1720. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-3;11). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

№ 1721-1749. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x + 7 или совпадает с ней.

№ 1750-1781. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-6;1].

V. Формулирование выводов по изученному материалу.

Вывод. Промежутки, на которых график производной лежит выше оси абсцисс, являются промежутками возрастания функции. самом деле, в каждой точке такого промежутка производная положительна, а значит, и угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в любой из точек этого промежутка, будет положительным, что означает возрастание функции на всем таком промежутке.

Аналогично промежутки, на которых график производной лежит ниже оси абсцисс, являются промежутками убывания функции.

Точки оси абсцисс, в которых график производной пересекает эту ось "сверху вниз" (производная в них равна нулю и меняет знак с плюса на минус, т.е. возрастание функции сменяется убыванием), являются точками максимума функции.

Точки оси абсцисс, в которых график производной касается оси абсцисс, но не пересекает ее, не являются ни точками максимума, ни точками минимума функции.

VI. Рефлексия. Оценка результатов урока.

- Что мы узнали на этом уроке? Понравился ли он вам?

- Какой этап был самым трудным? Какой интересным?

- Оцените свои и ответы других.

VII. Задание на дом. Выставление оценок в журнал.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/181330-funkcii-i-ih-proizvodnye-na-zadanijah-egje