Конспект урока «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа»

Элементы

структуры

развития

Время

Содержание деятельности преподавателя

Содержание деятельности студентов

Организационный момент

Приветствие учащихся, выявление отсутствующих, заполнение журнала

Актуальность знаний и опыта студентов

Проверка домашнего задания.

Студенты работают устно.

Постановка проблемы

Постановка целей урока.

Студенты работают вместе с учителем

Формирование новых знаний и способов действий

Определения обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение   y = sin x,   при заданном    ,   имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности   sin, если x   такой корень, то и   x + 2πn   (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Например, если для синуса   y = sin x,   если ограничить аргумент x интервалом  , то на этом интервле функция   y = sin x   монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом:   x = arcsin y.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x

y = arcsin x

 
y = arccos x

 
y = arctg x

 
y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x     при  
sin(arcsin x) = x 
arccos(cos x) = x     при  
cos(arccos x) = x 

arctg(tg x) = x     при  
tg(arctg x) = x 
arcctg(ctg x) = x     при  
ctg(arcctg x) = x 

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

   
     при  или  
 
     при  и  
  
     при  и

   
     при  или  
 
     при  и  
 
     при  и

   
     при   
   
     при 

   
     при   
   
     при 

   
     при   
   
     при   
   
     при 

   
     при   
   
     при   
   
     при 

Студенты работают вместе с учителем, слушают, выполняют задания.

Применение новых знаний и способов действий

Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» С. 64

№ 116-135

Решение задач. Студенты работают у доски и в тетрадях.

Домашнее задание

Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» С. 64

Студенты записывают домашнее задание.

Подведение итогов урока

Подводится итог урока.