Проектно-исследовательская работа по математике «Применение производной к решению задач с практическим содержанием»

МБОУ «Мужевская СОШ имени Н.В. Архангельского»

Школьная научно-исследовательская конференция

«Ступень в будущее»

ПРОЕКТНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

«ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ»

АВТОР – учащаяся 11 «а» класса
Кисленко Карина

РУКОВОДИТЕЛЬ – Новых И.П.,

учитель математики

1

Введение

Характерной чертой современности является применение математических методов в самых различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно чёткой и ясной формулировки понятий и проблем.

Ф. Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».

В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится всё более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Поэтому мы провели данное исследование - искали возможность практического применения производной.

Применение производной довольно широко, и его сложно охватить в работе такого типа, однако мы попытались раскрыть основные, базовые моменты.

Мы считаем, что наша работа актуальна, так как позволяет применить производную для более быстрого выполнения расчётов без использования компьютерных программ. При моделировании часто используются компьютерные программы, но иногда необходимо выполнить расчёты в короткие сроки, не имея специализированного дорогостоящего программного обеспечения – в этом преимущество нашей работы.

Наш проект предназначен для выработки умений принимать оптимальные решения и находить рациональные приемы работы у учащихся 10-11 классов.

Эпиграфом к нашей работе мы выбрали слова известного математика и философа Рене Декарта: «Недостаточно иметь хороший ум, главное - правильно его использовать».

Цели работы:

познакомиться с проблемой;

проанализировать ситуацию с целью создания ее математической модели;

провести опрос среди учащихся с целью выдвижения гипотезы;

обработать результаты опроса;

2

проверить выдвинутую гипотезу с помощью математических вычислений;

осмыслить полученный результат в рамках решения поставленной проблемы;

Методика нашей работы состоит в следующем:

1) Знакомство с темой, определение целей и задач.

2) Поиск информации, работа с математической литературой.

3) Работа с дидактическими материалами.

4) Работа с презентацией и буклетом.

Проблема задачи №1 состояла в следующем: нужно было найти высоту, на которую надо повесить фонари, чтобы они как можно лучше освещали улицу, причем расстояние между фонарями должно быть 30 метров.

Математическая модель задачи, которую мы составили, выглядит так:

a

Х

X – искомая высота фонаря;

r – половина расстояния между соседними фонарями;

a – угол падения светового луча.

r

Необходимо сконструировать функцию и исследовать ее на наибольшее и наименьшее значение с помощью аппарата производной.

Прежде чем решать задачу мы опросили 20 учащихся.

3

Были даны следующие варианты ответа на единственный вопрос: «на какой высоте надо установить фонари?»

Фонари надо установить на высоте

-до 5 метров

-от 5 до 10 метров

-от 10 до 15 метров

-затрудняюсь ответить

Данные опроса находятся в таблице:

Э ти данные мы обработали, и результаты вы можете увидеть на диаграмме:

Таким образом, выдвигается гипотеза:

фонари надо установить на высоте от 10 до 15 метров.

Проверим эту гипотезу. Проверка проводится чисто математическим путем.

4

Проверка гипотезы.

Из курса физики известно, что освещенность плоскости обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения a:

a

x

r

Исследуем функцию f на наибольшее значение.

Решение задачи внутри математической модели:

Находим производную данной функции:

Р азделим числитель и знаменатель дроби на

5

Найдём критические точки функции

Приравниваем производную к нулю, получаем, что половина расстояния равна 2х². Отсюда х=0.7r .

Вывод: Фонари на улице, расстояние между которыми 30м (r = 15), целесообразно установить на высоте

15 * 0.7 = 10,5 (м)

Гипотеза подтвердилась.

В работе представлены задачи практического характера с применением производной.

Метод поиска наибольших и наименьших значений функций применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуем по следующей схеме:

Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметрx, через который интересующую нас величину выражаем как функцию f(x);

Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

Выясняем, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функции) результат.

Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа:

Формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);

Решение полученной математической задачи;

Интерпретация найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

Этот метод называют методом математического моделирования.

6

Задача №2

Заготовлена изгородь длиной 480м. Этой изгородью надо огородить с трех сторон,примыкающий к реке, участок. Какова должна быть ширина и длина участка, чтобы его площадьбыла наибольшей при заданной длине изгороди?

Решение

B

C

A

D

S=AB·BC

Пусть АВ=х, тогда ВС= 480-2х

S(х) = х · (480 - 2х) = 480х - 2х²

D(х) = (0;240), т.к. S(х) > 0

480х – 2х² > 0

2х · (240 – х) > 0

х₁ = 0, х₂ = 240

Составим функцию площади

По смыслу задачи

0

240

Исследуем функцию на наибольшее значение на заданном интервале:

0 < х < 240

Находим производную данной функции:

S’ (x) = 480 - 4x

Найдём критические точки функции, т.е. внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю:

S’ (x) = 0, 480 - 4x =0

x = 120

7

Определим знак производной на каждом интервале:

0

240

120

S’(x)

+

S’(x)

Т.о. Smax = S (120) = 28800м2 при АВ = 120м и ВС = 240м

Ответ: при ширине 120м и длине 240м площадь участка будет наибольшей.

Задача №3

Дан прямоугольный лист жести (АВ = 80см, ВС = 50см). Надо вырезать около всех углов одинаковые квадраты так, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась открытая сверху коробка максимальной вместимости.

Решение

Составим математическую модель задачи.

Сконструируем функцию и исследуем её на наибольшее значение с помощью аппарата производной.

V(x) = ( 80-2x)( 50-2x)x = 4x3 – 260x2 – 4000x

D(V) = (0;25), т.к. V(x) > 0

( 80-2x)( 50-2x)x > 0

x1 = 40, x2 = 25, x3 = 0

80

A

B

x

x

x

x

x

50

0 < x < 25

V′ (x) = 12x2 – 520x + 4000

V′ (x) = 0, 12x2 – 520x + 4000 = 0

3x2 – 130x + 1000 = 0
D = 4900

x1 = 10, x2 = 33, 1/ 3 x1 Є (0;25)

x

D

C

x

x

0

25

40

8

Vmax (x) = V(10) = 1800см3

Ответ: Объем коробки будет максимальным, если сторона вырезаемого квадрата равна 10см

Задача №4

Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещённость была наибольшей (ОА = а, ∟ОАВ = , ВА = r)?

Решение

Составим математическую модель задачи.

Сконструируем функцию и исследуем её на наибольшее значение с помощью аппарата производной.

П

B

x

r

Значит,

φ

O

A

a

;

9

Т.к. функция Е(х) имеет одну критическую точку, а в условии сказано, что существует положение лампочки, при котором освещенность в точке А наибольшая, то х является искомой точкой.

О твет: для достижения наибольшей освещенности лампочка должна висеть на высоте

Задача № 5

Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией

f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

Решение

Исследуем расход горючего с помощью производной: f′(х)=0,0034х-0,18.Тогдаf′(х)=0 при х≈53.

Определим знак второй производной в критической точке: f′′(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим.f(53)≈5,43 л.

Задача №6

Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.

Решение

Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет м, длина изгороди Р(х)=3х+ ;

Р’(х) = 3- ; Р’(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х принадлежит  (0; ∞)

Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая  =60м.

10

Заключение

В результате проведённого исследования можно сделать следующие выводы:

При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

В прикладной математике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции, то есть эти задачи решаются с помощью применения производной.

В процессе исследования практических функций, мы применили аппарат производной и убедились в том, что наши расчёты оказались компактны, и мы сэкономили своё время. Это и было нашей целью, то есть подойти к решению данной проблемы рационально. Современная прикладная математика предполагает быстроту и гибкость принятия решения, требует быстрых обоснованных решений.

Наиболее актуальна использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин.

Так же в своей работе мы показали, что исследование требует большой математической подготовки, наблюдательности и аккуратности в расчётах.

К нашей работе прилагается буклет.

В нём представлена история появления и развития производной, предложена краткая информация о людях, сыгравших главную роль в развитии дифференциального исчисления, а также представлены интересные сведения из истории создания нового исчисления, известные далеко не всем.

Например: производная раньше называлась не производной, а флюксией, также с помощью аппарата производной было предсказано возвращение кометы Галлея, что стало большим триумфом науки того времени.

11

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/215481-proektno-issledovatelskaja-rabota-po-matemati