Эффективный урок геометрии в 10-м классе

Организация работы

Ход урока

Стадия вызова

На доске записана тема, сделана заготовка таблицы.

Вопрос классу.

Обсуждение в парах.

Обобщение.

Учитель применяет методы взаимоконтроля, самоконтроля.

Каждая пара при актуализации знаний оценивает друг друга.

Оценки записываются в оценочные листы.

Организационная часть урока.
Учитель формулирует тему урока, выстраивает цель и задачи. Ученики записывают дату и тему урока в тетрадях.
Учитель активизирует внимание учащихся на то, что задания обязательного уровня входят в абитуриентское тестирование. Ученики показывают теоретические и практические знания решения простейших тригонометрических уравнений. Учителем применяются объяснительно - иллюстративные методы решения.

sin(π/2 + x) = √3/2;

cos(π – x) – 1 = 0;

cos(π/2 – x) = 1;

sin(π/6 – 3x) + 2 = 0;

tg3x – 2 = 0

На экране появляются теоретические обоснования, которые прозвучали:

sin (π/2 + x) = cosx;
cosx = a, [ - 1;1];
x = ± arccosa + 2πn, n ∈ Z;

cos(π – x) = - cosx;
cosx = - 1;
x = π + 2πn, n ∈ Z;

cosx = 1;
x = 2 πn, n ∈ Z;

sinx = a, a ∈ [ - 1;1];
x = (- 1)narcsina + πn, n ∈ Z;

tgx = a, a ∈ R;
x = arctga + πn, n ∈ Z;

Запишите основные тригонометрические тождества, тригонометрические формулы.

Проверьте свой вариант записи по учебнику , обсудите результаты в паре.

Повторить общий вид квадратного уравнения и формулу его корней.

Применить формулу корней для уравнений 2y2 – 3y – 5 = 0, 3y2 + 4y – 7 = 0.

Стадия осмысления содержания

Чтение лекции.

На практике часто встречаются тригонометрические уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции в различных степенях или различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. Специального алгоритма решения тригонометрических уравнений не существует. Но большинство тригонометрических уравнений сводятся к простейшим путем тождественных преобразований выражений. Среди них есть и такие, что сводятся к простейшим решением квадратных уравнений относительно тригонометрических функций.

Самостоятельно проработать теоретический материал, разобрать примеры 1-4 стр182 учебника.

Выбрать из списка те уравнения, которые являются квадратными или сводятся к квадратным, записать их в первую колонку таблицы в тетрадях.

Стадия рефлексии

Мозговая атака и фронтальный опрос.

На этом первая часть лекции закончилась. В течение трех минут посмотрите в свои записи и обменяйтесь информацией в парах, что было раннее известно, а что узнали нового. 1ученик заполняет таблицу на доске. После обсуждения и сравнения появляются пропущенные уравнения.

Задание классу: решить уравнения.

Группа «А» sin22x – 3sin2x + 2 = 0.
Группа «Б» tgx = ctgx.
Группа «С» cos2x + sinx = 0.

Обратить внимание учащихся, что в последнем уравнении есть различные функции с различными аргументами. Нужно выполнить такие преобразования, что бы в уравнение входила одна и та же функция одного и того же аргумента.

Все решения проверяются по записям на доске. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Другие группы могут задавать вопросы по решению примера, все ученики делают записи в тетрадях.

Стадия вызова

Уравнение вида a sin2x + b sinxcosx + с cos2x = 0 при сведении к синусу или косинусу одного и того же аргумента не будет квадратным ни относительно синуса, ни относительно косинуса. Как же его решать?

Стадия осмысления материала

Прочитать теорию, ответить на вопросы:

Какие тригонометрические уравнения называют однородными первого порядка?

Какие тригонометрические уравнения называют однородными второго порядка?

Основной метод решения однородных уравнений.

Почему в однородных уравнениях cosx ≠ 0 (cos2x ≠ 0)?

Выбрать из списка однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним. Записать их в таблицу.

Стадия рефлексии

Мозговая атака и фронтальный опрос.

В течение трех минут просмотрите свои записи, обменяйтесь тетрадями и проверьте правильность выбранных уравнений. Заполнить вторую часть таблицы на доске, уточнить, дополнить нужными уравнениями.

Задание классу:

1. Решить уравнения

Группа «А» 2sinx – 3cosx = 0;
Группа «Б» 2sin2x + 3sinxcosx – 2cos2x = 0;
Группа «С» sin2x + 3sinxcosx – 2 = 0.

2. Составить план решения уравнения (комментированием) 3 + sin2x = 4sin2x.

Представим число 3 так: 3 = 3*1 = 3sin2x + 3cos2x;

Применим формулу sin2x = 2sinxcosx.

Приведем уравнение к однородному, выполнив необходимые преобразования.

Разделим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, получим квадратное уравнение относительно tgx.

Организация работы

Ход урока

Стадия вызова

Проверка домашнего задания.
1 ученик записывает формулы, применяемые при решении уравнений №621(2,4).
2 ученик объясняет план решения уравния№624(4).
3 ученик на откидной доске решает уравнение №636(4).
Дополнительное задание №644(1) проверяется по готовому решению.

Стадия осмысления содержания

Чтение лекции.

Уравнения вида asinx + bcosx = c, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, называют неоднородными тригонометрическими уравнениями первого порядка. Они имеют несколько способов решения. Рассмотрим три основных.

С помощью формул половинного угла.

С помощью формул тангенса половинного угла. (Универсальная подстановка.)

С помощью вспомогательного угла.

Задание классу: проработать теоретический материал; выбрать из списка неоднородные тригонометрические уравнения, записать их в таблицу.

Стадия рефлексии

Мозговая атака и фронтальный опрос.

Просмотрите свои записи, обменяйтесь информацией в парах. 1й ученик на доске дописывает неоднородные тригонометрические уравнения в таблицу. Идет обсуждение, уточнение полученных результатов.

Задание классу:

Решить уравнение: 4sinx + 3cosx = 5.

Группа «А» - с помощью формул половинного угла.
Группа «Б» - с помощью формул тангенса половинного угла.
Группа «С» - с помощью вспомогательного угла.

Решение:

Разделим обе части на 5:

4/5sinx + 3/5cosx = 1

Т.к. (4/5)2 + (3/5)2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ; 3/5 = cosφ, где 0 < φ < π/2, тогда sin φsinx + cos φcosx = 1
cos(x - φ) = 1
x - φ = 2 πn, n ∈ Z 
x = 2 πn + φ, n ∈ Z 
φ = arccos3/5, значит, 
x = arccos3/5 + 2 πn, n ∈ Z

Ответ: x = arccos3/5 + 2 πn, n ∈ Z

Все решения проверяются по записям на доске. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Другие группы могут задавать вопросы по решению примера, все ученики делают записи в тетрадях.

Итог урока: познакомились с понятием неоднородного уравнения и способами его решения, заполнили оценочные листы согласно условным обозначениям.

Домашнее задание: №625(2,4) – способ решения выбрать по желанию. №626(2,4); №628(1,2)

Стадия вызова

Проверка домашнего задания.

1й ученик №625(1) решает на откидной доске.
2й ученик называет преобразования, с помощью которых решал уравнение №626(2).
3й ученик объясняет план решения уравнения №628(1).

Вопросы классу:

Каким способом решали уравнения №626?

Какие формулы применили для разложения правой части уравнения на множители?

Какие еще способы разложения на множители вы знаете?

Уточнить формулировку условия равенства нулю произведения выражений, содержащих переменные. (Произведение выражений, содержащих переменные, равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.)

Стадия осмысления содержания

Задание классу:

Прочитав теорию, выбрать из списка уравнения решаемые разложением на множители. Записать их в таблицу.

Просмотреть свои записи, обменяться информацией в парах, уточнить, дополнить свои записи.

Решить уравнение (комментированием).

sin4x + sin22x = 0.
Применив формулу синуса двойного аргумента, запишите результат.
2sin2xcos2x + sin22x = 0.
В левой части уравнения вынесите за скобку sin2x.
sin2x (2cos2x + sin2x) = 0.
Сформулируйте условие, при котором произведение выражений, содержащих переменные, равняется нулю, и воспользуйтесь ним.
sin2x = 0 или 2cos2x + sin2x = 0. 
Решите каждое уравнение:
a)sin2x = 0: 2x = πn , n ∈ Z; x = πn/2 n ∈ Z. 
b)2cos2x + sin2x = 0; tg2x+ 1 = 0; tg2x = - 1; 2x = - π/4+πn, n ∈ Z. 
x = - π/8+ πn/2, n ∈ Z.

Ответ: πn/2: - π/8+ πn/2, n ∈ Z.

Стадия рефлексии

Мозговая атака и фронтальный опрос.

Задание классу:

Прочитав теорию, соотнести оставшиеся уравнения (№12; №14; №15; №16; №18; №20.) с необходимым способом решения. Закончить оформление таблицы. После обмена информацией в парах, дописать нужные уравнения в в таблицу на доске. 
Рассмотрим уравнение cos2x + cos6x = 2. 
Можно ли назвать его однородным, неоднородным? Почему?
Это уравнение можно решить применяя «ограниченность функций».

Решение:
Поскольку │cos2x│≤1; │cos6x│≤1, то данное уравнение равносильно системе: , x = πm/3, m ∈ Z.

Ответ: x = πm/3, m ∈ Z.

Для выставления отметок за урок раздаются оценочные листы. Предпоследняя колонка заполняется учеником (см. условные обозначения). Учитель ставит итоговые отметки, оценив работу каждой пары.

Домашнее задание: решить уравнения №12; №14; №15; №16; №18

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

sin²2x – 3sin2x + 2=0;

cos2x + sinx=0;

tgx = ctgx;

2cos⁴x – 7cos²x – 4=0.

Однородные уравнения.

2sinx – 3cosx=0;

2sin²x + 3sinxcosx – 2cos²x=0;

cos2x + cos²x + sinxcosx=0;

3 + sin2x=4sin²x.

Неоднородные уравнения.

sin3x + cos3x=√2;

4sinx + 3cosx=5;

sinx – cosx=1;

√3sinx + cosx=2.

Уравнения, решаемые с разложением на множители.

√3sinxcosx – cos²x=0;

sin4x + sin²2x=0.

Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

cos3x – cos5x=sin4x;

cosxcos2x=sinxsin2x.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

sin²x – sin²2x + sin²3x=1/2;

2cos²2x + cos10x – 1=0.

Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

sin3x=sin2xcosx.

Ограниченность функций.

cos2x + cos6x=2.

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Однородные уравнения.

Неоднородные уравнения.

Уравнения, решаемые с разложением на множители.

Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Ограниченность функций.