Метод движений в решении задач на построение

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

№1. Даны две окружности ω₁ и ω₂ и прямая a. Постройте пару соответственных точек на этих окружностях при симметрии с осью a.

Решение.

1. построим окружность- образ окружности ω₂ при осевой симметрии с осью а.

2. найдем точки пересечения окружностей иω₁ . обозначим их А и В.

3. построим точкиА₁ и В₁ – образы точек А и В при осевой симметрии с осью а.

№2. Даны две пересекающиеся окружности. Постройте пару соответственных точек на этих окружностях при симметрии с центром в одной из точек их пересечения.

Решение.

1. построим окружность- образ окружности ω₂ при центральной симметрии с центром в точке А.

2. найдем точки пересечения окружностей иω₁ . Рассмотрим одну из этих точек. обозначим её С.

3. построим точкиС₁ образ точки С при центральной симметрии с центром в точке А.

№3. Даны две пересекающиеся прямые c и d, вектор . Постройте пару соответственных точек на этих прямых при параллельном переносе на вектор .

Решение.

1. построим d₁ -образ прямой d при параллельном переносе прямой d на вектор АВ;

2. найдем точку пересечения прямых d₁ и с. Обозначим ее С.

3. найдем образ точки С при параллельном переносе на векторАВ – точка D.

МОТИВАЦИОННО-ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ЭТАП

Сравните требования домашних задач. (Чем схожи задачи?)

Во всех трех задачах требуется построить пару соответственных при заданном виде движения.

Вернемся к рисунку Задачи 1. на прямой а произвольно зафиксируем точку С. Определите вид .

- равнобедренный.

Почему?

Точки, лежащие на прямой а равноудалены от точек А и А₁. Так как прямая а – ось симметрии, то она серединно перпендикулярна отрезкуАА₁.

А всегда ли будет существовать такой треугольник?

Нет. Если точка С есть точка пересечения прямой а с отрезком АА₁, то треугольника не существует.

В остальных случаях треугольник существует и вид его определен.

Обратимся к рисунку Задачи 3. определите вид четырехугольника ABCD.

ABCD – параллелограмм.

Почему?

Так как= (по построению),

тоАВ = DС и . Следовательно, по признаку АВСD – параллелограмм.

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

Решим задачу №1225 из учебника.

Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведенная из третьей вершины, лежала на данной прямой.

Определите тип задачи (обратите внимание на требование).

Задача на построение.

По какой общей схеме решаются задачи на построение?

Схема решения задач на построение:

анализ.

построение.

доказательство.

исследование.

Решение задачи на построение начинается с анализа. Каким образом выполняется анализ?

Мы предполагаем, что задача решена и пробуем выделить существенные закономерности.

Итак, проведем анализ.

Создадим рисунок.

Пусть искомый: равносторонний, две вершины А и В которого лежат на данных окружностях ω₁, и ω₂, а третья – точка С – на данной прямой а, причем СН – высота этого треугольника, лежит на той же прямой.

Записи ведутся параллельно на доске и в тетрадях.

(Д, Т).

АНАЛИЗ

О каких свойствах равностороннего треугольника может идти речь при таких условиях задачи (при таком его задании)?

Так как треугольник равнобедренный, то по свойству его СН является высотой и медианой. Следовательно, и .

Из того, что равнобедренный следует существование поворота на 120 градусов вокруг центра треугольника и осевой симметрии, в данном случае, относительно оси СН (или прямой а).

(Д,Т)

Схема 1

Какие следствия можно получить из существования осевой симметрии с осью симметрии СН?

1. Задана ось симметрии – прямая а;

2. И правило, позволяющее установить соответствие между точками.

Найдите образ точки С при данном движении.

Дописываем схему 1

Найдите образы точек А и В при данном движении.

,

Найдите образ окружности ω₂

Изображаем на чертеже

Рис. 1

Каково взаимное расположение окружностей ω₁, и .

Они пересекаются в двух точках, одна из

которых – точкаА.

Таким образом, положение одной из вершин искомого треугольника можно зафиксировать. Как?

Построить образ окружности ω₂при осевой симметрии с осью СН -

Найти точку пересечения окружностей ω₁и - искомая точка А.

В какой из рассмотренных ранее ситуаций мы оказались?

(С какой из рассмотренных ранее ситуаций схожа эта?)

Она очень сильно похожа на задачу №1 из домашней работы. При решении той задачи мы выполняли ту же последовательность действий.

Зафиксировали одну из вершин треугольника - точкуА. Наша задача зафиксировать положение других вершин – точки В и С.

Какую из этих точек мы уже можем построить?

Точку В, как симметричную точке А при симметрии с осью СН.

Каким образом теперь получить точку С?

Мы заметили, что задачи похожи. Там мы фиксировали точку С произвольным образом и получали равнобедренный треугольник. Меняя положение точки С на прямой а мы можем сделать получаемый треугольник равносторонним, то есть

точка С должна лежать на прямой а (по требованию задачи) и быть равноудаленной от точек А и В на длину отрезка АВ. Таким образом, положение точки С определено!

Все вершины искомого треугольника зафиксированы. Теперь можно выполнять построения. Выполните их.

Рис. 1

ПОСТРОЕНИЕ:

1. окружность : образ окружности ω₂при осевой симметрии с осью СН.

2. точка А: точка пересечения окружностей ω₁и .

3. точка В: соответственная точке А при осевой симметрии с осью СН.

4. точка С: точка, равноудаленная от точек А и В на длину отрезка АВ.

Докажите, что - искомый.

(Д,Т )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1. - равнобедренный по признаку и по построению:

, так как . Значит, СН – медиана.

, так как . Значит, СН – высота.

2. - равносторонний, так как точка С - точка, равноудаленная от точек А и В на длину отрезка АВ.

Решаемая задача – на построение. Мы выполнили анализ, построение, доказательство, осталось провести исследование.

(Т)

ИССЛЕДОВАНИЕ

Не при любом расположении окружностей ω₁, ω₂ и прямой а мы сможем построить искомый треугольник. Поэтому рассмотрим возможные случаи расположения двух окружностей и прямой:

1) если окружности ω₁ и не имеют точек пересечения, тогда мы не сможем построить вершину А искомого треугольника. Значит, задача решений не имеет.

2) если окружности ω₁ и имеют одну точку пересечения. Тогда будет два решения

3) если окружности ω₁ и имеют две точки пересечения. Тогда решений будет 4.

Хорошо. Мы решили задачу?

Да

Сравните задачи №1225 и №1 из домашней работы

1) Домашняя задача была использована при решении задачи №1225;

2) в условиях рассматриваемых задач даны одни и те же геометрические фигуры: две окружности и прямая;

3) в домашней задаче сразу было задано движение, а в классной – нет. Но при решении задачи №1225 мы использовали осевую симметрию.

Замечательно! Какие факты навели нас на мысль о применении движений?

Равносторонний треугольник и сходство с домашней задачей.

А теперь сравните требования задач.

В домашней задаче необходимо было построить пару соответственных точек при осевой симметрии;

А в классной необходимо построить правильный треугольник, определенным образом расположенный.

Из проведенного анализа задач, можно сделать следующие выводы: главная проблема в решении задачи №1225 – определить вид движения, затем ее решение практически полностью сводится к домашней. А в чем состоит идея решения домашней задачи?

Построить пару соответственных точек при заданном виде движения и она решается по общей схеме!

ЗАДАЧА № 1227

Далее решаем задачу №1227.

Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.

Дать некоторое время для построения данных и первичное осмысление

Определите тип задачи (по требованию).

Задача на построение.

Что нам требуется построить в данной задаче?

Отрезок и его середину.

Какой вид движения задают эти геометрические фигуры?

Центральную симметрию с центром в середине отрезка.

С какой ситуацией схожа данная?

С ситуацией в Задаче 2 из домашней работы.

Как мы с вами поступали в ситуации той, известной ситуации?

Мы искали пару соответственных точек на двух пересекающихся окружностях при центральной симметрии с центром в одной из точек их пересечения.

Нам известен способ решения подобных задач. В чем заключается этот способ?

Построить пару соответственных точек на данных фигурах при заданном виде движения.

Заметили похожесть ситуаций. А в чем различие.

В решенной задаче было изначально задано движение – центральная симметрия, а в решаемой сейчас задаче речи о движении не идет.

Можем ли мы сейчас рассмотреть какое-либо движение? И каким образом определить его вид?

Да, можем. А требования задачи помогут нам определить вид движения.

Что мы до этого успешно и сделали.

Прослеживается аналогичный ход решения задач типа №1225 и №1227. И тогда можно сделать вывод о методе решения подобных задач?

По требованию задачи необходимо определить вид движения, а затем построить пару соответственных точек на данных фигурах при этом движении.

ЗАДАЧА №1230.

Далее решаем задачу № 1230

Даны две точкиА и В и две пересекающиеся прямые c и d. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых c и d.

Дать некоторое время для построения данных и первичное осмысление

Какие у Вас предложения по решению этой задачи?

Данная задача – задача на построение. Теперь, действуя по аналогии, хочется заметить движение, которое необходимо использовать для решения данной задачи. Как и ранее обратимся к требованиям задачи. Необходимо построить параллелограмм, что приводит и идее использования параллельного переноса.

Каким образом задается параллельный перенос?

Параллельный перенос задается вектором переноса.

В данной задаче какой вектор удобно рассмотреть?

Так как даны только точки А и В, то следует рассматривать перенос на вектор или .

Как поступить далее?

Теперь вид движения определен – параллельный перенос на вектор . А значит и известен способ решения задачи: нужно найти пару соответственных точек при этом движении.

А это означает Вид искомого четырехугольника приводит к идее применения параллельного переноса. И решение этой задачи сводится к решению Задачи 3 из домашней работы.

Р-О по решению задачи:

1) Сказать что ядром решенной задачи служит домашняя задача

2) Сравнить их условия – даны одни и те же объекты и требования – вид движения задан и при нем надо найти пару соответственных точек

О движении нет и речи, но в требованиях есть намек на вид движения которое необходимо применить

3) Увидеть общую схему решения задач на построение – выделить основные этапы;

Применима та же схема ОНА РАБОТАЕТ даже если движение не задано!

1. в формулировке задачи нет ни слова про движения, но вид треугольника ( в требовании задачи) подсказал о возможном применении осевой симметрии. Также подсказкой была задача, решенная дома, она является ядром решения.

2. не смотря на ЭТО, данная сегодня задача решалась по известной схеме

3.

А

В

А₁

В₁

а

ω₁

ω₂

ω'₂

Рис.2

Рис.3