Тригонометрические тождества

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ ТОЖДЕСТВА(§ 26. Тригонометрические тождества)

Вопрос о существовании такого математического объекта, как тригонометрическое тождество уже затрагивался. Однако не достаточно внимания уделялось четкому определению понятия тождества, применительно к тригонометрии, а так же не приобретен необходимый навык доказательства тригонометрических тождеств. Учащиеся могут привести примеры тригонометрических тождеств (основное тригонометрическое), сформулировать определение тождества: равенство, верное при допустимых значениях входящих в него букв называетсятождеством. Тут требуется обратить особое внимание учащихся на то, что буквы могут принимать допустимые значения. Это наиболее актуально для функций тангенс и котангенс. Ограничения, о которых идет речь получаются из определения тангенса и котангенса.

(например, для тангенса , так как на нуль делить нельзя. С решением данного тригонометрического неравенства учащиеся справятся, используя единичную окружность)

Мы уже отмечали, что при рассмотрении данного параграфа необходимо формировать навык доказательства тригонометрических тождеств. Совместно с учащимися, еще раз, выделим способы доказательства тождеств. Причем в дальнейшем, при проведении доказательства, следует указывать каким способом оно проведено.

Можно выделить формулы, используемые при доказательстве тождеств: ;;;;;;;, а так же достаточное владение такой моделью как единичная окружность, в частности умения связанные с решением простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Описанную работу можно провести на разных этапах урока:

Перед непосредственным доказательством тождеств, как планирование результата и способа деятельности.

После того как доказано некоторое количество тождеств, то есть учащиеся имеют опыт доказательства и могут выделить теоретический базас.

Необходимо так же выделить типы решаемых задач, задач связанных с понятием тождества. Подход к этой работе может быть аналогичным описанному ранее: либо до непосредственного проведения некоторого количества доказательств, либо после накопления соответствующего опыта.

ТИПЫ ЗАДАЧ:

Доказать тождество

Упростить выражение

Найти значение выражения

Решить уравнение

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:

Тип 1. (№470(5))

Доказать тождество

Доказательство:

, что и требовалось доказать.

Способ доказательства: сведение левой части тождества к правой.

Базис: основное тригонометрическое тождество.

Тип 2. (№469(1))

Упростить выражение:

Решение:

Ответ: 0.

Базис:

Тип 3. (№472)

Найти значение выражения , если

Решение:

Выражение значение, которого требуется найти, можно преобразовать, используя формулу сокращенного умножения – разность кубов:

Первый множитель в полученном произведении равен 0,2. Таким образом, нам требуется найти значение выражения: .

Итак,

.

Ответ: .

Базис: знание ФСУ; специальный прием выражения произведения через разность или сумму, основанный на ФСУ; основное тригонометрическое тождество.

Заметим, что знание одних лишь тригонометрических формул не ведет к успеху при решении задач, требуется, кроме того, знать и уметь применять к новым математическим объектам приемы и методы которые были известны ранее.

Тип 4. (№474(1))

Решить уравнение:

Решение:

Упростим выражение, стоящее в левой части

Учтем, что - это ордината точки числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой и записать, каким числам они соответствуют.

Прямая пересекает единичную окружность в точках М и К. Точка М получается поворотом точки на угол , а значит и на любой из следующих угловсоответствует числу. Точка К – на угол , а значит, и на углы .Таким образом, получили две серии корней: и .

Ответ: ; .

Базис: основное тригонометрическое тождество; владение моделью – единичная окружность; умение решать простейшие тригонометрические уравнения, используя единичную окружность.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/233965-trigonometricheskie-tozhdestva